第二课时等差数列的性质及应用题型一等差数列的性质及应用[学透用活]若{an}是公差为d的等差数列，正整数m，n，p，q满足m＋n＝p＋q，则am＋an＝ap＋aq.(1)特别地，当m＋n＝2k(m，n，k∈N*)时，am＋an＝2ak.(2)对有穷等差数列，与首末两项“等距离”的两项之和等于首末两项的和，即a1＋an＝a2＋an－1＝…＝ak＋an－k＋1＝….(3)若{an}是公差为d的等差数列，则①{c＋an}(c为任一常数)是公差为d的等差数列；②{can}(c为任一常数)是公差为cd的等差数列；③{an＋an＋k}(k为常数，k∈N*)是公差为2d的等差数列．(4)若{an}，{bn}分别是公差为d1，d2的等差数列，则数列{pan＋qbn}(p，q是常数)是公差为pd1＋qd2的等差数列．[典例1](1)设{an}，{bn}都是等差数列，且a1＝25，b1＝75，a2＋b2＝100，则a37＋b37＝()A．0B.37C．100D.－37(2)已知数列{an}是等差数列，且a1－a5＋a9－a13＋a17＝117，则a3＋a15＝________.[解析](1)设cn＝an＋bn，由于{an}，{bn}都是等差数列，则{cn}也是等差数列，且c1＝a1＋b1＝25＋75＝100，c2＝a2＋b2＝100，∴{cn}的公差d＝c2－c1＝0.∴c37＝100，即a37＋b37＝100.(2) 在等差数列{an}中，若m＋n＝p＋q，则am＋an＝ap＋aq，∴a1＋a17＝a5＋a13.由条件等式，得a9＝117.∴a3＋a15＝2a9＝2×117＝234.[答案](1)C(2)234[方法技巧]本例(1)应用了等差数列的性质：若{an}，{bn}是等差数列，则{an＋bn}也是等差数列．本例(2)求解主要用到了等差数列的性质：若m＋n＝p＋q，则am＋an＝ap＋aq.对于此性质，应注意：必须是两项相加等于两项相加，否则不一定成立．例如，a15≠a7＋a8，但a6＋a9＝a7＋a8；a1＋a21≠a22，但a1＋a21＝2a11.灵活运用等差数列的某些性质，可以提高我们分析、解决数列综合问题的能力，应注意加强这方面的锻炼．[对点练清]1．(2020·合肥一中期末)已知{an}为等差数列，a4＋a7＋a10＝30，则a3－2a5的值为()A．10B.－10C．15D.－15解析：法一：设等差数列{an}的公差为d，则30＝(a1＋3d)＋(a1＋6d)＋(a1＋9d)＝3a1＋18d，即a1＋6d＝10.故a3－2a5＝(a1＋2d)－2(a1＋4d)＝－a1－6d＝－10.法二：由等差数列的性质知30＝a4＋a7＋a10＝3a7，则a7＝10.故a3－2a5＝a3－(a3＋a7)＝－a7＝－10.答案：B2．在等差数列{an}中，若a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝450，则a2＋a8＝________.解析： a3＋a7＝a4＋a6＝2a5，∴(a3＋a7)＋(a4＋a6)＋a5＝5a5＝450，解得a5＝90.∴a2＋a8＝2a5＝180.答案：180题型二灵活设元求解等差数列[学透用活][典例2]...
