高中同步学案优化设计GAOZHONGTONGBUXUEANYOUHAUSHEJI第1课时等差数列的前n项和第四章2021内容索引0102课前篇自主预习课堂篇探究学习课标阐释思维脉络1.掌握等差数列前n项和公式的推导方法.(逻辑推理)2.掌握等差数列的前n项和公式,能够运用公式解决相关问题.(数学运算)3.理解Sn与an的关系,并能运用这个关系解决相关问题.(数学运算)等差数列的前n项和൞前n项和公式ቊ推导应用由Sn求an课前篇自主预习【激趣诱思】泰姬陵坐落于印度古都阿格拉,是17世纪莫卧儿帝国皇帝沙·贾汗为纪念其爱妃所建,被评为世界新七大奇迹之一.它的主体建筑由纯白大理石砌建而成,陵寝以宝石镶饰,图案之细致令人叫绝.传说陵寝中有一个三角形图案,以相同大小的圆宝石镶饰而成,共有100层(如图),你知道这个图案一共用了多少颗宝石吗?【知识梳理】等差数列的前n项和公式及其推导等差数列的前n项和公式推导方法倒序相加法.推导过程设等差数列的前n项分别为a1,a2,a3,…,an-2,an-1,an,Sn=a1+a2+a3+…+an-2+an-1+an,依等差数列的通项公式,得:Sn=a1+(a1+d)+(a1+2d)+…+[a1+(n-1)d].①再把项的次序反过来,Sn又可以写成:Sn=an+(an-d)+(an-2d)+…+[an-(n-1)d].②两式相加得:2Sn=(a1+an)+(a1+an)+…+(a1+an)=n(a1+an),∴Sn=.将an=a1+(n-1)d代入,得Sn=na1+.微拓展从函数角度认识等差数列的前n项和公式:(1)公式的变形(2)从函数角度认识公式①当d≠0时,Sn是项数n的二次函数,且不含常数项;②当d=0时,Sn=na1,Sn不是项数n的二次函数.(3)结论及其应用已知数列{an}的前n项和Sn=An2+Bn+C,若C=0,则数列{an}为等差数列;若C≠0,则数列{an}不是等差数列.Sn=na1+𝑛(𝑛-1)d2=d2n2+ቀa1-d2ቁn.名师点析(1)两个公式均为等差数列的求和公式,一共涉及a1,an,Sn,n,d五个量.通常已知其中三个,可求其余两个,而且方法就是解方程(组),这也是等差数列的基本问题形式之一.(2)当已知首项a1,末项an,项数n时,用公式Sn=n(a1+an)2.用此公式时,有时要结合等差数列的性质,如a1+an=ak+an-k+1,从而有Sn=n2(ak+an-k+1).(3)当已知首项a1,公差d及项数n时,用公式Sn=na1+n(n-1)2d.微练习(1)记等差数列{an}的前n项和为Sn,若a3=0,a6+a7=14,则S7=.(2)已知等差数列{an}的前n项和为Sn,公差为d.若S17=102,a11=12,则d=,S20=.答案(1)14(2)3210解析(1)设等差数列{an}的公差为d,因为a3=0,a6+a7=14,所以൜a1+2d=0,2a1+11d=14,解得൜a1=-4,d=2,所以Sn=na1+n(n-1)2d=-4n+n(n-1)2×2=n2-5n.故S7=72-5×7=14.(2)a11=a1+10d=12,S17=17a1+17×162d=102,...
