5.3.2 第3课时.pptx

第五章一元函数的导数及其应用,5.3导数在研究函数中的应用,5.3.2函数的极值与最大(小)值,第3课时导数在解决实际问题中的应用,|自 学 导 引|,生活中的优化问题生活中经常遇到求面积(体积)最大、利润最大、用料最省等问题，这些问题通常称为_，通过前面的学习，我们知道_是求函数最大(小)值的有力工具，运用_可以解决一些生活中的_,优化问题,导数,导数,优化问题,【答案】C,【答案】A,优化问题中最值的确定解决实际应用问题时，要把问题中所涉及的几个变量转化成_，这需通过分析、联想、抽象和转化完成函数的最值要由_和_的函数值确定，当定义域是开区间，而且其上有_的极值，则它就是函数的最值,函数关系,极值,端点,唯一,【预习自测】1某银行准备新设一种定期存款业务，经预算，存款量与存款利率的平方成正比，比例系数为k(k0)已知贷款的利率为0.048 6且假设银行吸收的存款能全部放贷出去设存款利率为x，x(0,0.048 6)，若使银行获得最大收益，则x的取值为()A0.016 2B0.032 4 C0.024 3D0.048 6【答案】B,【解析】用y表示银行的收益，根据题意可知存款量是kx2，银行应付的利息是kx3，银行应获得的贷款利息是0.048 6kx2，其中x(0,0.048 6)所以银行的收益y0.048 6kx2kx3(0 x0.048 6)则y 0.097 2kx3kx2，令y 0，解得x0.032 4当0 x0.032 4时，y 0；当0.032 4x0.048 6时，y 0当x0.032 4时，y取得最大值，即当存款利率定为0.032 4时，银行可获得最大利益,【答案】B,数学建模,【预习自测】1从长32 cm，宽20 cm的矩形薄铁板的四角剪去相等的正方形，做一个无盖的箱子，若使箱子的容积最大，则剪去的正方形边长为()A4 cmB2 cmC1 cmD3 cm【答案】A,【答案】40,|课 堂 互 动|,题型1几何中的最值问题有一块边长为a的正方形铁板，现从铁板的四个角各截去一个相同的小正方形，做成一个长方体形的无盖容器为使其容积最大，截下的小正方形边长应为多少？,【解题探究】求出无盖容器的体积(容积)表达式，用导数知识求解素养点睛：考查数学建模核心素养,利用导数求实际问题中的最值的一般步骤(1)分析实际问题中各量之间的关系，写出实际问题中变量之间的函数关系式yf(x)；(2)求函数的导数f(x)，解方程f(x)0；(3)比较函数在区间端点和极值点的函数值大小，最大(小)者为最大(小)值；(4)把所得数学结论回归到实际问题中，看是否符合实际情况并下结论,几何中最值问题的求解思路面积、体积(容积)最大，周长最短，距离最小等实际几何问题，求解时先设出恰当的变量，将待求解最值的问题表示为变量的函数，再按函数求最值的方法求解，最后检验,1(2020年宿迁期末)将一段长为100 cm的铁丝截成两段，一段弯成正方形，一段弯成圆，要使正方形与圆面积之和最小，则弯成圆的一段铁丝长为_cm,题型2用料、费用最少问题现有一批货物由海上从A地运往B地，已知轮船的最大航行速度为35海里/时，A地至B地之间的航行距离约为500海里，每小时的运输成本由燃料费和其余费用组成，轮船每小时的燃料费与轮船速度的平方成正比(比例系数为0.6)，其余费用为每小时960元(1)把全程运输成本y(元)表示为速度x(海里/时)的函数；(2)为了使全程运输成本最小，轮船应以多大速度行驶？,【解题探究】根据题目的条件，写出相应关系式，然后运用导数求最值素养点睛：考查数学建模核心素养,解决用料、费用最少问题时，需要正确表达出费用y关于自变量x的函数关系，然后根据导数来求得极值点，比较极值与端点处取值的大小，从而判定最小值在实际问题中还要注意自变量的取值范围,2(2021年南京模拟)某工厂要围建一个面积为128 m2的矩形堆料场，一边可以用原有的墙壁，其他三边要砌新的墙壁，要使砌墙所用的材料最省，则堆料场的长、宽应分别是_【答案】16 m,8 m,【解题探究】设出变量，建立目标函数，然后利用导数求最值素养点睛：考查数学建模核心素养,关于利润问题常用的两个等量关系：(1)利润收入成本；(2)利润每件产品的利润销售件数,【答案】D,易错警示忽略实际问题中的定义域致误已知A，B两地相距200千米，一艘船从A地逆水航行到B地，水速为8千米/时，船在静水中的速度为v千米/时(8vv0)(v0为船在静水中的最大速度)若船每小时的燃料费与其在静水中的速度的平方成正比，当v12千米/时，每小时的燃料费为720元，为了使全程燃料费最省，船的实际速度应为多少？,【错因分析】本题常出错的地方为对题意理解不正确，找不到正确的解题思路，尤其是实际问题中的定义域，往往容易疏忽或遗忘本题中v16不一定满足8vv0,【警示】在解决实际问题的最值问题时，一定要注意模型中的自变量取值范围符合实际情况，切勿忘记对端点值与极值大小的比较,|素 养 达 成|,1利用导数解决生活中的优化问题的一般步骤第一步：建立实际问题的数学模型；第二步：求函数的导数f(x)，令f(x)0，求出极值点；第三步：比较函数在区间端点和极值点处的取值大小，确定其最大值或最小值；第四步：将数学模型的答案还原为实际问题的答案,2解决生活中的优化问题时应当注意的问题(1)在求实际问题中的最大(小)值时，一定要考虑实际问题的意义(2)在实际问题中，有时会遇到函数在区间内只有一个点使f(x)0的情形，如果函数在这点处有极大(小)值，那么不与端点值比较，也可以知道这就是最大(小)值(3)在解决优化问题时，不仅要注意将问题中涉及的变量关系用函数关系式表示，还应确定出函数关系式中自变量的取值范围,【答案】A,2某产品的销售收入y1(单位：万元)是产量x(单位：千台)的函数：y117x2(x0)，生产成本y2(单位：万元)是产量x(单位：千台)的函数：y22x3x2(x0)，为使利润最大，应生产()A9千台B8千台C7千台D6千台【答案】D,【解析】由题意，利润yy1y217x2(2x3x2)18x22x3(x0)y 36x6x2，由y 36x6x26x(6x)0，得x6或x0(舍去)又x0，所以当x(0,6)时，y 0，当x(6，)时，y 0函数在(0,6)上为增函数，在(6，)上为减函数则当x6(千台)时，y有最大值,【答案】C,【解析】y x236，令y 0，又x0，解得x6当0 x6时，y 0，函数f(x)单调递增；当x6时，y 0，函数f(x)单调递减当x6时，y有最大值,【答案】2,(1)请写出月利润y(万元)关于月产量x(千件)的函数解析式；(2)月产量为多少千件时，该公司在这一型号医疗器械的生产中所获月利润最大？并求出最大月利润,课后提能训练,