4.2　平面83ns4.pptx

高中同步学案优化设计,GAO ZHONG TONG BU XUE AN YOU HUA SHE JI,第4章,2022,内容索引,课前篇 自主预习,课堂篇 探究学习,课标阐释,1.了解平面的概念,会用图形与字母表示平面.(数学抽象)2.能用符号语言描述空间中的点、直线、平面之间的位置关系.(数学抽象)3.能用图形、文字、符号三种语言描述三条基本事实(公理)及其推论.(逻辑推理、直观想象)4.理解三个基本事实及推论的地位和作用.(逻辑推理),思维脉络,课前篇 自主预习,【激趣诱思】在日常的生活中,相机三脚架(一个用来固定相机位置的装置,由于这个装置有三个支点,因此称为三脚架)、施工用的支架等,都是由不在同一直线的三个脚(点)支撑,这样可以使这些物体水平放置,为什么三个脚(点)不在同一直线上呢?,【知识点拨】,知识点一:平面的概念及表示,微思考我们通常用什么图形来代表平面?提示 我们通常用一个平行四边形来代表平面,但仍然需要把它想象成是无限延展的.,微练习下列说法正确的是()A.镜面是一个平面B.一个平面长10 m,宽5 mC.一个平面的面积是另一个平面面积的2倍D.所有的平面都是无限延展的答案 D解析 镜面可以抽象成平面,但不是平面,所以选项A不正确;平面没有大小,所以选项B和选项C都不正确,故选D.,知识点二:点、直线、平面之间的位置关系,微思考若点A直线a,a平面,能否推出A?提示 由直线在平面内的定义可知,若Aa,a,则A.,微练习如图所示,平面ABEF记作平面,平面ABCD记作平面,根据图形填写:(1)A,B,E,C,D.(2)=.(3)A,B,C,D,E,F.(4)AB,AB,CD,CD,BF,BF.答案(1)(2)AB(3)(4),知识点三:关于平面的基本事实及推论1.关于平面的基本事实,2.关于平面的推论,微思考(1)过给定的两个点能作几个平面?过三个点能作几个平面?(2)如果把一把直尺边缘上任意两点放在桌面上,直尺的整个边缘是否都落在桌面上?你能从中得到什么结论?(3)两个不重合的平面可能存在有限个公共点吗?(4)如果两个不重合的平面有无数个公共点,这些公共点有什么特点?,提示(1)过两个点能作无数个平面.过三点时,如果三点在同一条直线上,能作无数个平面;如果三点不在同一条直线上,只能作一个平面.(2)整个边缘都落在桌面上,说明一条直线上如果有两点在一个平面内,那么直线就在这个平面内.(3)不能.要么没有公共点,要么有无数个公共点.(4)这些公共点落在同一条直线上.,课堂篇 探究学习,例1用符号语言表示下列语句,并画出图形.(1)三个平面,相交于一点P,且平面与平面相交于PA,平面与平面相交于PB,平面与平面相交于PC;(2)平面ABD与平面BDC相交于BD,平面ABC与平面ADC相交于AC.解(1)符号语言:=P,=PA,=PB,=PC、图形表示如图所示.(2)符号语言:平面ABD平面BDC=BD,平面ABC平面ADC=AC、图形表示如图所示.,反思感悟 学习几何问题,三种语言间的互相转化是一种基本技能.要注意符号语言的意义,如点与直线、点与平面间的位置关系只能用“”或“”,直线与平面间的位置关系只能用“”或“”.由图形语言表示点、线、面的位置关系时,要注意实线和虚线的区别.,变式训练1(1)若点M在直线a上,a在平面内,则M,a,间的关系可记为.(2)如图,填入相应的符号:A平面ABC,A平面BCD,BD平面ABC,平面ABC平面ACD=.(3)根据下列条件画出图形:平面平面=MN,ABC的三个顶点满足条件AMN,B,BMN,C,CMN.,答案(1)Ma,a,M(2)AC(3)如图所示.,例2证明:两两相交且不过同一点的四条直线共面.已知:a,b,c,d四条直线两两相交,且不共点.求证:a,b,c,d四线共面.,证明 无三线共点情况,如图.设ad=M,bd=N,cd=P,ab=Q,ac=R,bc=S.因为ad=M,所以a,d可确定一个平面.因为Nd,Qa,所以N,Q,所以NQ,即b.同理,c,所以a,b,c,d共面.,有三线共点的情况,如图.设b,c,d三线相交于点K,与a分别交于N,P,M且Ka.因为Ka,所以K和a确定一个平面,设为.因为Na,a,所以N.所以NK,即b.同理,c,d.所以a,b,c,d共面.由知,a,b,c,d共面.,反思感悟 证明多线共面的常用方法有:(1)先由部分直线确定一个面,再证其余的直线都在这个平面内,即用“纳入平面法”;(2)先由其中一部分直线确定一个平面,一部分直线确定另一个平面,再证平面与重合,即用“辅助平面法”;(3)假设不共面,结合题设推出矛盾,用“反证法”.,变式训练2求证:如果两两平行的三条直线a,b,c都与另一条直线l相交,那么这四条直线共面.已知:如图所示,ab,bc,al=A,bl=B,cl=C.求证:直线a,b,c,l在同一平面内.,证明 因为ab,可知直线a与b确定一个平面,设为.因为la=A,lb=B,所以Aa,Bb,则A,B,又因为Al,Bl,所以l.因为bc,所以直线b与c确定一个平面,同理可知l.因为平面和平面都包含着直线b与l,且lb=B,又因为经过两条相交直线,有且只有一个平面,可知平面与平面重合,所以直线a,b,c和l共面.,例3已知ABC在平面外,AB=P,AC=R,BC=Q,如图.求证:P,Q,R三点共线.分析证明P,Q,R三点既在平面ABC内,也在平面内,即得P,Q,R共线;也可以证明PR是平面APR与平面的交线,点Q既在平面APR内,也在平面内,即点Q在平面APR与平面的交线PR上.,证明(方法1)AB=P,PAB,P平面.又AB平面ABC,P平面ABC.点P在平面ABC与平面的交线上,同理可证Q,R也在平面ABC与平面的交线上,P,Q,R三点共线.(方法2)APAR=A,直线AP与直线AR确定平面APR.又AB=P,AC=R,平面APR平面=PR.B平面APR,C平面APR,BC平面APR.QBC,Q平面APR.又Q,QPR,P,Q,R三点共线.,要点笔记 点共线:证明多点共线通常利用两相交平面交线的唯一性,通过证明点分别在两个平面内,证明点在相交平面的交线上;也可先选择其中两点确定一条直线,再证明其他点也在其上.,变式训练3 如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,体对角线A1C与平面BDC1交于点O,AC,BD交于点M.求证:C1,O,M三点共线.,证明 由AA1CC1,则AA1与CC1确定一个平面ACC1A1.A1C平面ACC1A1,而OA1C,O平面ACC1A1.又A1C平面BC1D=O,O平面BC1D.点O在平面BC1D与平面ACC1A1的交线上.又ACBD=M,M平面BC1D且M平面ACC1A1.又C1平面BC1D且C1平面ACC1A1,平面ACC1A1平面BC1D=C1M,OC1M,即C1,O,M三点共线.,例4如图所示,三个平面,两两相交于不同的直线,即=c,=a,=b,若直线a和b不平行,求证:a,b,c三条直线必过同一点.分析由a,b都在平面内且不平行,得a,b相交,再证明交点在c上,即证明交点在以c为交线的两个平面,内.,证明=b,=a,a,b.又直线a和b不平行,a,b必相交.如图所示,设ab=P,则Pa,Pb.a,b,P,P,又=c,Pc,即交线c经过点P,a,b,c三条直线必过同一点.要点笔记 证明三线共点常用的方法是先说明两条直线共面且相交于一点,再说明这个点在以另一条直线为交线的两个平面内,即该点在另一条直线上,则可得三线共点.,变式训练4如图所示,在空间四边形ABCD中,E,F分别是AB和CB上的点,G,H分别是CD和AD上的点,HGEF,HGEF=13.求证:EH,BD,FG三条直线相交于同一点.,证明 延长EH,FG,不妨设EHFG=O,HGEF,HGEF=13,四边形EFGH为梯形,EH,FG共面,且EH与FG不平行.OEH,EH平面ABD,O平面ABD.OFG,FG平面BCD,O平面BCD.平面ABD平面BCD=BD,OBD,EH,BD,FG三条直线相交于同一点O.,利用平面的基本性质作空间几何体的截面典例如图所示,G是正方体ABCD-A1B1C1D1的棱DD1的延长线上一点,E,F是棱AB,BC的中点.试分别画出过下列点、直线的平面与正方体表面的交线.(1)过点G及直线AC;(2)过三点E,F,D1.分析找出两个平面的两个公共点,则过这两个公共点的直线为两平面的交线.,解(1)画法:连接GA交A1D1于点M;连接GC交C1D1于点N;连接MN,AC,则MA,CN,MN,AC为所求平面与正方体表面的交线.如图所示.(2)画法:连接EF并延长交DC的延长线于点P,交DA的延长线于点Q;连接D1P交CC1于点M,连接D1Q交AA1于点N;连接MF,NE,则D1M,MF,FE,EN,ND1为所求平面与正方体表面的交线.如图所示.,方法点睛 1.作空间几何体的截面图的主要原理两个基本事实(1)如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线;(2)如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线在这个平面内.2.注意:(1)在平面几何中,凡是所引的辅助线都要画成虚线.(2)在立体几何中,被遮挡的部分画成虚线,没被遮挡的部分则画成实线.在学习时,一定要正确添加辅助线,否则将影响空间立体感的形成,不利于空间想象力的培养.,1.下列四个选项中的图形正确表示两个相交平面的是()答案 D解析 选项A错误,理由是两平面的交线没画出,且被遮挡的部分未用虚线画出;选项B,C都错误,理由是被遮挡的部分未用虚线画出.D正确.,2.下列说法(A,B表示点,a表示直线,表示平面)中正确的个数是()A,B,AB;A,A,=A;A,a,Aa;Aa,a,A.A.0B.1C.2D.3答案 B解析 正确.错,其中的AB应为AB;错,其中,应该交于一条过A点的直线;错,因为点A可能是直线a与平面的交点.,3.(多选题)下列图形中,一定是平面图形的是()A.三角形B.平行四边形C.四边相等的四边形D.梯形答案 ABD,4.不重合的三条直线,若相交于一点,最多能确定个平面.答案 3解析 三条直线相交于一点,最多可确定3个平面,如图所示,直线a,b,c相交于点A,直线a,b确定平面,直线b,c确定平面,直线a,c确定平面,共3个平面.,5.如图,在空间四边形ABCD中,E,F分别是AD,AB的中点,G,H分别在BC,CD上,且BGGC=DHHC=12.求证:E,F,G,H四点共面.,证明 在ABD中,E,F为AD,AB中点,EFBD.在CBD中,BGGC=DHHC=12,GHBD,EFGH,E,F,G,H四点共面.,更多精彩内容请登录志鸿优化网http:/www.zhyh.org/,本 课 结 束,