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第四章数列,习题课数列求和,|自 学 导 引|,分组转化求和法一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成，则求和时可用分组求和法，分别求和后再相加减,【预习自测】1数列12n1的前n项和为()A12nB22nCn2n1Dn22n【答案】C,【答案】C,【答案】C,错位相减法若一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前n项和即可用此法来求，如_数列的前n项和就是用此法推导的,等比,【预习自测】1已知数列an的前n项和为Sn且ann2n，则Sn_【答案】(n1)2n12,|课 堂 互 动|,题型1分组转化求和在等差数列an中，a2a723，a3a829(1)求数列an的通项公式；(2)设数列anbn是首项为1，公比为c的等比数列，求bn的前n项和Sn【解题探究】(1)由已知条件求出an的公差，由此能求出数列an的通项公式；(2)求出bn的通项公式，将bn的通项拆成等差数列与等比数列的和，用分组转化法求解,素养点睛：考查数学运算和逻辑推理的核心素养解：(1)设等差数列an的公差为d依题意a3a8(a2a7)2d6，从而d3所以a2a72a17d23，解得a11所以数列an的通项公式为an3n2,分组求和法适用的题型当一个数列本身不是等差数列也不是等比数列，但如果它的通项公式可以拆分为几项的和，而这些项又构成等差数列或等比数列时，那么就可以用分组求和法，即原数列的前n项和等于拆分成的每个数列前n项和的和,1已知数列1,12,1222，12222n1(1)求其通项公式an；(2)求这个数列的前n项和Sn,【解题探究】(1)利用等比数列的通项公式及其前n项和的公式即可得出；(2)利用对数的运算性质、裂项求和即可得出素养点睛：考查数学运算和逻辑推理的核心素养,裂项相消法求和的实质和解题关键裂项相消法求和的实质是先将数列中的通项分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的，其解题的关键就是准确裂项和消项(1)裂项原则：一般是前边裂几项，后边就裂几项，直到发现被消去项的规律为止(2)消项规律：消项后前边剩几项，后边就剩几项，前边剩第几项，后边就剩倒数第几项,【答案】A,题型3错位相减求和已知数列an的前n项和为Sn，且满足Sn2ann(1)求数列an的通项公式；(2)设bn(2n1)(an1)，求数列bn的前n项和Tn【解题探究】(1)根据题中已知条件Sn2ann，得出n2时，Sn12an1(n1)，此两式作差整理即可得到an1所满足的关系，求出数列an1的通项公式从而得到an的通项公式；(2)根据数列bn的通项可知利用错位相减法进行求和，从而可求出数列bn的前n项和Tn,素养点睛：考查数学运算和逻辑推理的核心素养解：(1)Sn2ann，当n1时，a1S12a11，a11当n2时，Sn2ann，Sn12an1n1，,(2)bn(2n1)2n，Tn32522723(2n1)2n1(2n1)2n，2Tn322523724(2n1)2n(2n1)2n1，Tn62(2223242n)(2n1)2n1Tn2(2n1)2n1,错位相减法的适用题型及关键点1如果数列an是等差数列，bn是等比数列，求数列anbn的前n项和时，可采用错位相减法2在写出“Sn”与“qSn”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“SnqSn”的表达式,3已知数列an是等差数列且a12，a1a2a312(1)求数列an的通项公式；(2)令bnan3n，求数列bn的前n项和Sn解：(1)数列an是等差数列且a12，a1a2a312，22d22d12，解得d2an2(n1)22n,易错警示错位相减法求和时项数处理不当致误已知数列an的前n项和为Sn，且Sn2n2n，数列bn满足an4log2bn3(1)求an，bn；(2)求数列anbn的前n项和Tn【错解】(1)由Sn2n2n，得anSnSn14n1又4n1an4log2bn3，所以bn2n1,【错因】(1)利用公式anSnSn1时，忽视n2这个限制条件，不对n1时进行验证；(2)用错位相减求和时，相减后的和式中的4(2222n1)，这是一个等比数列的前(n1)项的和，处理不当会出错【正解】(1)当n1时，a1S13；当n2时，anSnSn14n1，且当n1时，4n13，所以an4n1由4n1an4log2bn3，得bn2n1,(2)由(1)知anbn(4n1)2n1所以Tn3721122(4n1)2n1，2Tn32722(4n5)2n1(4n1)2n2TnTn(4n1)2n34(2222n1)(4n5)2n5故Tn(4n5)2n5,【点评】(1)利用错位相减法求解数列的前n项和时，应注意两边乘公比后，对应项的幂指数会发生变化，为避免出错，可将相同幂指数的项对齐，这样有一个式子前面空出一项，另外一个式子后面就会多了一项，两式相减，除第一项和最后一项外，剩下的n1项是一个等比数列(2)利用错位相减法求和时，转化为等比数列求和若公比是个参数(字母)，则应先对参数加以讨论，一般情况下分“等于1”和“不等于1”两种情况分别求和,|素 养 达 成|,1分组转化求和法：一个数列的通项公式是由若干个等差或等比或可求和的数列组成的，则求和时可用分组求和法，分别求和后相加减2裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得前n项和,3错位相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么求这个数列的前n项和即可用错位相减法求解4倒序相加法：如果一个数列，与首末两项等距离的两项之和等于首末两项之和，可采用把正着写与倒着写的两个和式相加，就得到一个常数列的和，这一求和方法称为倒序相加求和法,【答案】D,【答案】B,【答案】A,【答案】D,6设数列an的通项公式为an22n1，令bnnan，则数列bn的前n项和Sn为_,课后提能训练,