高中同步学案优化设计GAOZHONGTONGBUXUEANYOUHAUSHEJI第2课时等差数列前n项和的性质及应用第四章2021内容索引0102课前篇自主预习课堂篇探究学习课标阐释思维脉络1.掌握等差数列前n项和的性质及其应用.(逻辑推理)2.掌握等差数列前n项和的最值的求法.(数学运算)3.掌握等差数列各项绝对值的和的求法.(数学运算)等差数列前n项和的性质൞等差数列前n项和的性质等差数列前n项和的最值等差数列各项的绝对值的和课前篇自主预习【激趣诱思】等差数列的前n项和公式是一个关于n的函数,那么这个函数和二次函数有什么关系呢?等差数列的前n项和公式又具有什么独特的性质呢?这一节课我们就来研究一下这些问题.一、等差数列前n项和的函数特征等差数列的前n项和公式转移到二次函数的过程等差数列的前n项和公式与二次函数的关系①当A=0,B=0(即d=0,a1=0)时,Sn=0是关于n的常函数,{an}是各项为0的常数列.②当A=0,B≠0(即d=0,a1≠0)时,Sn=Bn是关于n的正比例函数,{an}为各项非零的常数列.③当A≠0(即d≠0)时,Sn=An2+Bn是关于n的二次函数(常数项为0).名师点析(1)若a1<0,d>0,则数列的前面若干项为负数(或0),所以将这些项相加即得Sn的最小值.(2)若a1>0,d<0,则数列的前面若干项为正数(或0),所以将这些项相加即得Sn的最大值.(3)特别地,若an>0,d>0,则S1是{Sn}的最小项;若an<0,d<0,则S1是{Sn}的最大项.微练习已知在公差d<0的等差数列{an}中,S8=S18,则此数列的前多少项和最大?若S7=S18呢?因为S8=S18,d<0,所以抛物线f(n)的对称轴是直线n=13,且抛物线开口向下,故当n=13时,f(n)有最大值,即数列{an}的前13项和最大.若S7=S18,则函数f(n)的对称轴是直线n=,当n=12或n=13时,f(n)最大,故前12项和与前13项和最大.解设f(n)=Sn=na1+n(n-1)2d=d2n2+ቀa1-d2ቁn.252二、等差数列前n项和的性质(2)设等差数列{an}的公差为d,Sn为其前n项和,则Sm,S2m-Sm,S3m-S2m,…仍构成等差数列,且公差为m2d.(1)若数列{an}是公差为d的等差数列,则数列ቄSnnቅ也是等差数列,且公差为d2.(3)设两个等差数列{an},{bn}的前n项和分别为Sn,Tn,则anbn=S2n-1T2n-1.(4)若等差数列{an}的项数为2n,则S2n=n(an+an+1),S偶-S奇=nd,S偶S奇=an+1an.(5)若等差数列{an}的项数为2n-1,则S偶=(n-1)an,S奇=nan,S奇-S偶=an,S奇S偶=nn-1.微练习(1)已知某等差数列共有10项,其奇数项之和为15,偶数项之和为30,则其公差为()A.5B.4C.3D.2(2)在等差数列{an}中,其前n项和为Sn,S2=4,S4=9,则S6=.答案(1)C(2)15解析(1)设等差数列的公差为d,由题意,得S偶-S...
