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第二节函数的单调性与最值,教材回扣夯实“四基”,题型突破提高“四能”,教材回扣夯实“四基”,基础知识1.增函数、减函数,f(x1)f(x2),f(x1)f(x2),上升,下降,【微点拨】增、减函数定义的等价形式对于x1，x2D，都有(x1x2)f(x1)f(x2)0(0(0)，则函数f(x)在D上单调递增(减),2单调性、单调区间若函数yf(x)在区间D上_或_，则称函数yf(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，区间D叫做yf(x)的单调区间,单调递增,单调递减,【微点拨】(1)单调区间只能用区间表示，不能用不等式表示(2)有多个单调区间时，不能用符号“”连接，也不能用“或”连接，只能用“逗号”或“和”连接,3函数的最值,f(x)M,f(x)m,【微点拨】(1)闭区间上的连续函数一定存在最大值和最小值当函数在闭区间上单调时最值一定在端点取到(2)开区间上的“单峰”函数一定存在最大(小)值,常用结论函数单调性的常用结论：(1)若f(x)，g(x)均为区间A上的增(减)函数，则f(x)g(x)也是区间A上的增(减)函数(2)若k0，则kf(x)与f(x)的单调性相同；若k0)在公共定义域内与yf(x)，y 1 f x 的单调性相反(4)函数yf(x)(f(x)0)在公共定义域内与y f x 的单调性相同(5)复合函数单调性的判断方法：若两个简单函数的单调性相同，则这两个函数的复合函数为增函数；若两个简单函数的单调性相反，则这两个函数的复合函数为减函数简称“同增异减”,基本技能、思想、活动经验题组一思考辨析(正确的打“”，错误的打“”)1.函数y 1 x 的单调递减区间是(，0)0，+.()2函数yf(x)在1，)上是增函数，则函数的单调递增区间是1，)()3如果一个函数在定义域内的某几个子区间上都是增函数，则这个函数在定义域上是增函数()4所有的单调函数都有最值(),题组二教材改编5下列四个函数中，在(0，)上单调递增的是()Af(x)3x Bf(x)x23xCf(x)1 x+1 Df(x)|x|,答案：C,解析：对于A.一次函数f(x)3x在R上单调递减，故该选项不符合题意；B二次函数f(x)x23x的图象的对称轴是x 3 2，函数在 0，3 2 上单调递减，故该选项不符合题意；Cf(x)1 x+1 是由反比例函数y 1 x 向左平移1个单位得到的，因为反比例函数在(0，)上单调递增，所以f(x)1 x+1 在(1，)上单调递增，故该选项符合题意；Df(x)|x|，当x0时，f(x)x为减函数，故该选项不符合题意故选C.,6已知函数f(x)2 x1，x2，6，则f(x)的最大值为_，最小值为_,2,2 5,解析：易知函数f(x)2 x1 在x2，6上单调递减，故f(x)maxf(2)2，f(x)minf(6)2 5.,题组三易错自纠7函数f(x)1x 1+x 的单调递减区间为()A(，1)B.(1，)C(，1)，(1，)D(，1)1，+,答案：C,解析：f(x)1x 1+x 1+x+2 1+x 1 2 1+x，又f(x)2 x 在(，0)和(0，)上单调递减，由函数的图象平移可知，f(x)1x 1+x 的单调递减区间为(，1)，(1，)故选C.,8若函数f(x)x22(a1)x2的单调递减区间是(，4，则实数a的值是_,3,解析：因为函数f(x)的单调递减区间是(，4，且函数f(x)的图象对称轴为直线x1a，所以有1a4，即a3.,题型突破提高“四能”,题型一函数的单调性角度1 求函数的单调区间例1(1)函数f(x)|x23x2|的单调递减区间是()A 3 2，+B 1，3 2 和2，)C(，1和 3 2，2 D，3 2 和2，),答案：(1)C,解析：(1)y|x23x2|x 2 3x+2，x1或x2，x 2+3x2，1x2.如图所示，函数的单调递减区间是(，1和 3 2，2.故选C.,(2)函数f(x)ln(x22x8)的单调递增区间是()A(，2)B(，1)C(1，)D(4，),答案：(2)D,解析：(2)由x22x80，得f(x)的定义域为x|x4或x2设tx22x8，则yln t为增函数要求函数f(x)的单调递增区间，即求函数tx22x8的单调递增区间(定义域内)函数tx22x8在(4，)上单调递增，在(，2)上单调递减，函数f(x)的单调递增区间为(4，),类题通法求函数的单调区间的常用方法,巩固训练1函数y 1 x 2+x+2 的单调递增区间为_，单调递减区间为_,，1 2,1 2，+,解析：函数y 1 x 2+x+2 的定义域是(，)，设ux2x2，则函数ux2x2在，1 2 上是单调递减的，在 1 2，+上单调递增，因为函数y 1 u 在u0时单调递减，于是得函数y 1 x 2+x+2 在，1 2 上是单调递增的，在 1 2，+上单调递减，所以函数y 1 x 2+x+2 的单调递增区间为，1 2，单调递减区间为 1 2，+.,角度2 讨论函数的单调性例2讨论函数f(x)ax x1(a0)在(，1)上的单调性,解析：方法一x1，x2(，1)，且x10，x110时，f(x1)f(x2)0，即f(x1)f(x2)，函数f(x)在(，1)上单调递减方法二f(x)a x1 ax x1 2 a x1 2，(x1)20，a0，f(x)0时，f(x)在(，1)上是减函数,类题通法判断函数的单调性的方法,巩固训练2(1)2022北京海淀模拟下列函数值中，在区间(0，)上不是单调函数的是()Ayx Byx2Cyx x Dy|x1|,答案：(1)D,解析：(1)由一次函数的性质可知，yx在区间(0，)上单调递增；由二次函数的性质可知，yx2在区间(0，)上单调递增；由幂函数的性质可知，yx x 在区间(0，)上单调递增；结合一次函数的性质可知，y|x1|在(0，1)上单调递减，在(1，)上单调递增.故选D.,(2)讨论函数yx k x(k0)在区间(0，)上的单调性,解析：(2)y1 k x 2 令y0得，x2k，即x k，令y0得，x2k，即 k x k.当x(k，)时，函数是增函数；当x(0，k)时，函数是减函数,题型二函数的最值(值域)例3(1)已知函数f(x)x 12x，则函数f(x)有()A最小值 1 2，无最大值B最大值 1 2，无最小值C最小值1，无最大值D最大值1，无最小值,答案：(1)D,解析：(1)因为函数f(x)的定义域为，1 2，设t 12x，则t0，且x 1 t 2 2，所以f(x)g(t)1 t 2 2 t 1 2 t2t 1 2 1 2(t1)21，t0，所以g(t)g(1)，即g(t)1，所以函数f(x)的最大值为1，无最小值故选D.,(2)函数y x 2 1 x 2+1 的值域为_,1，1),解析：(2)方法一由y x 2 1 x 2+1，可得x2 1+y 1y，由x20，知 1+y 1y 0，解得1y1，故所求函数的值域为1，1)方法二y x 2+12 x 2+1 1 2 x 2+1，0 2 x 2+1 2，1y1.函数值域为1，1),类题通法求函数最值(值域)的五种常用方法,巩固训练3(1)函数y 3x+1 x2 的值域是_,y|y3,解析：(1)y 3x+1 x2 3 x2+7 x2 3 7 x2，函数y 3x+1 x2 的值域为y|y3,(2)2022河北石家庄模拟对于任意实数a，b，定义mina，b a，ab，b，ab，设函数f(x)x3，g(x)log2x，则函数h(x)minf(x)，g(x)的最大值是_,1,解析：(2)在同一坐标系中，作出函数f(x)，g(x)图象，依题意，h(x)的图象如图中实线所示易知点A(2，1)为图象的最高点，因此h(x)的最大值为h(2)1.,题型三函数单调性的应用角度1 比较大小例4已知函数f(x)的图象向左平移1个单位后关于y轴对称，当x2x11时，f(x2)f(x1)(x2x1)0恒成立，设af 1 2，bf(2)，cf(3)，则a，b，c的大小关系为()AcabBcbaCacb Dbac,答案：D,解析：根据已知可得函数f(x)的图象关于直线x1对称，且在(1，)上单调递减所以af 1 2 f 5 2，f(2)f 5 2 f(3)，所以bac.故选D.,类题通法比较函数值大小的方法比较函数值的大小时，若自变量的值不在同一个单调区间内，要利用函数的性质，转化到同一个单调区间内进行比较对于选择题、填空题能数形结合的尽量用图象法求解,巩固训练42022北京东城模拟若函数f(x)是R上的减函数，a0，则下列不等式一定成立的是()Af(a2)f(a)Bf(a)f 1 a Cf(a)f(2a)Df(a2)f(a1),答案：D,解析：因为函数f(x)是R上的减函数，a0，A选项，a2aa(a1)，当a1时，a2a，所以f(a2)f(a)，即A不一定成立；B选项，当a1时，a 1 a，所以f(a)f 1 a，即B不一定成立；C选项，a0时，2aa，则f(a)f(2a)，所以C不成立；D选项，a2(a1)a2a1 a 1 2 2 3 4 0，则a2a1；所以f(a2)f(a1)，即D一定成立故选D.,角度2 解不等式例5已知函数f(x)ln x2x，若f(x24)2，则实数x的取值范围是_,(5，2)(2，5),解析：因为函数f(x)ln x2x在定义域上单调递增，且f(1)ln 122，所以由f(x24)2得f(x24)f(1)，所以0 x241，解得 5 x2或2x 5.,类题通法求解含“f”的不等式，应先将不等式转化为f(m)f(n)的形式，再根据函数的单调性去掉“f”，注意m，n应在定义域内取值,巩固训练52022河北石家庄二十二中月考已知函数yf(x)在定义域(1，1)上是减函数，且f(2a1)f(1a)，则实数a的取值范围是()A 2 3，+B 2 3，1 C(0，2)D(0，),答案：B,解析：因为函数yf(x)在定义域(1，1)上是减函数，且f(2a1)1a 12a11 11a1，解得 2 3 a1，所以实数a的取值范围是 2 3，1.,角度3 利用函数的单调性求参数(范围)例6(1)2022河北衡水十四中月考已知函数ya(xa)22在2，)单调，则实数a的取值范围为_,(，0)0，2,解析：(1)当a0时，y2在2，)不单调，不合题意；当a0时，函数y的对称轴为xa0，此时，若a2时，2，)上y单调递增，而a2时，2，)上y不单调综上，a的取值范围为(，0)0，2.,(2)2022江苏南通模拟若函数f(x)(3a1)x+4a，x1 ax，x1，是定义在R上的减函数，则a的取值范围为()A 1 8，1 3 B 0，1 3 C 1 8，+D，1 8 1 3，+,答案：A,解析：(2)因为函数f(x)是定义在R上的减函数，所以 3a10 a0 3a1+4aa，解得 1 8 a 1 3.,类题通法利用单调性求参数的范围(或值)的策略,巩固训练6(1)2022福建三明一中月考函数f(x)ax22x1在1，2上是增函数，则a的取值范围是()A 1 2，0 B 1 2，+C 1 2，0 0，+D.0，+,答案：(1)B,解析：(1)由题意得，当a0时，函数f(x)2x1在1，2上是增函数；当a0时，要使函数f(x)ax22x1在1，2上是增函数，应满足 a0 2 2a 1 或 a0或 1 2 a0.综上所述，a 1 2，)故选B.,(2)2022浙江杭州模拟若函数f(x)x 2 4ax在1，3内不单调，则实数a的取值范围是_,1 2，3 2,解析：(2)由题意得f(x)x24ax的对称轴为x2a，因为函数f(x)在1，3内不单调，所以12a3，得 1 2 a 3 2.,