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第四节直线与圆、圆与圆的位置关系,教材回扣夯实“四基”,题型突破提高“四能”,状元笔记,教材回扣夯实“四基”,基础知识1.直线与圆的位置关系设直线l：AxByC0(A2B20)，圆：(xa)2(yb)2r2(r0)，d为圆心(a，b)到直线l的距离，联立直线和圆的方程，消元后得到的一元二次方程的判别式为.,【微点拨】直线与圆的位置关系体现了圆的几何性质和代数方法的结合，代数法与几何法是不同的方面和思路，解题时要根据题目特点灵活选择,2.圆与圆的位置关系设圆O1：(xa1)2(yb1)2 r 1 2(r10)，圆O2：(xa2)2(yb2)2 r 2 2(r20),dr1r2,无实数解,dr1r2,|r1r2|dr1r2,一组实数解,无实数解,【微点拨】(1)两圆的位置关系与公切线的条数：内含：0条内切：1条相交：2条外切：3条外离：4条(2)当两圆相交时，两圆方程相减得到的直线方程即为两圆公共弦所在的直线的方程,常用结论1圆的切线方程常用结论(1)过圆x2y2r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为x0 xy0yr2.(2)过圆(xa)2(yb)2r2上一点P x 0，y0)的圆的切线方程为(x0a)(xa)(y0b)(yb)r2.(3)过圆x2y2r2外一点M(x0，y0)作圆的两条切线，则两切点所在直线方程为x0 xy0yr2.,2圆与圆的位置关系的常用结论(1)两圆相交时公共弦的方程设圆C1：x2y2D1xE1yF10，圆C2：x2y2D2xE2yF20，若两圆相交，则有一条公共弦，其公共弦所在直线的方程可由得到，即(D1D2)x(E1E2)y(F1F2)0.(2)两个圆系方程过直线AxByC0与圆x2y2DxEyF0交点的圆系方程：x2y2DxEyF(AxByC)0(R)；过圆C1：x2y2D1xE1yF10和圆C2：x2y2D2xE2yF20交点的圆系方程：x2y2D1xE1yF1(x2y2D2xE2yF2)0(1)(其中不含圆C2，所以注意检验C2是否满足题意，以防丢解),基本技能、思想、活动经验题组一思考辨析(正确的打“”，错误的打“”)1.若两圆的圆心距小于两圆的半径之和，则两圆相交()2“k1”是“直线xyk0与圆x2y21相交”的必要不充分条件()3过圆O：x2y2r2外一点P(x0，y0)作圆的两条切线，切点为A，B，则O，P，A，B四点共圆且直线AB的方程是x0 xy0yr2.()4联立两相交圆的方程，并消去二次项后得到的二元一次方程是两圆的公共弦所在直线的方程(),题组二教材改编5直线l：3xy60被圆C：x2y22x4y0截得的弦AB的长为()A 10 2 B 10 C 26 5 D 2 26 5,答案：B,解析：由已知可知圆C的圆心为(1，2)，半径r 5，圆心到直线的距离为d 3126 3 2+1 2 10 2.|AB|2 r 2 d 2 2 5 2 10 2 2 10.故选B.,6圆x2y240与圆x2y24x4y120的公共弦的长为_,2 2,解析：联立方程组 x 2+y 2 4=0 x 2+y 2 4x+4y12=0，得xy20.已知圆x2y240的圆心(0，0)，半径r为2，且圆心(0，0)到直线xy20的距离d 2 2 2，则公共弦长为2 r 2 d 2 2 42 2 2.,题组三易错自纠7已知圆C：x2y29，过点P(3，1)作圆C的切线，则切线方程为_,x3或4x3y150,解析：由题意知P在圆外，当切线斜率不存在时，切线方程为x3，满足题意；当切线斜率存在时，设斜率为k，所以切线方程为y1k(x3)，即kxy13k0，所以 k00+13k k 2+1 3，解得k 4 3，所以切线方程为4x3y150.综上，切线方程为x3或4x3y150.,8若直线过点P(4，1)且被圆x2y225截得的弦长是6，则该直线的方程为_,x4或15x8y680,解析：当直线的斜率不存在时，该直线的方程为x4，代入圆的方程解得y3，故该直线被圆截得的弦长为6，满足题意当直线的斜率存在时，不妨设直线的方程为y1k(x4)，即kxy4k10，圆心到直线的距离d 4k+1 k 2+1，则2 5 2 4k+1 k 2+1 2 6，解得k 15 8，所以直线方程为15x8y680.综上所述，所求直线方程为x4或15x8y680.,题型突破提高“四能”,题型一直线与圆的位置关系例1(1)(多选)2021新高考卷已知直线l：axbyr20与圆C：x2y2r2，点A(a，b)，则下列说法正确的是()A若点A在圆C上，则直线l与圆C相切B若点A在圆C内，则直线l与圆C相离C若点A在圆C外，则直线l与圆C相离D若点A在直线l上，则直线l与圆C相切,答案：(1)ABD,解析：(1)圆心C(0，0)到直线l的距离d r 2 a 2+b 2，若点A(a，b)在圆C上，则a2b2r2，所以d r 2 a 2+b 2|r|，则直线l与圆C相切，故A正确；若点A(a，b)在圆C内，则a2b2|r|，则直线l与圆C相离，故B正确；若点A(a，b)在圆C外，则a2b2r2，所以d r 2 a 2+b 2|r|，则直线l与圆C相交，故C错误；若点A(a，b)在直线l上，则a2b2r20即a2b2r2，所以d r 2 a 2+b 2|r|，直线l与圆C相切，故D正确故选ABD.,(2)2022北京人大附中模拟已知圆C经过点(1，0)和(1，0)，且与直线yx1只有一个公共点，则圆心C的坐标为()A(0，0)B(0，1)C(0，1)D(0，1)或(0，1),答案：(2)B,解析：(2)由圆C经过点(1，0)和(1，0)，则圆心一定在y轴上，设圆心为(0，b)，由圆与直线yx1只有一个公共点，即圆与直线yx1相切由圆的半径为r 01 2+b 2 1+b 2.所以圆心到直线的距离d b+1 2 1+b 2，解得b1.故选B.,(3)若直线xy10与圆(xa)2y22有公共点，则实数a的取值范围是_,3，1,解析：(3)由题意得圆心为(a，0)，半径为 2，圆心到直线的距离为d a+1 2.由直线与圆有公共点可得 a+1 2 2，即|a1|2，解得3a1.所以实数a的取值范围是3，1.,类题通法判断直线与圆的位置关系的两种方法,巩固训练1(1)2022山东济南章丘一中月考已知m23，则直线ymx 3 与圆x2y21的位置关系为()A相切 B相离C相交或相切 D相交,答案：(1)D,解析：(1)由题意，该圆的圆心为O(0，0)，半径为1，所以圆心到直线的距离为d 3 1+m 2 3 2 1，故选D.,(2)2022天津南开区模拟已知直线l：ykx1与圆C：x2y24x30相切，则正实数k的值为_,4 3,解析：(2)l：ykx1kx1y0，C：x2y24x30(x2)2y21，圆心为(2，0)，r1，直线与圆相切可得 2k1 k 2+1 1，解得k 4 3 或k0，所以正实数k的值为 4 3.,题型二圆的切线与弦长问题角度1 弦长问题例2(1)2022北京朝阳模拟已知圆x2y21截直线yk(x1)(k0)所得弦的长度为1，那么k的值为()A 1 2 B 3 3 C1 D 3,答案：(1)D,解析：(1)圆x2y21的圆心为(0，0)，半径R1，圆心(0，0)到直线yk(x1)的距离d k k 2+1，由R2d2 1 2 2 得1 k 2 k 2+1+1 4，得k23，又因为k0，所以k 3.故选D.,(2)2022湖南长沙模拟直线l：(2a1)x(a3)y43a0与圆(x2)2y29相交于A，B两点，则|AB|的最小值为_；此时a_,2 7,4 3,解析：(2)直线l：(2a1)x(a3)y43a0恒过定点(1，1)，当圆心与点(1，1)的连线与直线AB垂直时，弦长|AB|最小，圆心(2，0)与点(1，1)间的距离为 21 2+01 2 2，半径为3，弦长|AB|的最小值为2 92 2 7.圆心(2，0)与点(1，1)连线的斜率为 10 12 1，此时直线l的斜率为1，由 2a1 a3 1，解得a 4 3.,(3)2022安徽芜湖一中月考已知圆M的方程为x2y26x8y0，过点P(0，4)的直线l与圆M相交的所有弦中，弦长最短的弦为AC，弦长最长的弦为BD，则四边形ABCD的面积为_,40,解析：(3)圆M的标准方程为(x3)2(y4)225，即圆是以M(3，4)为圆心，5为半径的圆，且由(03)2(44)2925，知点P(0，4)在圆内，则最短的弦是以P(0，4)为中点的弦，所以25 AC 2 2 9，所以|AC|8，过P(0，4)最长的弦BD为直径，所以|BD|10，且ACBD，故SABCD 1 2|AC|BD|40.,类题通法直线被圆截得的弦长的两种求法,巩固训练2(1)2022广东大联考已知直线l：xy30交圆x2y24x2y40于A、B两点，则|AB|()A2 B1C2 2 D 17,答案：(1)A,解析：(1)根据题意，圆x2y24x2y40，即(x2)2(y1)29，其圆心为(2，1)，半径r3，圆心到直线l的距离d 2+13 1+1 2 2，则弦长|AB|2 98 2，故选A.,(2)2021北京卷已知圆C：x2y24，直线l：ykxm，当k变化时，l截得圆C弦长的最小值为2，则m()A2 B 2 C 3 D 5,答案：C,解析：(2)由题可得圆心为(0，0)，半径为2，则圆心到直线的距离d m k 2+1，则弦长为2 4 m 2 k 2+1，则当k0时，弦长取得最小值为2 4 m 2 2，解得m 3.故选C.,角度2 切线问题例3(1)2022河南开封三模已知圆M过点A(1，3)、B(1，1)、C(3，1)，则圆M在点A处的切线方程为()A3x4y150 B3x4y90C4x3y130 D4x3y50,答案：(1)A,解析：(1)设圆M的一般方程为x2y2DxEyF0，由题意可得 D+3E+F+10=0 DE+F+2=0 3D+E+F+10=0，解得 D=1 E=2 F=5，所以，圆M的方程为x2y2x2y50，圆心为M 1 2，1，直线AM的斜率为kAM 31 1+1 2 4 3，因此，圆M在点A处的切线方程为y3 3 4(x1)，即3x4y150.故选A.,(2)2022河北沧州模拟过圆O：x2y25外一点P(2，5)作圆O的切线，切点分别为A、B，则|AB|()A2 B 5 C 4 5 3 D3,答案：(2)C,解析：(2)如图，结合题意绘出图象：因为圆O：x2y25，直线PA、PB是圆O的切线，所以O(0，0)，|OA|OB|5，PAOA，PBOB，因为P(2，5)，所以|OP|2 2+5 2 3，|PA|OP 2 OA 2 2，根据圆的对称性易知OPAB，则 1 2|OP|AC|1 2|OA|AP|，解得|AC|2 5 3，|AB|2|AC|4 5 3，故选C.,(3)已知圆C：x2y24x10，过圆外一点P作圆C的切线，切点为A，若|PA|2|PO|(O为坐标原点)，则|PC|的最小值为()A4 B4 2 C4 3 D4 5,答案：(3)D,解析：(3)圆C：x2y24x10，化简可得(x2)2y23，所以C(2，0)，半径为 3，由题意，过圆外一点P作圆C的切线，切点为A，所以PAC为直角三角形，|PA|2|PC|2|AC|2，又由|PA|2|PO|，可求得动点P的轨迹方程，设P(x1，y1)，则 x 1+2 2+y 1 2(3)22(1 2+1 2)，可得 x 1 2 2+y 1 2 5，点P在圆 x 1 2 2+y 1 2 5上，圆心为(2，0)，则|PC|的最小值为：|PC|min 2 2 2+00 2 5 4 5.故选D.,类题通法解决直线与圆相切问题的策略,巩固训练3(1)2022辽宁大连模拟从点P(m，3)向圆(x2)2(y2)22引切线，则切线长的最小值为()A 26 B5C2 6 D 23,答案：(1)D,解析：(1)由(m2)2522，则点P在圆外，圆心为A(2，2)，r 2.|AP|m+2 2+5 2 m 2+4m+29，切线长l AP 2 r 2 m 2+4m+27 m+2 2+23 23.故选D.,(2)2021天津卷若斜率为 3 的直线与y轴交于点A，与圆x2(y1)21相切于点B，则|AB|_,3,解析：(2)设直线AB的方程为y 3 xb，则点A(0，b)，由于直线AB与圆x2(y1)21相切，且圆心为C(0，1)，半径为1，则 b1 2 1，解得b1或b3，所以|AC|2，因为|BC|1，故|AB|AC 2 BC 2 3.,题型三圆与圆的位置关系例4(1)2022福建厦门一中月考圆C1：x2y21与圆C2：x2y2k(4x3y)10，(kR，k0)的位置关系为()A相交B相离C相切 D无法确定,答案：(1)A,解析：(1)圆C1：x2y21的圆心C1(0，0)，半径为r11，由x2y2k(4x3y)10，得(x2k)2 y+3 2 k 2 1 25 4 k2，所以圆C2的圆心为C2 2k，3 2 k，半径r2 1+25 4 k 2，所以|C1C2|4 k 2+9 4 k 2 25 4 k 2 1+25 4 k 2(k0)，所以 25 4 k 2 1+25 4 k 2 1，所以|C1C2|r2r1，所以两圆相交故选A.,(2)(多选)2022广东潮州模拟已知圆C：x22axy2a210与圆D：x2y24有且仅有两条公共切线，则实数a的取值可以是()A3B3 C2D2,答案：(2)CD,解析：(2)圆C方程可化为：(xa)2y21，则圆心C(a，0)，半径r11；由圆D方程知：圆心D(0，0)，半径r22；圆C与圆D有且仅有两条公切线，两圆相交，又两圆圆心距d|a|，21|a|21，即1|a|3，解得：3a1或1a3，可知CD中的a的取值满足题意故选CD.,(3)若圆x2y2a2与圆x2y2ay60的公共弦长为2 3，则a_,2,解析：(3)两圆作差得公共弦所在直线方程为a2ay60.原点到a2ay60的距离为d 6 a a.公共弦长为2 3.a2(3)2 6 a a 2，a24，a2.,类题通法(1)处理与两圆的位置关系相关的问题时，多用圆心距与两圆半径的和或差的大小关系判断，一般不采用代数法(2)若两圆相交，则两圆公共弦所在直线的方程可由两圆的方程作差得到,巩固训练4(1)2022河北邯郸模拟圆x24xy20与圆(x2)2(y3)2r2有三条公切线，则半径r()A5 B4C3 D2,答案：(1)C,解析：(1)两圆公切线有且仅有三条，两圆外切由圆的方程可知，两圆圆心分别为：(2，0)，(2，3)；半径分别为：2和r，两圆圆心距d 22 2+03 2 2r，解得：r3.故选C.,(2)已知两圆x2y210和(x1)2(y3)210相交于A，B两点，则直线AB的方程是_,x3y50,解析：(2)两个圆方程可化为x2y210，x2y22x6y0，两式相减得2x6y10，即x3y50.,状元笔记,13求曲线轨迹方程的方法曲线C与方程F(x，y)0满足两个条件：(1)曲线C上点的坐标都是方程F(x，y)0的解；(2)以方程F(x，y)0的解为坐标的点都在曲线C上则称曲线C为方程F(x，y)0的曲线，方程F(x，y)0为曲线C的方程求曲线方程的基本方法主要有：(1)直接法：直接将几何条件或等量关系用坐标表示为代数方程(2)定义法：利用曲线的定义，判断曲线类型，再由曲线的定义直接写出曲线方程,(3)代入法(相关点法)题中有两个动点，一个为所求，设为(x，y)，另一个在已知曲线上运动，设为(x0，y0)，利用已知条件找出两个动点的关系，用所求表示已知，即 x 0=f x，y，y 0=g x，y,将x0，y0代入已知曲线即得所求(4)参数法：引入参数t，求出动点(x，y)与参数t之间的关系 x=f t y=g t，消去参数即得所求轨迹方程(5)交轨法：引入参数表示两动曲线的方程，将参数消去，得到两动曲线交点的轨迹方程,一、直接法求轨迹方程典例12022福建厦门模拟设点A，B的坐标分别为(5，0)，(5，0)，动点M满足：直线AM，BM的斜率之积为 9 25，求点M的轨迹方程,【解析】设M(x，y)，因为A(5，0)，B(5，0)，所以kAM y x+5(x5)，kBM y x5(x5)，由已知，y x+5 y x5 9 25，化简整理得9x225y2225(x5)，即 x 2 25+y 2 9 1(x5),类题通法直接法求轨迹方程的两种策略,二、定义法求轨迹方程典例2在平面直角坐标系内，一动圆与圆x2y22x 2 3 0外切，同时与圆x2y22x 22 3 0内切，求动圆圆心M的轨迹方程,【解析】两圆的标准方程分别为(x 1)2y2 1 3，(x1)2y2 25 3，圆(x1)2y2 25 3 的圆心为F1(1，0)，半径为r1 5 3 3，圆(x 1)2y2 1 3 的圆心为F2(1，0)，半径为r2 3 3，|F1F2|2，所以，|F1F2|r1r2，所以，圆F2内含于圆F1，设动圆M的半径为R，由题意可得 MF 1=5 3 3 R MF 2=3 3+R，,所以，|MF1|MF2|2 3|F1F2|，所以，动圆圆心M的轨迹是以F1、F2分别为左、右焦点，长轴长为2a2 3，焦距为2c2的椭圆，该椭圆的短轴长为2b2 a 2 c 2 2 2，则a 3，b 2，因此，动圆圆心M的轨迹方程为 x 2 3 y 2 2 1.,类题通法定义法求轨迹方程利用定义法求轨迹方程时，还要看轨迹是否是完整的圆、椭圆、双曲线、抛物线，如果不是完整的曲线，则应对其中的变量x或y进行限制,三、代入法(相关点法)求轨迹方程典例32022河北新乐一中月考已知圆C：x2y24x2ya0点N(4，0)为圆C外一点(1)求a的取值范围；,【解析】(1)根据题意，圆C：x2y 24x2ya0，即(x2)2(y1)25a.因为N(4，0)在圆外，则 5+a0，4+15+a，解得5a0，所以a的取值范围为(5，0),(2)已知a2，若M是圆C上一动点，求MN中点P的轨迹方程,【解析】(2)因为a2，所以圆C：(x2)2(y1)23，设P(x，y)，M(x0，y0)，则 4+x 0 2=x，0+y 0 2=y，可得M(2x4，2y)将M的坐标代入圆C的方程得(2x6)2(2y1)23，所以MN中点P的轨迹方程为(x 3)2(y 1 2)2 3 4.,类题通法利用代入法求轨迹方程的一般步骤,四、参数法求轨迹方程典例42022湖北武汉外国语学校月考如图，椭圆C：x 2 16 y 2 4 1的右顶点为A，上顶点为B，动直线交椭圆C于M、N两点，且满足MON90，过原点O作OHMN，垂足为H.求点H的轨迹方程,【解析】设M(x1，y1)，N(x2，y2)，直线MN的方程为xmyt，与椭圆方程联立 x=my+t x 2 16+y 2 4=1 得(m24)y22mtyt2160，所以y1y2 2mt m 2+4，y1y2 t 2 16 m 2+4，因为MON90，所以MOON，即 OM ON 0，所以x1x2y1y2(my1t)(my2t)y1y2(m21)y1y2mt(y2y1)t20，整理得 5 t 2 16 1m2，O点到直线MN的距离为|OH|t 1+m 2 4 5，所以H点的轨迹方程为x2y2 16 5.,类题通法应用消参法求轨迹方程的流程,五、交轨法求轨迹方程典例5如图，已知椭圆C：x 2 18 y 2 9 1的短轴端点分别为B1，B2，点M是椭圆C上的动点，且不与B1，B2重合，点N满足NB1MB1,NB2MB2，求动点N的轨迹方程,【解析】方法一设点N(x，y)，M(x0，y0)(x00)由题意知点B1(0，3)，B2(0，3)，所以 k M B 1 y 0+3 x 0，k M B 2 y 0 3 x 0.因为MB1NB1，MB2NB2，所以直线NB1：y3 x 0 y 0+3 x，直线NB2：y3 x 0 y 0 3 x，得y29 0 2 0 2 9 x2.又 0 2 18 0 2 9 1，所以y29 18 1 0 2 9 0 2 9 x22x2，所以动点N的轨迹方程为 y 2 9 x 2 9 2 1(x0),方法二设点N(x，y)，M(x0，y0)(x00)由题意知点B1(0，3)，B2(0，3)，所以 k M B 1 y 0+3 x 0，k M B 2 y 0 3 x 0.因为MB1NB1，MB2NB2，所以直线NB1：y3 x 0 y 0+3 x，直线NB2：y3 x 0 y 0 3 x，联立，解得=0 2 9 0，0.又 0 2 18 0 2 9 1，所以x x 0 2，故 x 0=2x，y 0=y，代入 0 2 18 0 2 9 1，得 y 2 9 x 2 9 2 1.所以动点N的轨迹方程为 y 2 9+x 2 9 2 1(x0),方法三设直线MB1：ykx3(k0)，则直线NB1：y 1 k x3.直线MB1与椭圆C：x 2 18+y 2 9 1的交点M的坐标为 12k 2 k 2+1，6 k 2 3 2 k 2+1.则直线MB2的斜率为 k M B 2 6 k 2 3 2 k 2+1 3 12k 2 k 2+1 1 2k.所以直线NB2：y2kx3.由解得 x=6k 2 k 2+1，y=36 k 2 2 k 2+1，所以点N的轨迹方程为 y 2 9+x 2 9 2 1(x0),类题通法交轨法一般根据动点在两条动直线上，利用动直线方程，消去不必要的参数得到动点的轨迹方程，注意通过几何意义确定曲线的范围,