1.4.1 第1课时.pptx

第一章空间向量与立体几何,1.4空间向量的应用,1.4.1用空间向量研究直线、平面的位置关系,第1课时空间中点、直线和平面的向量表示，空间中直线、平面的平行,|自 学 导 引|,位置向量,空间中点、直线的向量表示,2用向量表示直线的位置,位置,一点,【预习自测】,如何获得直线的方向向量？,【答案】提示：最常用的方法是在直线上取一有向线段，该有向线段表示的向量即可作为直线的方向向量,相交,用向量表示平面的位置,xayb,2通过平面上的一个定点A和法向量来确定,方向向量,【预习自测】,空间中确定平面的条件有哪些？,【答案】提示：空间一个点，一个法向量(一个方向)可确定一个平面；空间内一点和平面内两个不共线的向量可确定一个平面,一个平面的法向量有多少个？它们是什么关系？,【答案】提示：无数个，都互相平行,设空间两条直线l，m的方向向量分别为a(a1，a2，a3)，b(b1，b2，b3)，两个平面，的法向量分别为u(u1，u2，u3)，v(v1，v2，v3)，则有如下结论：,用向量描述空间平行关系,akb，kR,au0,a1u1a2u2a3u30,ukv，kR,u1kv1，u2kv2，u3kv3,1思维辨析(对的画“”，错的画“”)(1)平面的法向量垂直于与平面共面的所有向量()(2)如果a，b与平面共面且na，nb，那么n就是平面的一个法向量()【答案】(1)(2)【解析】(1)根据平面法向量的定义，可知，平面的法向量垂直于与平面共面的所有向量，是正确的(2)当a，b共线时，n就不是平面的一个法向量,【预习自测】,【答案】A,【答案】A,4设直线l1的方向向量a(1,2，2)，直线l2的方向向量b(2,3，m)，若l1l2，则实数m的值为_【答案】2【解析】因为l1l2，所以ab.因为a(1,2，2)，b(2,3，m)，所以1(2)23(2)m0，解得m2.,|课 堂 互 动|,(1)若向量a(2,1)是直线l1的一个方向向量，向量b(1,3)是直线l2的一个法向量，则直线l1与l2的夹角的余弦值为_,题型1求直线的方向向量和平面的法向量,(2)如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，以D为原点建立空间直角坐标系Oxyz，点E，F分别在棱BB1，CC1上，且B1E2EB，CF2FC1，则下列向量中，能作为平面AEF的法向量的是()A(1，1,3)B(1，1，3)C(2，3,6)D(2,3，6)素养点睛：考查数学抽象、直观想象的核心素养,(5)赋非零值：取其中一个为非零值(常取1)(6)得结论：得到平面的一个法向量2求平面法向量的三个注意点(1)选向量：在选取平面内的向量时，要选取不共线的两个向量(2)取特值：在求n的坐标时，可令x，y，z中一个为一特殊值得另两个值，就是平面的一个法向量(3)注意0：提前假定法向量n(x，y，z)的某个坐标为某特定值时一定要注意这个坐标不为0.,已知O为坐标原点，四面体OABC中，A，B，C的坐标分别为A(0,3,5)，B(1,2,0)，C(0,5,0)，若直线ADBC且AD交坐标平面Ozx于点D，求点D的坐标素养点睛：考查直观想象、数学运算的核心素养,题型2空间中的线线平行问题,或0(x1)，2(y2)，5z.所以x1，y4，z5或x1，y0，z5.故D点坐标为(1,4，5)或(1,0,5),向量法处理空间平行问题的两个应用(1)求字母的值：通过线线、线面、面面平行转化为向量的共线、垂直的关系，再利用向量关系构造关于字母的等量关系，进而求出字母的值(2)求点的坐标：可设出对应点的坐标，再利用点与向量的关系，写出对应向量，利用空间中点、线、面的位置关系，转化为向量的位置关系，进而建立与所求点的坐标有关的等式,3如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别为DD1和BB1的中点求证：四边形AEC1F是平行四边形,题型3向量法证明线面、面面平行问题(1)若平面的一个法向量为u1(3，y,2)，平面的一个法向量为u2(6，2，z)，且，则yz_.(2)如图，在四棱锥SABCD中，底面ABCD为正方形，侧棱SD底面ABCD，E，F分别为AB，SC的中点求证：EF平面SAD素养点睛：考查直观想象、数学运算的核心素养,【答案】(1)3,1用向量证明线面平行的方法(1)证明该直线的方向向量与平面的某一法向量垂直(2)证明该直线的方向向量与平面内某直线的方向向量平行(3)证明该直线的方向向量可以用平面内的两个不共线的向量线性表示2向量法证明面面平行的方法设平面的法向量为n1(a1，b1，c1)，平面的法向量为n2(a2，b2，c2)，则n1n2(a1，b1，c1)k(a2，b2，c2)(kR),已知u是平面的一个法向量，a是直线l的一个方向向量，若u(3,1,2)，a(2,2,2)，则l与的位置关系是_错解：因为ua(3,1,2)(2,2,2)3(2)12220，所以ua，所以l.错解分析：错误的根本原因是忽视了直线与平面平行和向量与平面平行的区别实际上，本例中由向量ua可得l或l.正解：因为ua(3,1,2)(2,2,2)3(2)12220，所以ua.所以l或l.,易错警示利用向量法判断直线与平面平行,防范措施：向量法证明线面平行的两个关注点(1)明确理论依据如果一条直线与一个平面的垂线垂直，那么，这条直线在平面内或与平面平行(2)区分有关概念直线与平面平行，直线一定在平面外，向量与平面平行，向量对应的直线可在平面内.,|素 养 达 成|,1点、直线、平面位置确定的关键(1)确定点：用向量确定空间中的任意一个点，关键是确定一个基点(2)确定直线：用向量确定一条直线，关键是确定一个点和一个方向向量,(3)确定平面：一个定点两个向量：用向量确定一个平面，关键是理解平面向量基本定理，即存在有序实数对(x，y)使得平面内的向量等于xayb，这样点O与向量a，b不仅能确定一个平面，而且还能具体表示出平面内的一个点一个点一个向量：给定一个点和一个向量，过这个点，以这个向量为法向量的平面唯一确定,3对平面法向量的两点说明(1)平面法向量的选取：平面的一个法向量垂直于与平面共面的所有向量即只需作一条垂直于平面的直线，选取该直线的方向向量(2)平面法向量的不唯一性：一个平面的法向量不是唯一的，一个平面的所有法向量共线在应用时，可以根据需要进行选取,4空间中平行问题的解决策略,【答案】B,3若平面，的法向量分别为m(1，5,2)，n(3,1,4)，则()ABC，相交但不垂直D以上均不正确【答案】A【解析】mn1(3)(5)1240，则mn，所以.,4已知直线l的方向向量为a，平面的法向量为n.下列可能使l的是()Aa(1,0,0)，n(2,0,0)Ba(1,3,5)，n(1,0,1)Ca(0,2,1)，n(1,0，1)Da(1，1,3)，n(0,3,1)【答案】D【解析】要使l，当且仅当an，即an0，只有D中an1013310.,5长方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别是面对角线B1D1，A1B上的点，且D1E2EB1，BF2FA1.求证：EFAC1.,课后提能训练,