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第一章集合与常用逻辑用语,1.4充分条件与必要条件,|自 学 导 引|,1命题：可以判断真假的陈述句叫做命题2数学中有一些命题虽然表面上不是“若p，则q”的形式，但是它的表述进行适当改变，就可以写成“若p，则q”的形式，这样条件p和结论q就明确了,充分条件,充分条件与必要条件,必要条件,pq,充分必要,充要,充要,既不充分也不必要,3数学中的每一条判定定理都给出了相应结论成立的一个_条件；数学中的每一条性质定理都给出了相应结论成立的一个_条件；数学中的每一个定义都给出了相应结论成立的一个_条件,充分,必要,充要,【预习自测】(1)“x1”是(x1)(x2)0的_条件(2)设集合Mx|0 x3，Nx|0 x2，那么“aM”是“aN”的_条件(3)设p：一元二次方程ax2bxc0有实数根，q：b24ac0，则p是q的_条件【答案】(1)充分不必要(2)必要不充分(3)充要,|课 堂 互 动|,(1)(2021年郑州期末)已知命题p：(a2)(a3)0，命题q：a3，则p是q的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件(2)“两个三角形面积相等”是“两个三角形全等”的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件素养点睛：考查数学抽象和逻辑推理的核心素养(1)B(2)B,题型1充分、必要、充要条件的判断,【解析】(1)由(a2)(a3)0可以推出a2或a3，不一定有a3；由a3可以推出(a2)(a3)0，因此p是q的必要不充分条件(2)由两个三角形全等可得，两个三角形面积相等反之不成立故“两个三角形面积相等”是“两个三角形全等”的必要不充分条件故选B,1(1)已知a，b，c是实数，下列命题结论正确的是()A“a2b2”是“ab”的充分条件B“a2b2”是“ab”的必要条件C“ac2bc2”是“ab”的充分条件D“|a|b|”是“ab”的充要条件(2)指出下列各组命题中，p是q的什么条件p：四边形的对角线相等，q：四边形是平行四边形；p：(x1)2(y2)20，q：(x1)(y2)0.,【答案】(1)C【解析】对于A，当a5，b1时，满足a2b2，但是ab，但是a2bc2得c0，则ab成立，即充分性成立，故正确；对于D，当a5，b1时，|a|b|成立，但是ab，但是|a|b|”是“ab”的既不充分也不必要条件故选C,已知p：2x10，q：1mx1m(m0)，若p是q的必要不充分条件，求实数m的取值范围素养点睛：考查数学抽象和逻辑推理的核心素养,题型2充分条件与必要条件的应用,充分条件与必要条件的应用技巧(1)应用：可利用充分性与必要性进行相关问题的求解，特别是求参数的值或取值范围问题(2)求解步骤：首先将充分条件、必要条件转化为集合间的包含关系，然后借助数轴直观建立关于参数的不等式(组)进行求解,2已知p：4xa4，q：(x2)(x3)0，若q是p的充分条件，求实数a的取值范围,证明：一元二次方程ax2bxc0有一个正根和一个负根的充要条件是ac0.素养点睛：考查逻辑推理的核心素养,题型3充要条件的证明,充要条件的证明思路(1)在证明有关充要条件的问题时，通常从“充分性”和“必要性”两个方面来证明在证明时，要注意：若证明“p的充要条件是q”，那么“充分性”是qp，“必要性”是pq；若证明“p是q的充要条件”，则与之相反(2)证明充要条件问题，其实就是证明一个命题的原命题和其逆命题都成立若不易直接证明，可根据命题之间的关系进行等价转换，然后加以证明(3)证明时一定要注意方向性，分清充分性与必要性的证明方向，关键是要明确谁是条件,2已知ab0，证明：a2b2ab2ab0成立的充要条件是ab1.证明：(充分性)若ab1，则a2b2ab2ab(ab)2(ab)110，即充分性成立(必要性)若a2b2ab2ab0，则(ab)2(ab)(ab)(ab1)0.因为ab0，所以ab10，即ab1，必要性成立综上，a2b2ab2ab0成立的充要条件是ab1.,命题“x2”的一个充分不必要条件是_(答案不唯一)错解：命题“x2”的一个充分不必要条件是：x3(或任意填写一个不等式：xa，a为大于2的任一实数)易错防范：错解的根源在于没有分清条件与结论之间的关系若命题p的一个充分不必要条件是命题q，那么有qp.也就是命题“x2”是结论，我们要填的是条件防范措施是对于充分或必要条件的判断，首先要分清谁是条件，谁是结论正解：命题“x2”的一个充分不必要条件是：x1(或任意填写一个不等式：xa，a为小于2的任一实数),易错警示没有分清条件与结论,|素 养 达 成|,1判断p是q的什么条件，常用的方法是验证由p能否推出q，由q能否推出p，对于否定性命题，注意利用等价命题来判断(体现了逻辑推理的核心素养)2证明充要条件时，既要证明充分性，又要证明必要性，即证明原命题和逆命题都成立，但要分清必要性、充分性分别是证明怎样的一个命题成立,“A的充要条件为B”的命题的证明：AB证明了必要性；BA证明了充分性“A是B的充要条件”的命题的证明：AB证明了充分性；BA证明了必要性,1(题型1)(2020年景德镇高一期中)设a，bR，则ab是|a|b的()A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件【答案】A,【解析】若ab0，则|a|ab即|a|b；若ba0，则|a|a0b，即|a|b；若a0b，则|a|a0b即|a|b；或由|a|a，ab可得|a|b，可知充分条件成立；当a3，b2时，则|a|b，此时ab，可知必要条件不成立所以ab是|a|b的充分不必要条件故选A,【答案】A,3(题型1)(2020年青岛高一期中)“2x4”是“x4”的()A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件【答案】A,4(题型2)若“x21”是“xa”的必要不充分条件，则a的最大值为_【答案】1,课后提能训练,