高中同步学案优化设计GAOZHONGTONGBUXUEANYOUHAUSHEJI习题课椭圆的综合问题及应用第三章2021课堂篇探究学习探究一椭圆的中点弦问题例1已知椭圆𝑥216+𝑦24=1的弦AB的中点M的坐标为(2,1),求直线AB的方程.解(方法1)易知直线AB的斜率k存在.设所求直线的方程为y-1=k(x-2),(4k2+1)x2-8(2k2-k)x+4(2k-1)2-16=0.Δ=[-8(2k2-k)]2-4(4k2+1)[4(2k-1)2-16]=16(12k2+4k+3)>0,解得k∈R.由൝𝑦-1=𝑘(𝑥-2),𝑥216+𝑦24=1,得设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1,x2是上述方程的两根,∴x1+x2=8(2𝑘2-𝑘)4𝑘2+1.又M为AB的中点,∴𝑥1+𝑥22=4(2𝑘2-𝑘)4𝑘2+1=2,解得k=-12,且满足Δ>0.故所求直线的方程为x+2y-4=0.(方法2)设A(x1,y1),B(x2,y2). M(2,1)为AB的中点,∴x1+x2=4,y1+y2=2.又A,B两点在椭圆上,故所求直线的方程为x+2y-4=0.∴𝑥12+4𝑦12=16,𝑥22+4𝑦22=16,两式相减,得(𝑥12−𝑥22)+4(𝑦12−𝑦22)=0,∴(x1+x2)(x1-x2)+4(y1+y2)(y1-y2)=0,∴𝑦1-𝑦2𝑥1-𝑥2=-𝑥1+𝑥24(𝑦1+𝑦2)=-44×2=-12,即kAB=-12.(方法3)设所求直线与椭圆的一个交点为A(x,y),由于AB的中点为M(2,1),则另一个交点为B(4-x,2-y). A,B两点都在椭圆上,①-②,得x+2y-4=0.显然点A的坐标满足这个方程.代入验证可知点B的坐标也满足这个方程,而过A,B的直线只有一条,故所求直线的方程为x+2y-4=0.∴ቊ𝑥2+4𝑦2=16,①(4-𝑥)2+4(2-𝑦)2=16.②反思感悟处理椭圆的中点弦问题的三种途径(1)根与系数的关系法:联立直线方程与椭圆方程构成方程组,消掉其中的一个未知数,得到一个一元二次方程,利用一元二次方程根与系数的关系结合中点坐标公式求解.(2)点差法:设出弦的两个端点坐标,代入椭圆方程,两式相减即得弦的中点与斜率的关系.即“设而不求”思想,这也是此类问题最常用的方法.(3)中点转移法:先设出弦的一个端点的坐标,结合中点坐标得出弦的另一个端点的坐标,分别代入椭圆方程作差即得.变式训练1已知椭圆𝑥2𝑎2+𝑦2𝑏2=1(a>b>0)的右焦点为F(3,0),过点F的直线交椭圆于A,B两点,若线段AB的中点坐标为(1,-1),则椭圆的方程为.解析设A(x1,y1),B(x2,y2),由题意知x1≠x2,则𝑥12𝑎2+𝑦12𝑏2=1,𝑥22𝑎2+𝑦22𝑏2=1,两式相减,可得(𝑥1+𝑥2)(𝑥1-𝑥2)𝑎2+(𝑦1+𝑦2)(𝑦1-𝑦2)𝑏2=0.∴𝑦1-𝑦2𝑥1-𝑥2=-𝑏2(𝑥1+𝑥2)𝑎2(𝑦1+𝑦2). 线段AB的中点坐标为(1,-1),∴𝑦1-𝑦2𝑥1-𝑥2=𝑏2𝑎2. 直线的斜率为0+13-1=12,∴𝑏2𝑎2=12. 右焦点为F(3,0),∴a2-b2=9.∴a2=18,b2=9.∴椭圆方程为𝑥218+𝑦29=1.答案𝑥218+𝑦29=1探究二直线与椭圆的位置关系例2(20...
