高中同步学案优化设计GAOZHONGTONGBUXUEANYOUHAUSHEJI第2课时等比数列的性质及应用第四章2021内容索引0102课前篇自主预习课堂篇探究学习课标阐释思维脉络1.能够根据等比数列的定义和通项公式推出等比数列的常用性质.(逻辑推理)2.能够运用等比数列的性质解决有关问题.(数学运算)3.能够运用等比数列的知识解决简单的实际问题.(数学建模)等比数列的性质及应用൞等比数列的性质性质的应用运用等比数列解决实际问题课前篇自主预习【激趣诱思】对任一等差数列{an},在计算a7+a10和a8+a9,a10+a40和a20+a30时你发现了什么规律?能把你发现的规律作一般化推广吗?在等比数列中有类似的结论吗?【知识梳理】𝑎𝑝2൜1𝑎𝑛ൠ名师点析等比数列{an}的增减性(1)当q>1,a1>0或01,a1<0或00时,{an}是递减数列.(3)当q=1时,{an}是常数列;当q<0时,{an}是摆动数列.微思考(1)若{an}为等比数列,则m+n=p+q(m,n,p,q∈N*)是aman=apaq的充要条件吗?如果不是,则是什么条件?提示不是.在等比数列{an}中,若m+n=p+q(m,n,p,q∈N*),则一定有aman=apaq,反之则不一定,如{an}是常数列.故是充分不必要条件.(2)将公比为q的等比数列{an}依次取相邻两项的乘积组成新的数列a1a2,a2a3,a3a4,…,则此数列是等比数列吗?其公比是什么?提示由于=q2,n≥2且n∈N*,所以{anan+1}是以q2为公比的等比数列.𝑎𝑛𝑎𝑛+1𝑎𝑛-1𝑎𝑛=𝑎𝑛𝑎𝑛-1·𝑎𝑛+1𝑎𝑛课堂篇探究学习探究一等比数列性质的应用例1(1)在等比数列{an}中,若a3=12,a9=3,则a15=.(2)已知公比为q的等比数列{an},a5+a9=12q,则a6(a2+2a6+a10)的值为.(3)在等比数列{an}中,a7a11=6,a4+a14=5,则𝑎20𝑎10等于.答案(1)18(2)14(3)32或23解析(1)由等比数列的性质知a3a15=𝑎92,故a15=𝑎92𝑎3=3212=18.(2) a5+a9=12q,∴a4+a8=12,∴a6(a2+2a6+a10)=a6a2+2𝑎62+a6a10=𝑎42+2a4a8+𝑎82=(a4+a8)2=14.(3)设公比为q, a7a11=a4a14=6,又a4+a14=5,∴൜𝑎4=2,𝑎14=3或൜𝑎4=3,𝑎14=2,∴q10=𝑎14𝑎4=32或23,∴𝑎20𝑎10=q10=32或23.方法技巧应用等比数列性质的解题策略(1)等比数列的性质是等比数列的定义、通项公式等基础知识的推广与变形,熟练掌握和灵活应用这些性质可以有效、方便、快捷地解决许多等比数列问题.(2)应用等比数列的性质解题的关键是发现问题中涉及的数列各项的下标之间的关系,充分利用①若m+n=p+q(m,n,p,q∈N*),则aman=apaq;②若m+n=2t(m,n,t∈N*),则aman=进行求解.𝑎𝑡2变式训练1(1)在等比数列{an}中,a1,a99是方程...
