吉林省延边第二中学2023学年高一数学上学期期中试题.doc

吉林省延边第二中学2023学年高一数学上学期期中试题 答题时间120分钟 试卷总分140分 一、选择题（共12小题，每小题4分，共48分，每题只有一个选项正确） 1.若集合≤≤，集合，则∩=（ ） A．{2} B．{3} C．{－2，3} D．{－3，2} 2.已知幂函数的图象过点，则的值为（ ） A． B． C． D． 3．下列函数中，既是偶函数，又在单调递增的函数是（ ） A. B. C. D. 4.设，则a，b，c的大小关系是 （A）a＞c＞b （B）a＞b＞c （C）c＞a＞b （D）b＞c＞a 5．函数的定义域为（ ） A.（，+∞） B.［1，+∞ C.（，1 D.（－∞，1） 6．函数 的零点所在的大致区间是（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则当时，表达式是（ ） A． B． C． D． 8.是方程的两个根，求等于（ ） A．lg2+lg3 B．lg2lg3 C． D． 9.函数的单调递增区间是（ ） A． B． C． D． 10.已知函数，若，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 11． 函数的图像大致是( ) 12．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，例如：，，已知函数，则函数的值域是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（共4小题，每小题4分，共16分，请将答案写在答题纸上） 13．已知，则______． 14．已知定义在R上的奇函数满足，则的值为_______． 15．将一个棱长为2的正方体木块削成一个体积最大的球，则该球的表面积为_____． 16. 关于x的方程在上有两个不同的实数根，则实数a的取值范围是___________. 三、解答题（共６小题，17、18题各10分，19、20、21题各12分，22, 23题为附加题，共20分，请写出必要的解答过程） 17．（本小题满分10分） 已知全集U＝R，集合M＝{x|x≤a－2或x≥a＋3}，N＝{x|－1≤x≤2}． (1)若，求()∩()； (2)若∩＝，求实数的取值范围． 18．（本小题满分10分） 已知函数. (1)求的值; (2)求的值. 19．（本小题满分12分） 已知在区间 上的值域为。 (1)求实数的值； (2)若不等式 在恒成立，求实数k的取值范围。 20.（本小题满分12分） 正在建设中的某市地铁一号线将大大缓解市内交通的压力. 根据测算，如果一列车每次拖4节车厢，每天能来回16次；如果每次拖7节车厢，则每天能来回10次；每天来回次数是每次拖挂车厢节数的一次函数，每节车厢单向一次最多能载客110人，试问每次应拖挂多少节车厢才能使该列车每天营运人数最多？并求出每天最多的营运人数．(注：营运人数指列车运送的人数) . 21．（本小题满分12分） 定义在上的函数，对于任意的m，n∈(0,＋∞)，都有成立，当x＞1时，． (1)求证：1是函数的零点； (2)求证：是(0,＋∞)上的减函数； (3)当时，解不等式． 附加题：（满分20分，计入试卷总分） 22.（本小题5分） 若，关于的方程在区间上有且只有一个实数解，则实数 的取值范围是__________．（本题不需要过程，只需在答题卡上写出结果） 23.（本小题15分） 已知函数． (1)若是偶函数，求实数a的值； (2)当时，判断的单调性，不需要证明； (3)当时，关于x的方程在区间上恰有两个不同的实数解，求实数a的取值范围． 延边第二中学2023学年度第一学期期中考试 高一数学试卷考试答案 一、选择题 ABDACB DCCCAD 二、填空13.47 14.0 15. 16.(4，5] 三、解答题 17.解：(1)当a＝0时，M＝{x|x≤－2或x≥3}， 所以CUM＝{x|－2＜x＜3}， (2分) CUN＝{x|x＜－1或x＞2}， 所以(CUM)∩(CUN)＝{x|－2＜x＜－1或2＜x＜3}． (5分) (2)若M∩N＝，则，解得－1＜a＜1． 故当M∩N＝时，实数a的取值范围是{a|－1＜a＜1}． (10分) 18. 因为 （2分） . (5分) (6分) ,(7分). （8分） 所以， （10分）. 19.（1） 当时，在上单调递增 ，即，与矛盾。故舍去。 (2分) 当时，，即，故 (4分) 此时，满足时其函数值域为。 当时，在上单调递减 ，即，舍去。 综上所述：。 （6分） （2）由已知得 在上恒成立 （8分） 令，且，则上式恒成立。 记时单调递减，故 所以的取值范围为。 （12分） 20．解：设该列车每天来回次数为，每次拖挂车厢数为，每天营运人数为． 由已知可设，则根据条件得 ，解得，． 　 (6分) 所以； ∴当时，． 即每次应拖挂6节车厢,才能使该列车每天的营运人数最多,最多为15840人．(12分) 21解： (1)对于任意的正实数m，n都有成立， 所以令m＝n＝1，则． ∴，即1是函数f(x)的零点． (3分) (2)任意且x1＜x2，则由于对任意正数， 所以，即 又当x＞1时，，而．所以. 从而，因此在(0，＋∞)上是减函数． (7分) (3)根据条件有， 所以等价于． 再由是定义在(0，＋∞)上的减函数，所以0＜ax＋4＜4．即 . (9分) 当a＝0时,－4＜0<0不成立，此时不等式的解集为；　　　　　　　　　 (10分) 当a＞0时,－4＜ax＜0，即，此时不等式的解集为； 当a＜0时,－4＜ax＜0，即，此时不等式的解集为 .(12分) 附加题： 22. （5分） 23.解：（1）根据题意，若是偶函数，则， 则有， 变形可得，解可得，故； （2分） （2）当时，函数和函数都是增函数，则函数为增函数 （4分） （3）根据题意，函数，有， 则 即 又由（2）的结论，当时，函数为增函数， 则有，即， 变形可得：， 设， 若方程在区间上恰有两个不同的实数解，则函数的图象与有2个交点， 对于，设， 则， 又由，则，则，， 若函数的图象与有2个交点，必有， 故a的取值范围为 （15分）