第二章　4.1　函数的奇偶性.pptx

高中同步学案优化设计,GAO ZHONG TONG BU XUE AN YOU HAU SHE JI,第二章,2021,内容索引,课前篇 自主预习,课堂篇 探究学习,课前篇 自主预习,激趣诱思,中国剪纸是一种用剪刀或刻刀在纸上剪刻花纹,用于装点生活或配合其他民俗活动的民间艺术.在中国,剪纸具有广泛的群众基础,是各种民俗活动的重要组成部分.其传承延续的视觉形象和造型样式,蕴涵了丰富的历史文化信息,表达了广大民众的社会认知、道德观念、实践经验、生活理想和审美情趣,具有认知、教化、表意、抒情、娱乐、交往等多重社会价值.,折叠剪纸是最常见的一种制作表现方法,它折法简明,制作简便,尤其适于表现结构对称的形体和对称的图式,这种对称给人一种美的享受.我们学习过的函数图象中,也有很多这样的对称现象,请你想一想哪些函数的图象是对称的,都有哪些对称方式?,知识点拨,一、奇、偶函数的定义,注:当函数f(x)是奇函数或偶函数时,称f(x)具有奇偶性.,名师点析 1.判断函数的奇偶性要“二看”(1)一看定义域.定义域A要关于原点对称,即对任意xA,-xA,定义域不关于原点对称时,f(x)既不是奇函数,也不是偶函数.如f(x)=x2,xR是偶函数,但f(x)=x2,x-1,2既不是奇函数,也不是偶函数.(2)二看等式.当f(x)的定义域关于原点对称时,要看f(x)与f(-x)的关系:f(-x)=f(x)f(x)是偶函数;f(-x)=-f(x)f(x)是奇函数;f(-x)f(x)f(x)既不是奇函数,也不是偶函数;f(-x)=f(x)f(x)既是奇函数又是偶函数.这样的函数只有一类,即f(x)=0,xD,且D关于原点对称.,2.奇、偶函数的运算性质及复合函数的奇偶性设非零函数f(x),g(x)的定义域分别是F,G,若F=G,则有下列结论:,注意:上述表格中不考虑f(x)g(x)=0.fg(x)中,需xG,g(x)F.,微判断判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内画“”,错误的画“”.(1)若函数f(x)的定义域关于原点对称,则f(x)是偶函数.()(2)若f(x)是偶函数,则它的定义域关于原点对称.()(3)若f(-2)=f(2),则f(x)(xR)是偶函数.()(4)若f(x)(xR)是偶函数,则f(-2)=f(2).()(5)若f(2)f(-2),则f(x)(xR)不是偶函数.()(6)既是奇函数又是偶函数的函数一定是f(x)=0(xR).(),解析只有f(x)的定义域关于原点对称,且对定义域中的任意x都有f(-x)=f(x)时,f(x)才是偶函数,故(1)错误;f(x)的定义域关于原点对称是f(x)为偶函数的必要条件,故(2)正确;对任意xR,满足f(-x)=f(x),f(x)才是偶函数,仅凭两个特殊的函数值相等不足以判断函数的奇偶性,故(3)错误而(4)正确;若f(2)f(-2),则f(x)(xR)不是偶函数,故(5)正确;f(x)=0,定义域为-1,1,该函数既是奇函数又是偶函数,故(6)错误.答案(1)(2)(3)(4)(5)(6),微思考已知函数f(x)是奇函数,定义域为D,若0D,f(0)是否为定值?提示f(x)为奇函数,对任意xD,f(-x)=-f(x),f(-0)=-f(0),即f(0)=0,为定值.,二、函数奇偶性与单调性的关系1.奇函数在关于原点对称的区间上具有相同的单调性;偶函数在关于原点对称的区间上具有相反的单调性.上述结论可简记为“奇同偶异”.2.偶函数在关于原点对称的区间上有相同的最大(小)值,取得最值时的自变量的值互为相反数;奇函数在关于原点对称的区间上取得的最值互为相反数,取得最值时的自变量的值也互为相反数.,名师点析 1.奇偶性与单调性都是函数的重要性质,单调性是函数的“局部”性质,是研究函数值在某一区间内的变化趋势;而奇偶性是函数的“整体”性质,是研究函数图象在整个定义域上的对称性.2.研究函数的奇偶性与单调性对了解函数非常重要,如果一个函数是奇函数或是偶函数,根据它的图象关于坐标原点对称或关于y轴对称的性质,只要把这个函数的定义域分成关于坐标原点对称的两部分,由函数在其中一部分上的图象和性质,即可推断出它在整个定义域内的图象和性质.而研究该函数其中一部分图象的情况,就得研究其函数值的变化,这就是单调性,只有把这两种性质结合在一起才能更好地了解函数的特征.,微练习(1)若奇函数f(x)在-6,-2上单调递减,且最小值是1,则它在2,6上()A.单调递增且最小值是-1B.单调递增且最大值是-1C.单调递减且最大值是-1D.单调递减且最小值是-1,(2)(2020全国2,文10)设函数f(x)=x3-,则f(x)()A.是奇函数,且在(0,+)上单调递增B.是奇函数,且在(0,+)上单调递减C.是偶函数,且在(0,+)上单调递增D.是偶函数,且在(0,+)上单调递减,解析(1)奇函数f(x)在-6,-2上单调递减,且最小值是1,函数f(x)在2,6上单调递减且最大值是-1.,答案(1)C(2)A,课堂篇 探究学习,例1判断下列函数的奇偶性:,分析利用奇函数、偶函数的定义判断函数的奇偶性时,先求出函数的定义域,看其是否关于原点对称,如果定义域关于原点对称,再判断f(-x)与f(x)的关系.为了判断f(-x)与f(x)的关系,既可以从f(-x)开始化简整理,也可以考虑f(-x)+f(x)或f(-x)-f(x)是否等于0.当f(x)不等于0时也可考虑 与1或-1的关系,还可以考虑使用图象法.,解(1)函数的定义域为x|x-1,不关于原点对称,故f(x)既不是奇函数,也不是偶函数.(2)函数的定义域为R,关于原点对称,且对任意的xR,有f(-x)=(-x)3-2(-x)=2x-x3=-f(x),故f(x)是奇函数.,函数的定义域为-1,1,关于原点对称.又f(1)=f(-1)=0,f(x)既是奇函数又是偶函数.,(4)函数的定义域关于原点对称.当x0时,-x0,f(-x)=(-x)1+(-x)=-x(1-x)=-f(x).f(-x)=-f(x).f(x)是奇函数.,反思感悟 1.根据奇偶性可将函数分为奇函数,偶函数,既是奇函数又是偶函数,既不是奇函数也不是偶函数.2.判断函数奇偶性的两种方法(1)定义法:,(2)图象法:,变式训练 判断下列函数的奇偶性:,(2)f(x)=|x+2|+|x-2|;(3)f(x)=0.,(2)f(x)的定义域是R,且对任意的xR,有f(-x)=|-x+2|+|-x-2|=|x-2|+|x+2|=f(x),所以f(x)是偶函数.(3)因为f(x)的定义域为R,且对任意的xR,有f(-x)=0=f(x),且f(-x)=0=-f(x),所以f(x)既是奇函数又是偶函数.,利用函数的奇偶性求解析式例2已知f(x)为R上的奇函数,当x0时,f(x)=-2x2+3x+1.(1)求f(-1);(2)求f(x)的解析式.分析(1)根据奇函数的性质,将f(-1)转化为f(1)求解;(2)先设出所求区间上的自变量,利用奇函数、偶函数的定义域关于原点对称的特点,把它转化到已知解析式的区间上,代入已知的解析式,再次利用函数的奇偶性求解.注意不要忽略x=0时f(x)的解析式.,解(1)因为函数f(x)为奇函数,所以f(-1)=-f(1)=-(-212+31+1)=-2.(2)当x0,则f(-x)=-2(-x)2+3(-x)+1=-2x2-3x+1.由于f(x)是奇函数,则f(x)=-f(-x),所以f(x)=2x2+3x-1.当x=0时,f(-0)=-f(0),则f(0)=-f(0),即f(0)=0.,反思感悟 1.这类问题常见的情形是:已知当x(a,b)时,f(x)=(x),求当x(-b,-a)时f(x)的解析式.若f(x)为奇函数,则当x(-b,-a)时,f(x)=-f(-x)=-(-x);若f(x)为偶函数,则当x(-b,-a)时,f(x)=f(-x)=(-x).2.若函数f(x)的定义域内含0且为奇函数,则必有f(0)=0,不能漏掉.,延伸探究若将本例中的“奇”改为“偶”,“x0”改为“x0”,其他条件不变,求f(x)的解析式.,解当x0,此时f(-x)=-2(-x)2+3(-x)+1=-2x2-3x+1.由于f(x)是偶函数,则f(x)=f(-x)=-2x2-3x+1,所以f(x)的解析式为,1.比较函数值的大小例3已知偶函数f(x)的定义域为R,f(x)在区间0,+)上单调递增,则f(-2),f(),f(-3)的大小关系是()A.f()f(-3)f(-2)B.f()f(-2)f(-3)C.f()f(-3)f(-2)D.f()f(-2)f(-3),解析f(x)在R上是偶函数,f(-2)=f(2),f(-3)=f(3).23,且f(x)在区间0,+)上单调递增,f(2)f(3)f(),f(-2)f(-3)f().故选A.答案A,要点笔记 应用函数的单调性与奇偶性比较函数值的大小时,先利用函数的奇偶性将自变量转化到同一个单调区间上,再根据函数的单调性对函数值的大小作出比较.,延伸探究(1)若将本例中的“单调递增”改为“单调递减”,其他条件不变,则f(-2),f(),f(-3)的大小关系如何?(2)若将本例中的“偶函数”改为“奇函数”,其他条件不变,比较这三个函数值的大小.,解(1)因为当x0,+)时,f(x)单调递减,所以有f(2)f(3)f().又因为f(x)是R上的偶函数,所以f(-2)=f(2),f(-3)=f(3),从而有f(-2)f(-3)f().(2)因为函数为定义在R上的奇函数,且在0,+)上单调递增,所以函数在R上是增函数,因为-3-2,所以f(-3)f(-2)f().,2.解函数不等式例4已知定义在区间-2,2上的奇函数f(x)在区间0,2上单调递减,若f(1-m)f(m),求实数m的取值范围.,解因为f(x)在区间-2,2上为奇函数,且在区间0,2上单调递减,所以f(x)在区间-2,2上单调递减.,反思感悟 解有关奇函数f(x)的不等式f(a)+f(b)0,先将f(a)+f(b)0变形为f(a)-f(b)=f(-b),再利用f(x)的单调性去掉“f”,化为关于a,b的不等式.另外,要特别注意函数的定义域.由于偶函数在关于原点对称的两个区间上的单调性相反,所以我们要利用偶函数的性质f(x)=f(|x|)=f(-|x|)将f(g(x)中的g(x)全部化到同一个单调区间内,再利用单调性去掉符号“f”,使不等式得解.,延伸探究若将本例中的“奇函数”改为“偶函数”,把区间“0,2”改为“-2,0”,其他条件不变,求实数m的取值范围.,解因为函数为区间-2,2上的偶函数,又函数在-2,0上单调递减,所以函数在0,2上单调递增,不等式可化为f(|1-m|)f(|m|),利用定义法、赋值法解决抽象函数奇偶性问题典例1若定义在R上的函数f(x)满足:对任意的x1,x2R,都有f(x1+x2)=f(x1)+f(x2),且当x0时,f(x)0,则()A.f(x)是奇函数,且在R上是增函数B.f(x)是奇函数,且在R上是减函数C.f(x)是奇函数,且在R上不是单调函数D.无法确定f(x)的单调性和奇偶性,解析令x1=x2=0,则f(0)=2f(0),所以f(0)=0.令x1=x,x2=-x,则f(-x)+f(x)=f(x-x)=f(0)=0,所以f(-x)=-f(x),故函数y=f(x)是奇函数.设x10,所以f(x2-x1)0,故f(x2)f(x1),所以函数y=f(x)在R上是减函数.故选B.答案B,典例2已知函数f(x),xR,若对于任意实数x1,x2,都有f(x1+x2)+f(x1-x2)=2f(x1)f(x2),求证:函数f(x)为偶函数.,证明令x1=0,x2=x,得f(x)+f(-x)=2f(0)f(x).令x2=0,x1=x,得f(x)+f(x)=2f(0)f(x).由得f(x)+f(-x)=f(x)+f(x),即f(-x)=f(x),所以函数f(x)为偶函数.,反思感悟 1.判断抽象函数的奇偶性,应利用函数奇偶性的定义,找准方向,巧妙赋值,合理、灵活变形,找出f(-x)与f(x)的关系,从而判断或证明抽象函数的奇偶性.2.有时需要在整体上研究f(-x)+f(x)的和的情况.比如上面典例1中利用f(-x)+f(x)=0可得出y=f(x)是奇函数.,变式训练 定义在R上的函数y=f(x)满足:对任意,R,总有f(+)-f()+f()=2 020,则下列说法正确的是()A.f(x)-1是奇函数B.f(x)+1是奇函数C.f(x)-2 020是奇函数D.f(x)+2 020是奇函数,解析令=0,则f(0)-f(0)+f(0)=2 020,即f(0)=-2 020.令=-,则f(0)-f()+f(-)=2 020,即f()+f(-)=-4 040,则f(-)+2 020=-2 020-f()=-2 020+f(),即f(x)+2 020是奇函数,故选D.答案D,1.下列函数是奇函数的为()A.y=x3-x2B.y=|x-1|C.y=-3x3+xD.y=答案C,2.设f(x)是定义在R上的奇函数,当x0时,f(x)=2x2-x,则f(1)=()A.-1B.-3C.1D.3解析当x0时,f(x)=2x2-x,f(-1)=2(-1)2-(-1)=3.因为f(x)是定义在R上的奇函数,所以f(1)=-f(-1)=-3,故选B.答案B,3.函数f(x)的定义域为R,且对任意xR,有f(x)满足f(-x)=f(x),且f(x)在区间(-,-1上单调递增,则(),解析f(-x)=f(x),f(2)=f(-2),答案D,4.已知f(x)是定义在R上的偶函数,当x0时,f(x)=,试求f(x)的解析式.,综上所述,在(-,0)(0,+)上总有f(-x)=-f(x).因此函数f(x)是奇函数.,6.已知奇函数f(x)在R上是减函数,且f(3a-10)+f(4-2a)0,求a的取值范围.,解f(3a-10)+f(4-2a)2a-4.a6.故a的取值范围为(6,+).,更多精彩内容请登录志鸿优化网http:/www.zhyh.org/,本 课 结 束,