高中同步学案优化设计GAOZHONGTONGBUXUEANYOUHAUSHEJI习题课三角恒等变换的应用第五章2021课堂篇探究学习探究一利用三角恒等变换研究函数的性质例1已知f(x)=ξ3sinx-cosx,求函数f(x)的周期、值域、单调递增区间.解f(x)=ξ3sinx-cosx=2ξ32sinx-12cosx=2sinxcosπ6-cosxsinπ6=2sinx-π6,∴T=2π𝜔=2π,值域为[-2,2].由-π2+2kπ≤x-π6≤π2+2kπ,k∈Z,得2kπ-π3≤x≤2π3+2kπ,k∈Z.故其单调递增区间为-π3+2kπ,2π3+2kπ,k∈Z.延伸探究若将本例中函数改为f(x)=msinx+mcosx,其中m>0,其他条件不变,应如何解答?解f(x)=msinx+mcosx=ξ2msinx+π4,∴T=2π,值域为[-ξ2m,ξ2m].由-π2+2kπ≤x+π4≤π2+2kπ,k∈Z,得-3π4+2kπ≤x≤π4+2kπ,k∈Z,故其单调递增区间为-3π4+2kπ,π4+2kπ,k∈Z.反思感悟研究三角函数的性质之前,往往需要先对函数解析式进行化简,化简的步骤通常有两步:首先是降幂,即利用降幂公式sin2x=1-cos2𝑥2,cos2x=1+cos2𝑥2将解析式化为一次式,然后再利用辅助角公式asinx+bcosx=ξ𝑎2+𝑏2sin(x+φ)转化为只含有一个三角函数的形式.探究二利用三角恒等变换解决求值与化简问题例2(1)求值:(tan10°-ξ3)cos10°sin50°;(2)化简:(sin𝑥+cos𝑥-1)(sin𝑥-cos𝑥+1)2sin𝑥cos𝑥.解(1)(tan10°-ξ3)cos10°sin50°=ቀsin10°cos10°-ξ3ቁcos10°sin50°=ቀsin10°-ξ3cos10°cos10°ቁcos10°sin50°=2൬12sin10°-ξ32cos10°൰sin50°=2(sin10°cos60°-cos10°sin60°)sin50°=2sin(10°-60°)sin50°=-2sin50°sin50°=-2.(2)(sin𝑥+cos𝑥-1)(sin𝑥-cos𝑥+1)2sin𝑥cos𝑥=ቀ2sin𝑥2cos𝑥2-2sin2𝑥2ቁቀ2sin𝑥2cos𝑥2+2sin2𝑥2ቁ2sin𝑥cos𝑥=4sin2𝑥2ቀcos𝑥2-sin𝑥2ቁቀsin𝑥2+cos𝑥2ቁ2sin𝑥cos𝑥=4sin2𝑥2ቀcos2𝑥2-sin2𝑥2ቁ2sin𝑥cos𝑥=4sin2𝑥2cos𝑥2sin𝑥cos𝑥=2sin2𝑥2sin𝑥=2sin2𝑥22sin𝑥2cos𝑥2=sin𝑥2cos𝑥2=tan𝑥2.反思感悟1.非特殊角的求值问题,关键是通过利用各种三角函数公式,将非特殊角转化为特殊角,或者通过运用公式,使正负项抵消或分子分母约分,或通过整体代入达到求值的目的.2.三角函数式的化简,主要是通过公式的运用,进行弦切互化,异名化同名,异角化同角,升幂或降幂等,达到化简的目的.变式训练已知sinቀ2π3-𝑥ቁ=-ξ33,则cos(-x)+cosቀ𝑥+5π3ቁ=.答案-1解析由sinቀ2π3-𝑥ቁ=-ξ33可得sinx+π3=-ξ33,于是cos(-x)+cosቀ𝑥+5π3ቁ=cosx+cosxcos5π3-sinxsin5π3=32cosx+ξ32sinx=ξ3sinቀ𝑥+π3ቁ=ξ3·ቀ-ξ33ቁ=...
