第二课时直线与抛物线的位置关系及应用题型一直线与抛物线的位置关系[学透用活][典例1]已知抛物线的方程为y2＝4x，直线l过定点P(－2,1)，斜率为k，k为何值时，直线l与抛物线y2＝4x只有一个公共点；有两个公共点；没有公共点？[解]由题意，直线l的方程为y－1＝k(x＋2)，由方程组y－1＝kx＋2，y2＝4x，(*)可得ky2－4y＋4(2k＋1)＝0.①当k＝0时，由方程①得y＝1，把y＝1代入y2＝4x，得x＝14，这时直线l与抛物线只有一个公共点14，1.当k≠0时，方程①的判别式Δ＝－16(2k2＋k－1)．a．由Δ＝0，即2k2＋k－1＝0，解得k＝－1或k＝12，所以方程①只有一个解，从而方程组(*)只有一个解，这时直线l与抛物线只有一个公共点．b．由Δ>0，即2k2＋k－1<0，解得－10，解得k<－1或k>12.于是当k<－1或k>12时，方程①没有实数解，从而方程组(*)没有解，直线l与抛物线无公共点．综上，当k＝0或k＝－1或k＝12时，直线l与抛物线只有一个公共点．当－112时，直线l与抛物线无公共点．[方法技巧]直线与抛物线位置关系的判断方法设直线l：y＝kx＋b，抛物线：y2＝2px(p>0)，将直线方程与抛物线方程联立消元得：k2x2＋(2kb－2p)x＋b2＝0.(1)若k2＝0，此时直线与抛物线有一个交点，该直线平行于抛物线的对称轴或与对称轴重合．(2)若k2≠0，当Δ>0时，直线与抛物线相交，有两个交点；当Δ＝0时，直线与抛物线相切，有一个交点；当Δ<0时，直线与抛物线相离，无公共点．[对点练清]1．已知直线y＝kx－k及抛物线y2＝2px(p>0)，则()A．直线与抛物线有一个公共点B．直线与抛物线有两个公共点C．直线与抛物线有一个或两个公共点D．直线与抛物线可能没有公共点解析： 直线y＝kx－k＝k(x－1)，∴直线过点(1,0)．又点(1,0)在抛物线y2＝2px的内部．∴当k＝0时，直线与抛物线有一个公共点；当k≠0时，直线与抛物线有两个公共点．答案：C2．已知直线l过点－3p2，p，且与抛物线y2＝2px(p>0)只有一个公共点，则直线l的方程为______________．解析：当直线与抛物线只有一个公共点(相切)时，由题意设直线l方程为y－p＝kx＋3p2(k≠0)．将直线l的方程与y2＝2px联立，消去x得ky2－2py＋(2＋3k)p2＝0.由Δ＝0，得k＝13或k＝－1.所以直线l的方程为2x...
