高考总复习优化设计GAOKAOZONGFUXIYOUHUASHEJI高考大题专项(三)数列第六章2022【考情分析】高考数列解答题主要题型有:等差、等比数列的基本量运算问题;证明一个数列是等差或等比数列;根据递推关系求数列的通项公式;求一般数列的前n项和;证明数列型不等式等.题目难度中低等,一般设置在解答题的前两题,有时会命制结构不良型的开放题.【典例剖析】题型一等差、等比数列的综合问题【例1】(2020山东泰安高三模拟)在①Sn=n2+n,②a3+a5=16,S3+S5=42,③𝑎𝑛+1𝑎𝑛=𝑛+1𝑛,S7=56这三个条件中任选一个补充在下面的问题中,并加以解答.设等差数列{an}的前n项和为Sn,数列{bn}为等比数列,,b1=a1,b2=𝑎1𝑎22.求数列ቄ1𝑆𝑛+𝑏𝑛ቅ的前n项和Tn.注:如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分.解选①当n=1时,a1=S1=2,当n≥2时,an=Sn-Sn-1=2n,又n=1满足an=2n,所以an=2n,Sn=𝑛(2+2𝑛)2=n2+n(n∈N*);选②设数列{an}的公差为d,由a3+a5=16,S3+S5=42,得൜2𝑎1+6𝑑=16,8𝑎1+13𝑑=42,解得൜𝑎1=2,𝑑=2,所以an=2n,Sn=𝑛(2+2𝑛)2=n2+n(n∈N*);选③由𝑎𝑛+1𝑎𝑛=𝑛+1𝑛,得𝑎𝑛+1𝑛+1=𝑎𝑛𝑛,所以𝑎𝑛𝑛=𝑎11,即an=a1n,S7=7a4=28a1=56,所以a1=2,所以an=2n,Sn=𝑛(2+2𝑛)2=n2+n(n∈N*).①②③均可求得an=2n,Sn=𝑛(2+2𝑛)2=n2+n(n∈N*),设{bn}的公比为q,又因为a1=2,a2=4,由b1=a1=2,b2=𝑎1𝑎22=4,得b1=2,q=2,所以bn=2n(n∈N*),所以数列{bn}的前n项和为2-2𝑛+11-2=2n+1-2,因为1𝑆𝑛=1𝑛2+𝑛=1𝑛(𝑛+1)=1𝑛−1𝑛+1,数列ቄ1𝑆𝑛ቅ的前n项和为1-12+12−13+…+1𝑛−1𝑛+1=1-1𝑛+1,故Tn=2n+1-2+1-1𝑛+1=2n+1-1𝑛+1-1.解题心得1.对于等差、等比数列,求其通项公式及求前n项的和时,只需利用等差数列或等比数列的通项公式及求和公式求解即可.2.有些数列可以通过变形、整理,把它转化为等差数列或等比数列,进而利用等差数列或等比数列的通项公式或求和公式解决问题.对点训练1(2020湖南永州高三第三次模拟)已知Sn是公差不为零的等差数列{an}的前n项和,S3=6,a3是a1与a9的等比中项.(1)求数列{an}的通项公式;(2)设数列bn=(-1)n4𝑎𝑛4𝑛2-1(n∈N*),数列{bn}的前2n项和为P2n,若|P2n+1|<12020,求正整数n的最小值.解(1)公差d不为零的等差数列{an},由a3是a1与a9的等比中项,可得又因为S3=3a1+3d=6,可得a1=d=1,所以数列{an}是以1为首项和公差的等差数列,所以an=n,n∈N*.a1·a9=𝑎32,即a1(a1+8d)=(𝑎1+2𝑑)2,解得a1=d.(2)由(1)可知bn=(-1)n4𝑛4𝑛2-1=(-1)n(12𝑛-1+12𝑛+1),所以P2n=-1-13+13+15−15−17+…-14...
