第1课时利用空间向量证明平行、垂直与利用空间向量求距离教材回扣·夯实“四基”题型突破·提高“四能”教材回扣·夯实“四基”2．空间位置关系的向量表示位置关系向量表示直线l1，l2的方向向量分别为u1，u2l1∥l2u1∥u2⇔∃λ∈R，使得u1＝λu2l1⊥l2u1⊥u2⇔u1·u2＝0直线l的方向向量为u，平面α的法向量为nl∥α(l⊄α)u⊥n⇔u·n＝0l⊥α,u∥n⇔∃λ∈R，使得u＝λnn1，n2分别是平面α，β的法向量α∥βn1∥n2⇔∃λ∈R，使得n1＝λn2α⊥βn1⊥n2⇔n1·n2＝0题型突破·提高“四能”题型一利用空间向量证明平行、垂直[例1]如图，在四棱锥PABCD中，PC⊥平面ABCD，PC＝2，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠BCD＝90°，AB＝4，CD＝1，点M在PB上，PB＝4PM，PB与平面ABCD所成的角为30°.求证：(1)CM∥平面PAD；(2)平面PAB⊥平面PAD.类题通法利用空间向量证明空间垂直、平行的一般步骤[巩固训练1]如图所示，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，侧面AA1C1C和侧面AA1B1B都是正方形且互相垂直，M为AA1的中点，N为BC1的中点．求证：(1)MN∥平面A1B1C1；(2)平面MBC1⊥平面BB1C1C.(2)若SD⊥平面PAC，侧棱SC上是否存在一点E，使得BE∥平面PAC.若存在，求SE∶EC的值；若不存在，试说明理由．类题通法存在问题的两种探索方式[巩固训练2][2022·北京海淀模拟]如图，在四棱锥P-ABCD中，平面PBC⊥平面ABCD.△PBC是等腰三角形，且PB＝PC＝3.在梯形ABCD中，AB∥DC，AD⊥DC，AB＝5，AD＝4，DC＝3.(1)求证：AB∥平面PDC；证明：因为AB∥DC，AB⊄平面PDC，DC⊂平面PDC，所以AB∥平面PDC.(2)在线段AP上是否存在点H，使得BH⊥平面ADP？请说明理由．题型三利用空间向量求空间距离[例3][2022·天津南开区模拟]如图，直二面角DABE中，四边形ABCD是边长为2的正方形，AE＝EB，F为CE上的点，且BF⊥平面ACE.(1)求证：AE⊥平面BCE；(2)求点D到平面ACE的距离．类题通法利用向量法求点到平面的距离的步骤[巩固训练3]已知边长为4的正三角形ABC，E，F分别为BC和AC的中点．PA＝2，且PA⊥平面ABC，设Q是CE的中点．(1)求证：AE∥平面PFQ；(2)求AE与平面PFQ间的距离．
