1.3　向量的数乘.pptx

高中同步学案优化设计,GAO ZHONG TONG BU XUE AN YOU HUA SHE JI,第1章,2022,内容索引,课前篇 自主预习,课堂篇 探究学习,课标阐释,1.通过实例分析,掌握平面向量数乘运算及运算法则,理解其几何意义.(数学抽象、直观想象)2.理解两个平面向量共线的含义.(数学抽象、直观想象)3.了解平面向量的线性运算性质及其几何意义.(数学运算、直观想象),思维脉络,课前篇 自主预习,【激趣诱思】在疾风骤雨、雷电交加的夜晚,为什么我们总是先看到闪电,后听到雷声?这是因为在同一方向上光速远远大于声速.经测量,光速的大小约为声速的8.7105倍.一重物由高空自由落下,由自由落体运动的速度公式vt=gt可知,它在1 s末和2 s末的速度大小分别为v1=9.8 m/s和v2=19.6 m/s.显然v2=2v1,并且方向都是竖直向下.上述情境中涉及的速度之间有什么关系?,【知识点拨】,知识点一:向量的数乘1.向量的数乘的定义一般地,实数与向量a的乘积是一个向量,记作a,称为a的倍,它的长度|a|=|a|.(1)当0且a0时,a的方向如下:当0时,与a同向;当0时,与a反向.(2)当=0或a=0时,a=0a=0 或a=0=0.求向量的实数倍的运算称为向量的数乘.,2.向量的数乘的几何意义向量数乘的几何意义就是把向量a沿着a的方向或a的反方向放大或缩小.3.向量的线性运算:我们把向量的加法、减法、数乘运算统称为向量的线性运算.要点笔记 对向量的数乘的理解(1)实数与向量可以求乘积,但不能进行加减运算.如+a,-a均没有意义.(2)若a=0,则=0或a=0.,微判断(1)对于任意的向量a,总有0a=0.()(2)当0时,|a|=a.()(3)若a0,0,则a与-a的方向相反.()答案(1)(2)(3),微练习已知向量a与向量b(如图),求作向量-2.5a和向量2a-3b.,知识点二:共线向量1.定义:当非零向量a,b方向相同或相反时,我们既称a,b共线,也称a,b平行,并且用符号“”来表示它们共线(或平行),记作ab.我们规定:零向量与所有的向量平行.2.两个向量平行其中一个向量是另一个向量的实数倍.即ab存在实数,使得b=a或a=b.该结论通常称为共线向量基本定理3.向量a,b的夹角:设a,b是两个非零向量,任选一点O,作=a,=b,则射线OA,OB所夹的最小非负角AOB=称为向量a,b的夹角,记作.找两向量夹角时,需通过平移使两向量起点重合,名师点析 向量夹角的说明:(1)夹角的取值范围规定为0,.(2)=.(3)当=0时,a,b方向相同;当=时,a,b方向相反;特别地,当=时,a与b垂直,记作ab.(4)可以规定零向量0与a的夹角为0,零向量与任一向量平行,也可以规定0与a的夹角为,零向量与任一向量垂直.,微判断(1)若向量a和b共线,则必有b=a.()(3)ab,cb,则ac.()答案(1)(2)(3),微拓展对向量平行的理解(1)向量平行(共线)时,向量所在的直线平行或重合.(2)向量共线中的“共线”的含义不是平面几何中的“共线”的含义,共线向量有四种情况:方向相同模相等、方向相同模不等、方向相反模相等、方向相反模不等.(3)任一向量a都与它本身是平行向量.,知识点三:共线向量的运算1.单位向量我们把长度为1的向量称为单位向量.它的长度等于单位长度.对于任一非零向量a,都可得到与它方向相同的唯一单位向量e=a.2.共线向量的运算一般地,在一条直线上任取单位向量e,则直线上任何向量a都可写成a=ae,其中实数a的绝对值|a|代表向量a的模,a的正负代表a与e的方向相同或相反.反过来,任意给定一个实数a,我们总能作一个向量a=ae,使它的长度等于这个实数a的绝对值,方向与实数a的符号一致.于是,实数与共线向量之间可以建立起一一对应关系.,微练习若单位向量e1,e2不共线,则下列各组中,向量a,b共线的有.(填序号)a=2e1,b=-2e1;a=e1-e2,b=-2e1+2e2;a=e1+e2,b=2e1-2e2.答案 解析 中,a=-b,所以a,b共线;中,b=-2a,所以a,b共线;中,a=4b,所以a,b共线;中,不存在R,使a=b,所以a,b不共线.,知识点四:数乘运算律1.(x+y)a=xa+ya.2.x(ya)=(xy)a.3.x(a+b)=xa+xb.要点笔记 向量的运算律的理解要清楚向量数乘与实数乘法的区别,前者的结果是一个向量,后者的结果是一个实数.,微练习已知,R,下列关系正确的是()A.若=0,则a=0B.若a=0,则a=0C.|a|=|aD.(+a)=+a答案 B解析 根据数乘向量的定义知,a仍为一向量,其模|a|=|a|,A,C均不正确;向量a与实数相加没有意义,(+a)=+a是一个不存在的式子,D不正确.,课堂篇 探究学习,分析根据向量的线性运算法则求解.,解(1)原式=18a+3b-9a-3b=9a.(2)原式=5a-4b+c-6a+4b-2c=-a-c.,要点笔记 向量的线性运算类似于代数多项式的运算,共线向量可以合并,即“合并同类项”“提取公因式”,这里的“同类项”“公因式”指的是向量.,A.2a-bB.2b-aC.b-aD.a-b答案 B,角度1向量共线的判定例2判断下列各小题中的向量a,b是否共线(其中e1,e2是两非零不共线向量).(1)a=5e1,b=-10e1;(3)a=e1+e2,b=3e1-3e2.,解(1)b=-2a,a与b共线.(2)a=1 6 b,a与b共线.(3)设a=b,则e1+e2=(3e1-3e2),(1-3)e1+(1+3)e2=0.e1与e2是两非零不共线向量,1-3=0,1+3=0.这样的不存在,因此a与b不共线.要点笔记 向量共线的判定一般是用共线向量基本定理.解题过程中,需要把两向量用共同的已知向量来表示,进而互相表示,由此判断共线.,角度2用已知向量表示未知向量,答案 C,反思感悟 用已知向量来表示另外一些所求未知向量是解向量相关问题的基础,除了要利用向量的加法、减法、数乘运算外,还应充分利用平面几何的一些定理、性质,如三角形的中位线定理.相似三角形对应边成比例等,把未知向量转化为与已知向量有直接关系的向量再进行求解.,角度3三点共线问题,反思感悟 证明或判断三点共线的方法,角度4求参问题,答案 A,答案 C,角度1求解三角形的面积比,答案 D,解析 如图所示,取AB的中点D,连接OD.则C,O,D三点共线且点A,B到OC的距离相等.OC边为公共边,AOC,BOC的面积相等.故选D.,答案 C,角度2解决三角形的四心问题,答案 B,反思感悟 1.三角形的内心:三角形内切圆的圆心、三角形三条角平分线的交点.内心到三角形三边的距离相等.,答案 B,对共线向量的条件理解不清致误典例已知非零向量e1和e2,试判断3e1+2e2与3e1-2e2是否共线.错解 若存在实数,使3e1+2e2=(3e1-2e2),则3e1+2e2=3e1-2e2,即(3-3)e1=(-2-2)e2,错解错在什么地方,你能发现吗?怎样避免这类错误呢?提示 错解中对向量共线的条件理解不清,只有当e1,e2不共线,且e1=e2时,才有=0,否则不一定成立.题目条件没有限定e1和e2不共线,因此,上述解法是错误的.,正解 若向量e1和e2不共线,由错解过程可知3e1+2e2与3e1-2e2不共线.若向量e1和e2共线,可设e2=ke1(kR),则3e1+2e2=(3+2k)e1,3e1-2e2=(3-2k)e1,3+2k与3-2k中至少有一个不为0,不妨设3-2k0,于是3e1+2e2=(3e1-2e2),这时3e1+2e2与3e1-2e2共线.防范措施 要注意结论“若非零向量e1,e2不共线,且e1=e2,则必有=0”成立的条件是e1,e2不共线,因此在应用该结论解决相关问题时,务必注意这一条件.,1.4(a-b)-3(a+b)-b等于()A.a-2bB.aC.a-6bD.a-8b答案 D解析 原式=4a-4b-3a-3b-b=a-8b.,答案 C,4.已知两个非零向量a,b不共线,且ka+3b与2a+kb共线,求实数k的值.解 因为ka+3b与2a+kb共线,所以存在实数,使ka+3b=(2a+kb),即ka+3b=2a+kb,即(k-2)a=(k-3)b.,更多精彩内容请登录志鸿优化网http:/www.zhyh.org/,本 课 结 束,