第二课时等比数列的性质题型一等比数列的性质[探究发现]1．公比q＞0且q≠1时，等比数列呈现怎样的特点？提示：当a1＞0，q＞1时，等比数列是递增数列；当a1＞0,0＜q＜1时，等比数列是递减数列．2．已知{an}是一个无穷等比数列，公比为q.(1)将数列{an}中的前k项去掉，剩余各项组成一个新的数列，这个新数列是等比数列吗？如果是，它的首项与公比分别是多少？(2)取出数列{an}中的所有奇数项，组成一个新的数列，这个新数列是等比数列吗？如果是，它的首项与公比分别是多少？(3)在数列{an}中，每隔10项取出一项，组成一个新的数列，这个新数列是等比数列吗？如果是，它的公比是多少？你能根据得到的结论作出一个猜想吗？提示：(1)是，首项为ak＋1，公比为q；(2)是，首项为a1，公比为q2；(3)是，公比为q11.猜想：下标成等差数列且公比为q的等比数列中，项ak，ak＋m，ak＋2m，…(k，m∈N*)组成公比为qm的等比数列．[学透用活][典例1](1)已知各项均为正数的等比数列{an}中，a1a2a3＝5，a7a8a9＝10，则a4a5a6＝()A．52B.7C．6D.±52(2)(2020·南开中学月考)已知等比数列{an}满足an＞0，n＝1,2，…，且a5·a2n－5＝22n(n≥3)，则当n≥1时，log2a1＋log2a3＋…＋log2a2n－1＝()A．n(2n－1)B.(n＋1)2C．n2D.(n－1)2[解析](1)法一：由等比中项的性质知a1a2a3＝a32＝5，a7a8a9＝a38＝10，所以a2a8＝5013，所以a4a5a6＝a35＝(a2a8)3＝(6501)3＝52.法二：由等比数列的性质知，a1a2a3，a4a5a6，a7a8a9构成等比数列，所以(a1a2a3)·(a7a8a9)＝(a4a5a6)2，所以a4a5a6＝±5×10＝±52.又数列各项均为正数，所以a4a5a6＝52.(2)法一：由a5·a2n－5＝22n得a1q4·a1q2n－6＝a21q2n－2＝22n，所以(a1qn－1)2＝(2n)2.又an＞0，所以a1qn－1＝2n.故log2a1＋log2a3＋…＋log2a2n－1＝log2(a1a3…a2n－1)＝log2(an1q2＋4＋…＋2n－2)＝log2[an1qn(n－1)]＝log2[(a1qn－1)n]＝log2[(2n)n]＝n2.法二：由等比中项的性质，得a5·a2n－5＝(an)2＝22n，注意到an＞0，所以an＝2n.取特殊值，如令n＝2，则log2a1＋log2a3＝log2(2·23)＝log224＝4.只有C选项符合．法三：由等比中项的性质，得a5·a2n－5＝(an)2＝22n，注意到an＞0，所以an＝2n.于是log2a1＋log2a3＋…＋log2a2n－1＝1＋3＋…＋(2n－1)＝n2.法四：因为a1·a2n－1＝a3·a2n－3＝a5·a2n－5＝…＝(an)2＝22n，所以log2a1＋log2a3＋…＋log2a2n－1＝log2(a1a3…a2n－1)＝log2[(a1a2n－1)(a3a2n－3)…an]＝log22n2＝n2.[答案](1)...
