5.3　第1课时　函数的单调性.pptx

高中同步学案优化设计,GAO ZHONG TONG BU XUE AN YOU HAU SHE JI,第5章,2021,内容索引,课前篇 自主预习,课堂篇 探究学习,1.理解函数的单调性及其几何意义,能运用函数图象理解和研究函数的单调性.(直观想象)2.会用函数单调性的定义判断(或证明)一些函数的单调性.(逻辑推理)3.会求一些具体函数的单调区间.(数学运算),课前篇 自主预习,情境导入,德国有一位著名的心理学家艾宾浩斯,对人类的记忆牢固程度进行了有关研究.他经过测试,得到了以下一些数据:,以上数据表明,记忆量y是时间间隔t的函数,艾宾浩斯根据这些数据描绘出了著名的“艾宾浩斯遗忘曲线”,如图.,当时间间隔t逐渐增大时,你能看出对应的函数值y有什么变化趋势吗?通过这个试验,你打算以后如何对待刚学过的知识?,知识点拨,一、增函数与减函数,名师点析 增(减)函数定义中的x1,x2的特征(1)任意性,即“任意两个值x1,x2”中“任意”二字绝不能去掉,证明时不能以特殊代替一般;(2)有大小,通常规定x1x2;(3)属于同一个单调区间.这三个条件缺一不可.,微练习 1下列函数在区间(0,+)上是减函数的是()A.y=-B.y=xC.y=x2 D.y=1-x,答案 D解析 函数y=1-x在区间(0,+)上是减函数,其余函数在(0,+)上均为增函数,故选D.,微练习 2已知函数f(x)是定义在R上的增函数,则f(x)=0的根()A.有且只有一个 B.有两个C.至多一个 D.以上均不对,答案 D解析 因为f(x)在R上是增函数,所以对任意x1,x2R,若x1x2,则f(x1)f(x2),反之也成立.故若存在f(x0)=0,则x0只有一个.若对任意xR都无f(x)=0,则f(x)=0无根.,二、函数的单调性与单调区间如果函数y=f(x)在区间I上是增函数或减函数,那么称函数y=f(x)在区间I上具有单调性,增区间和减区间统称为单调区间.,名师点析 1.区间I必为函数定义域A的子集,即IA,所以单调性是函数定义域内的局部性质.2.函数的单调区间可以是整个定义域,也可以是定义域的真子集.如y=x在整个定义域(-,+)上是增函数,y=-x在整个定义域(-,+)上是减函数,但y=x2在定义域(-,+)上不具有单调性,其在(-,0)上是减函数,在(0,+)上是增函数.3.一个函数出现两个或两个以上单调区间时,单调区间用“,”隔开,或者用“和”连接,不能用“并”或“且”连接.,微思考 函数y=在定义域上是减函数吗?,提示 不是.y=在(-,0)上是减函数,在(0,+)上也是减函数,但不能说y=在(-,0)(0,+)上是减函数.,微练习 函数y=f(x)的图象如图所示,其减区间是()A.-4,4B.-4,-3和1,4C.-3,1D.-3,4,答案 B解析 由图可知,函数y=f(x)的减区间为-4,-3和1,4.故选B.,课堂篇 探究学习,例1证明函数f(x)=x+在(0,1)上是减函数.,证明 设x1,x2是区间(0,1)上的任意两个实数,且x1x2,00,x1x2-10,即f(x1)f(x2).f(x)=x+在(0,1)上是减函数.,反思感悟利用定义证明函数单调性的步骤(1)取值:设x1,x2是该区间内的任意两个值,且x1x2.(2)作差变形:作差f(x1)-f(x2),并通过因式分解、通分、配方、有理化等手段,转化为易判断正负的式子.(3)定号:确定f(x1)-f(x2)的符号.(4)结论:根据f(x1)-f(x2)的符号及定义判断单调性.,变式训练1试用函数单调性的定义证明f(x)=在(1,+)上是减函数.,因为10,x1-10,x2-10,所以f(x1)f(x2),所以f(x)在(1,+)上是减函数.,例2求下列函数的单调区间,并指出该函数在其单调区间上是增函数还是减函数.,(3)f(x)=-x2+2|x|+3.,解(1)函数f(x)=-的单调区间为(-,0),(0,+),其在(-,0),(0,+)上都是增函数.(2)当x1时,f(x)是增函数,当x1时,f(x)是减函数,所以f(x)的单调区间为(-,1),1,+),并且函数f(x)在(-,1)上是减函数,在1,+)上是增函数.,根据解析式可作出函数的图象如图所示,由图象可知,函数f(x)的单调区间为(-,-1,-1,0,0,1,1,+).,f(x)在(-,-1,0,1上是增函数,在-1,0,1,+)上是减函数.,反思感悟1.求函数单调区间的方法(1)利用基本初等函数的单调性,如本例(1)和(2),其中分段函数的单调区间要根据函数的自变量的取值范围分段求解;(2)利用函数的图象,如本例(3).2.若所求出函数的增区间或减区间不唯一,函数的单调区间之间要用“,”或“和”连接,如本例(3).,变式训练2(1)根据图象说出函数在每一单调区间上,是增函数还是减函数;(2)写出y=|x2-2x-3|的单调区间.,解(1)函数在-1,0,2,4上是减函数,在0,2,4,5上是增函数.(2)先画出,则y=|x2-2x-3|的减区间为(-,-1,1,3;增区间为-1,1,3,+).,例3已知函数f(x)=x2+ax+b.(1)若函数f(x)的图象过点(1,4)和(2,5),求f(x)的解析式;(2)若函数f(x)在区间1,2上不具有单调性,求实数a的取值范围.,解(1)f(x)=x2+ax+b过点(1,4)和(2,5),(2)由f(x)在区间1,2上不具有单调性可知1-2,即-4a-2.故实数a的取值范围为(-4,-2).,延伸探究把本例(2)条件“不具有单调性”改为“具有单调性”,求实数a的取值范围.,反思感悟函数单调性的应用(1)函数单调性定义的“双向性”:利用定义可以判断、证明函数的单调性,反过来,若已知函数的单调性可以确定函数中参数的取值范围.(2)若一个函数在区间a,b上具有单调性,则此函数在这一单调区间内的任意子集上也具有单调性.,变式训练3已知函数g(x)在(-,+)上是增函数,且g(2x-3)g(5x+6),求实数x的取值范围.,解 g(x)在(-,+)上是增函数,且g(2x-3)g(5x+6),2x-35x+6,即x-3.故实数x的取值范围为(-,-3).,抽象函数的单调性抽象函数是指没有给出具体解析式的函数.判断抽象函数单调性的方法:1.凑:凑定义或凑已知,利用定义或已知条件得出结论;2.赋值:给变量赋值要根据条件与结论的关系,有时可能要进行多次尝试.,典例 已知定义在(0,+)上的函数f(x)对任意x,y(0,+),恒有f(xy)=f(x)+f(y),且当00,判断f(x)在(0,+)上的单调性并给出理由.,解 f(x)在(0,+)上是减函数.理由如下,设x1,x2是区间(0,+)上的任意两个值,且x1x2,f(x1)-f(x2)0,即f(x1)f(x2).函数f(x)在(0,+)上是减函数.,点评一般地,若给出的抽象函数的性质为“f(x+y)=”,则称这类抽象函数为“和型抽象函数”,研究“和型抽象函数”的单调性的基本方法是将x拆成两个数的和“(x-y)+y”,利用所给的性质及条件,即可确定其单调性;类似地,“积型抽象函数”(即“f(xy)=”)只需将x拆成两个数的积“x=y(y0)”即可.,1.如图是定义在区间-5,5上的函数y=f(x),则下列关于函数f(x)的说法错误的是()A.函数在区间-5,-3上是增函数B.函数在区间1,4上是增函数C.函数在区间-3,14,5上是减函数D.函数在区间-5,5上没有单调性,答案 C解析 由图可知,f(x)在区间-3,1,4,5上是减函数,单调区间不可以用并集“”连接,故选C.,2.函数f(x)在R上是减函数,则有()A.f(3)f(5)D.f(3)f(5)答案 C解析 3f(5).,3.(2020北京北理工附中期中)下列函数在区间(0,+)上为增函数的是(),答案 B,对于C,函数y=(x-1)2+1在(0,1)上是减函数,在(1,+)上是增函数,故C错误;对于D,函数y=-x2在(0,+)上是减函数,故D错误.故选B.,4.(2020浙江宁波高二期中)已知函数f(x)在R上是减函数,且f(2)=-1,则满足f(2x-4)-1的实数x的取值范围是.,答案(-,3),解析 由f(2)=-1知,若满足f(2x-4)-1,则f(2x-4)f(2).又函数f(x)在R上是减函数,则2x-42,解得x3,所以实数x的取值范围为(-,3).,5.已知函数f(x)=(k0)在区间(0,+)上是增函数,则实数k的取值范围是.,答案(-,0)解析 结合反比例函数的单调性可知k0.,更多精彩内容请登录志鸿优化网http:/www.zhyh.org/,本 课 结 束,