第2课时利用导数研究不等式恒成立(能成立)问题题型突破·提高“四能”题型突破·提高“四能”题型一分离参数法解决不等式恒成立问题[例1][2022·河北沧州一中月考]已知函数f(x)=ax+lnx+1.(1)讨论函数f(x)的单调性;(2)对任意的∀x>0,f(x)≤0恒成立,求实数a的取值范围.类题通法分离参数法解决不等式恒成立问题的方法通过分离参数法,先转化为f(a)≥g(x)(或f(a)≤g(x))对∀x∈D恒成立,再转化为f(a)≥g(x)max(或f(a)≤g(x)min).[巩固训练1][2022·山东济宁一中模拟]已知函数f(x)=x-alnx,a∈R.(1)求函数f(x)的单调区间;(2)当x∈[1,2]时,有f(x)>0成立,求a的取值范围.(2)若关于x的不等式f(x)>g(x)在区间(0,+∞)上恒成立,求a的取值范围.类题通法等价转化法解决不等式恒成立问题的方法不能直接分离参数的不等式,首先需要移项、变形、换元等手段,再分离参数解决.[巩固训练2][2022·山东威海一中月考]已知函数f(x)=lnx-x+a(a∈R).(1)若函数f(x)的最大值为1,求实数a的值;题型三双变量不等式恒成立问题[例3]已知f(x)=-ex+ex(e为自然对数的底数)(1)求函数f(x)的最大值;解析:(1)∵f(x)=-ex+ex,∴f′(x)=-ex+e,令f′(x)>0,解得x<1;令f′(x)<0,解得x>1,∴f(x)在(-∞,1)单调递增,在(1,+∞)单调递减,∴f(x)max=f(1)=0;类题通法解双变量不等式恒成立问题的方法一般采用等价转化法.(1)∀x1∈[a,b],∀x2∈[c,d],使f(x1)>g(x2)⇔f(x)min>g(x)max.(2)∃x1∈[a,b],∃x2∈[c,d],使f(x1)>g(x2)⇔f(x)max>g(x)min.(3)∀x1∈[a,b],∃x2∈[c,d],使f(x1)>g(x2)⇔f(x)min>g(x)min.(4)∃x1∈[a,b],∀x2∈[c,d],使f(x1)>g(x2)⇔f(x)max>g(x)max.x02g′(x)0-0+g(x)-3↘↗1