6.3.2　二项式系数的性质(1).pptx

高中同步学案优化设计,GAO ZHONG TONG BU XUE AN YOU HAU SHE JI,第六章,2021,内容索引,课前篇 自主预习,课堂篇 探究学习,1.能记住二项式系数的性质,并能灵活运用性质解决相关问题.(数学运算)2.会用赋值法求二项展开式系数的和,注意区分项的系数和二项式系数.(数学抽象),课前篇 自主预习,情境导入,同学们根据二项式定理写出(a+b)n(n=1,2,3,4,5,6)的二项式系数.可以写成如下形式:,这个表在我国宋代数学家杨辉1261年所著的详解九章算法一书里就出现了,所不同的只是这里的表是用阿拉伯数字表示,在那本书里是用汉字表示的,这个表称为“杨辉三角”.在欧洲,这个表被认为是法国数学家帕斯卡发现的,杨辉三角的发现比欧洲早500年左右,由此可见我国古代在数学方面的成就.问题你能利用上述规律写出下一行的数值吗?,知识梳理,二项式系数的性质1.对称性,2.增减性与最大值,3.各二项式系数的和,名师点析 二项式系数与二项展开式中某一项的系数是不同的概念,特别地,(a+b)n(a0,b0)的展开式中,各项的系数即对应的各二项式系数;(a-b)n(a0,b0)的展开式中,各项的系数的绝对值即对应的二项式系数.,微思考(1)二项式系数取得最大值的项的系数一定是系数中最大的吗?,提示 不一定.如果项的系数中还有其他的常数,则该项的系数不一定最大,微练习(1)在(a+b)8的展开式中,二项式系数最大的项为,在(a+b)9的展开式中,二项式系数最大的项为.,A.ABB.A=B C.ABD.不确定(3)的展开式中第8项是常数,则展开式中系数最大的项是()A.第8项 B.第9项C.第8项和第9项D.第11项和第12项,答案(1)70a4b4126a5b4与126a4b5(2)B(3)D,课堂篇 探究学习,例1已知(1+2x)n的展开式中第6项与第7项的系数相等,求展开式中二项式系数最大的项和系数最大的项.,解得5k6.k=5或k=6(k0,1,2,8).系数最大的项为T6=1 792x5,T7=1 792x6.,反思感悟求二项展开式中系数的最值的方法(1)若二项展开式的系数的绝对值与对应二项式系数相等,可转化为确定二项式系数的最值来解决.,变式训练1已知 的展开式中,只有第6项的二项式系数最大.(1)求该展开式中所有有理项的个数;(2)求该展开式中系数最大的项.,例2已知(2x-1)5=a0 x5+a1x4+a2x3+a3x2+a4x+a5.求下列各式的值:(1)a0+a1+a2+a5;(2)|a0|+|a1|+|a2|+|a5|;(3)a1+a3+a5.,解(1)令x=1,得a0+a1+a2+a5=1.(2)令x=-1,得-35=-a0+a1-a2+a3-a4+a5.由(2x-1)5的通项Tk+1=(-1)k25-kx5-k,知a1,a3,a5为负值,所以|a0|+|a1|+|a2|+|a5|=a0-a1+a2-a3+a4-a5=35=243.,(3)由a0+a1+a2+a5=1,-a0+a1-a2+a5=-35,得2(a1+a3+a5)=1-35.,延伸探究在本例条件下,求下列各式的值:(1)a0+a2+a4;(2)a1+a2+a3+a4+a5;(3)5a0+4a1+3a2+2a3+a4.,解(1)因为a0+a1+a2+a5=1,-a0+a1-a2+a5=-35.,(2)因为a0是(2x-1)5展开式中x5的系数,所以a0=25=32.又因为a0+a1+a2+a5=1,所以a1+a2+a3+a4+a5=-31.(3)因为(2x-1)5=a0 x5+a1x4+a2x3+a3x2+a4x+a5,所以两边求导数得10(2x-1)4=5a0 x4+4a1x3+3a2x2+2a3x+a4.令x=1得5a0+4a1+3a2+2a3+a4=10.,反思感悟二项展开式中系数和的求法(1)对形如(ax+b)n,(ax2+bx+c)m(a,b,cR,m,nN*)的式子求其展开式的各项系数之和,常用赋值法,只需令x=1即可;对(ax+by)n(a,bR,nN*)的式子求其展开式各项系数之和,只需令x=y=1即可.(2)一般地,若f(x)=a0+a1x+a2x2+anxn,则f(x)展开式中各项系数之和为f(1),变式训练2在(2x-3y)9的展开式中,求:(1)二项式系数之和;(2)各项系数之和;(3)所有奇数项系数之和.,解 设(2x-3y)9=a0 x9+a1x8y+a2x7y2+a9y9.(2)各项系数之和为a0+a1+a2+a9,令x=1,y=1,所以a0+a1+a2+a9=(2-3)9=-1.,(3)令x=1,y=-1,可得a0-a1+a2-a9=59,又a0+a1+a2+a9=-1,即所有奇数项系数之和为976 562.,用二项式定理证明不等式,1.(1-x)13的展开式中系数最小的项为()A.第6项B.第7项C.第8项D.第9项答案 C解析 展开式中共有14项,中间两项(第7,8项)的二项式系数最大.故系数最小的项为第8项,系数最大的项为第7项.,A.64B.32C.63D.31,答案 B,3.已知(1+x)n的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等,则奇数项的二项式系数和为()A.212B.211C.210D.29,答案 D,4.已知(+2x)n的展开式中前三项的二项式系数的和等于37,则展开式中二项式系数最大的项的系数为.,5.已知(+2x)n,若展开式中第5项、第6项与第7项的二项式系数成等差数列,求展开式中二项式系数最大的项的系数.,更多精彩内容请登录志鸿优化网http:/www.zhyh.org/,本 课 结 束,