高中同步学案优化设计GAOZHONGTONGBUXUEANYOUHAUSHEJI2.2圆的一般方程第一章2021内容索引0102课前篇自主预习课堂篇探究学习核心素养思维脉络1.理解圆的一般方程及其特点.(数学抽象)2.掌握圆的一般方程和标准方程的互化.(数学运算)3.会求圆的一般方程以及与圆有关的简单的轨迹方程问题.(逻辑推理)课前篇自主预习激趣诱思我们已经学习了曲线与方程的关系,也已经认识了直线方程的多种形式,刚刚学习了圆的标准方程,现给出一个一般的二元二次方程:Ax2+Cy2+Dx+Ey+F=0(A,C,D,E,F为常数),请问这个方程在什么情况下可以表示圆呢?知识点拨一、圆的一般方程当D2+E2-4F>0时,方程x2+y2+Dx+Ey+F=0表示以(-D2,-E2)为圆心,12ටD2+E2-4F为半径的圆,这个方程叫作圆的一般方程.名师点析1.当D2+E2-4F=0时,方程表示一个点;当D2+E2-4F<0时,方程不表示任何图形.2.二元二次方程要想表示圆,需x2和y2的系数相同且不为0,没有xy这样的二次项.3.几个常见圆的一般方程(1)过原点的圆的方程:x2+y2+Dx+Ey=0(D,E不全为0);(2)圆心在y轴上的圆的方程:x2+y2+Ey+F=0(E2-4F>0);(3)圆心在x轴上的圆的方程:x2+y2+Dx+F=0(D2-4F>0);(4)圆心在x轴上且过原点的圆的方程:x2+y2+Dx=0(D≠0);(5)圆心在y轴上且过原点的圆的方程:x2+y2+Ey=0(E≠0).(-D2,-E2)微练习(1)圆x2+y2-6x=0的圆心坐标是.(2)若方程x2+y2+Dx+Ey+F=0表示以(2,-4)为圆心,以4为半径的圆,则F=.答案(1)(3,0)(2)4微思考二元二次方程Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0表示圆需要满足哪些条件?提示(1)A=C,且均不为0;(2)B=0;(3)D2+E2-4AF>0.二、由圆的一般方程判断点与圆的位置关系及与圆有关的轨迹问题1.已知点M(x0,y0)和圆的方程x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0).点M在圆外⇔x02+y02+Dx0+Ey0+F>0;点M在圆上⇔x02+y02+Dx0+Ey0+F=0;点M在圆内⇔x02+y02+Dx0+Ey0+F<0.2.点M的坐标(x,y)满足的等量关系式称为点M的轨迹方程.求符合某种条件的动点M的轨迹方程,实质上就是利用题设中的几何条件,通过“坐标化”将其转化为关于变量x,y之间的方程.微判断(1)任何一个圆的方程都能写为一个二元二次方程.()(2)方程x2+y2+ax+2ay+2a2+a-1=0表示圆心为(-a2,-a),半径为12ට-3a2-4a+4的圆.()(3)若点M(x0,y0)在圆x2+y2+Dx+Ey+F=0外,则x02+y02+Dx0+Ey0+F>0.()√×√课堂篇探究学习探究一圆的一般方程初步理解例1若方程x2+y2+2mx-2y+m2+5m=0表示圆,求实数m的取值范围,并写出圆心坐标和半径.解由题意得(2m)2+(-2)2-4(m2+5m)>0,解得m<15,即实数m的取值范围为(-∞,15).圆心坐标为(-m...
