高中同步学案优化设计GAOZHONGTONGBUXUEANYOUHAUSHEJI4.1.1有理数指数幂4.1.2无理数指数幂第4章2021内容索引0102课前篇自主预习课堂篇探究学习课标阐释1.通过对有理指数幂(a>0,m,n∈N且n≥2)含义的认识,了解指数幂的拓展过程.(数学抽象)2.通过对实数指数幂au(a>0,且u∈R)含义的认识,了解指数幂的拓展过程.(数学抽象)3.掌握指数幂的运算性质.(数学运算)amn思维脉络课前篇自主预习情境导入薇甘菊是热带、亚热带地区危害最严重的杂草之一,它侵害田地的面积S(单位:hm2)与年数t的关系式为S=S0·1.057t,其中S0为侵害田地面积的初始值.如果求10年后侵害田地的面积,那么S=S0·1.05710;如果求15.5年后侵害田地的面积,就需要计算S=S0·1.05715.5,这个指数运算与初中所学的指数运算有什么差异呢?知识梳理知识点一:根式1.n次方根的定义若一个(实)数x的n次方(n∈N,n≥2)等于a,即xn=a,则称x是a的n次方根.2.n次方根的性质(1)当n是奇数时,数a的n次方根记作ξ𝑎𝑛.当a>0时,ξ𝑎𝑛>0;当a=0时,ξ𝑎𝑛=0;当a<0时,ξ𝑎𝑛<0.(2)当n是偶数时,正数a的n次方根有两个,它们互为相反数.其中正的n次方根叫作算术根,记作ξ𝑎𝑛.再规定:ξ0𝑛=0,负数没有偶次方根.3.根式的定义式子ξ𝑎𝑛叫作根式(n∈N,n≥2),n叫作根指数,a叫作被开方数.4.根式的性质(1)(ξ𝑎𝑛)n=a;(2)当n为奇数时,ξ𝑎𝑛𝑛=a;当n为偶数时,ξ𝑎𝑛𝑛=|a|.名师点析1.在n次方根的概念中,关键是数a的n次方根x满足xn=a,因此求一个数a的n次方根,就是求一个数的n次方等于a.2.n次方根实际上就是平方根与立方根的推广.3.n次方根的概念表明,乘方与开方是互逆运算.微思考(1)(ξa𝑛)n与ξ𝑎𝑛𝑛的含义一样吗?提示不一样.(ξa𝑛)n是对实数a先求n次方根,再对其进行n次方运算,即先进行开方运算,再进行同次的乘方运算,且当n为任意正整数时,(ξ𝑎𝑛)n=a.ξ𝑎𝑛𝑛表示先求a的n次方,再对其进行n次方根运算,即先乘方再进行同次的开方运算,且当n为奇数时,ξ𝑎𝑛𝑛=a;当n为偶数时,ξ𝑎𝑛𝑛=|a|.(2)(ξa𝑛)n中实数a的取值范围是任意实数吗?提示不一定,当n为大于1的奇数时,a∈R;当n为大于1的偶数时,a≥0.知识点二:分数指数幂当a>0,m,n∈N且n≥2时,规定(1)ξ𝑎𝑚𝑛=𝑎𝑚𝑛.(2)1ξ𝑎𝑚𝑛=𝑎-𝑚𝑛.(3)0的正分数指数幂为0,0没有负分数指数幂.那么,在a>0时,对于任意有理数r,s仍有下列运算法则:ar·as=ar+s,(ar)s=ars,(ab)r=arbr(b>0).名师点析1.分数指数幂𝑎𝑚𝑛不可理解为𝑚𝑛个a相乘,它是根式的一种写法.2.正数的负分数指数幂总表示正数,而不是...
