习题课导数及其应用.pptVIP免费

习题课导数及其应用高频考点一导数与函数的单调性[例1]已知函数f(x)＝lnx＋ax2＋(2a＋1)x，讨论f(x)的单调性．[解]f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝1x＋2ax＋2a＋1＝x＋12ax＋1x.若a≥0，则当x∈(0，＋∞)时，f′(x)＞0，故f(x)在(0，＋∞)上单调递增．若a＜0，则当x∈0，－12a时，f′(x)＞0；当x∈－12a，＋∞时，f′(x)＜0.故f(x)在0，－12a上单调递增，在－12a，＋∞上单调递减．[方法技巧]求函数的单调区间的方法步骤(1)确定函数f(x)的定义域；(2)计算函数f(x)的导数f′(x)；(3)解不等式f′(x)＞0，得到函数f(x)的递增区间；解不等式f′(x)＜0，得到函数f(x)的递减区间．[提醒]求函数单调区间一定要先确定函数定义域，往往因忽视函数定义域而导致错误．[集训冲关]1．函数f(x)＝2x2－lnx的递增区间是()A.0，12B.－12，0和12，＋∞C.12，＋∞D．－∞，－12和0，12解析：由题意得f′(x)＝4x－1x＝4x2－1x，且x>0，由f′(x)>0，即4x2－1>0，解得x>12.故选C.答案：C2．已知函数f(x)＝－12x2＋2x－aex.(1)若a＝1，求f(x)在x＝1处的切线方程；(2)若f(x)在R上是增函数，求实数a的取值范围．解：(1)当a＝1时，f(x)＝－12x2＋2x－ex，则f(1)＝－12×12＋2×1－e＝32－e，f′(x)＝－x＋2－ex，f′(1)＝－1＋2－e＝1－e，故曲线y＝f(x)在x＝1处的切线方程为y－32－e＝(1－e)(x－1)，即y＝(1－e)x＋12.(2) f(x)在R上是增函数，∴f′(x)≥0在R上恒成立， f(x)＝－12x2＋2x－aex，∴f′(x)＝－x＋2－aex，于是有不等式－x＋2－aex≥0在R上恒成立，即a≤2－xex在R上恒成立．令g(x)＝2－xex，则g′(x)＝x－3ex，x(－∞，3)3(3，＋∞)g′(x)－0＋g(x)极小值－1e3故函数g(x)在x＝3处取得极小值，亦即最小值，即g(x)min＝－1e3，∴a≤－1e3，故实数a的取值范围是－∞，－1e3.令g′(x)＝0，解得x＝3，列表如下：高频考点二导数与函数的极值、最值问题[例2]已知函数f(x)＝－x3＋ax2＋bx在区间(－2,1)内x＝－1时取极小值，x＝23时取极大值．(1)求曲线y＝f(x)在x＝－2处的切线方程；(2)求函数y＝f(x)在[－2,1]上的最大值与最小值．[解](1)f′(x)＝－3x2＋2ax＋b，因为x＝－1，x＝23分别对应函数的极小值，极大值，所以－1，23为方程－3x2＋2ax＋b＝0的两个根．即23a＝－1＋23，－b3＝(－1)×23.于...