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第六节对数与对数函数,必备知识基础落实,关键能力考点突破,微专题,最新考纲1理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数；了解对数在简化运算中的作用2理解对数函数的概念及单调性，掌握对数函数图象通过的特殊点，会画底数为2，10，1 2 的对数函数的图象3体会对数函数是一类重要的函数模型4了解指数函数yax(a0，且a1)与对数函数ylogax(a0，且a1)互为反函数,考向预测考情分析：对数函数中利用性质比较对数值大小，求对数型函数的定义域、值域、最值等仍是高考考查的热点，题型多以选择题、填空题为主，属中档题学科素养：通过对数运算考查数学运算的核心素养；通过对数函数的图象与性质考查直观想象、逻辑推理的核心素养,必备知识基础落实,一、必记3个知识点1对数(1)对数的概念：如果axN(a0，且a1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作_，其中a叫做对数的底数，N叫做真数(2)对数的性质：log _；log a a b b(a0，且a1)(3)对数的运算性质如果a0且a1，M0，N0，那么loga(MN)_；loga M N _；logaMn_(nR)(4)换底公式：logab_(a0，且a1，b0，c0，且c1),xlogaN,N,logaMlogaN,logaMlogaN,nlogaM,2对数函数及其性质(1)概念：函数ylogax(a0，且a1)叫做对数函数，其中x是自变量，定义域是(0，)(2)对数函数的图象与性质,(0，),R,(1，0),增函数,减函数,3.反函数指数函数yax(a0，且a1)与对数函数_(a0，且a1)互为反函数，它们的图象关于直线_对称它们的定义域和值域正好互换,ylogax,yx,二、必明2个常用结论1换底公式的三个重要结论logab 1 log b a；log a m n n m logab；logablogbclogcdlogad.2对数函数图象的特点(1)当a1时，对数函数的图象呈上升趋势；当00，且a1)的图象过定点(1，0)，且过点(a，1)，1 a，1，函数图象只在第一、四象限(3)在直线x1的右侧，当a1时，底数越大，图象越靠近x轴；当0a1时，底数越小，图象越靠近x轴，即“底大图低”,三、必练4类基础题(一)判断正误1判断下列说法是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)函数ylog2(x1)是对数函数()(2)log2x22log2x.()(3)当x1时，logax0.()(4)函数yln 1+x 1x 与yln(1x)ln(1x)的定义域相同(),(二)教材改编2必修1P73练习T3改编已知a 2 1 3，blog2 1 3，c log 1 2 1 3，则()Aabc BacbCcba Dcab,答案：D,解析：因为01.所以cab.,3必修1P74习题T3改编计算：lg 4 2 7 lg 8 2 3 lg 7 5 _,解析：原式lg 4 1 2 lg 2lg 7 2 3 lg 8lg 7 1 2 lg 52lg 2 1 2(lg 2lg 5)2lg 2 1 2.,(三)易错易混4函数y3loga(x3)的图象必经过定点的坐标为_,(2，3),解析：因为当x2时，y303，所以该函数的图象必过定点(2，3),5(忽视底数a的讨论出错)若loga 3 4 0，且a1)，则实数a的取值范围是_,，+,解析：当01时，loga 3 4 1.所以实数a的取值范围是 0，3 4 1，+,(四)走进高考62021全国乙卷设a2ln 1.01，bln 1.02，c 1.04 1，则()Aabc BbcaCbac Dcab,答案：B,解析：a2ln 1.01ln 1.012ln(10.01)2ln(120.010.012)ln 1.02b，所以b0，即 1+4x(1x)，f(x)0，所以f(x)在0，2上单调递增，所以f(0.01)f(0)0，即2ln 1.01 1.04 1，即ac；,令g(x)ln(12x)1+4x 1，则g(0)0，g(x)2 1+2x 2 1+4x 2 1+4x 12x 1+2x 1+4x，由于14x(12x)24x2，在x0时，14x(12x)20，所以g(x)0，即函数g(x)在0，)上单调递减，所以g(0.01)g(0)0，即ln 1.02 1.04 1，即bc；综上，bca.,关键能力考点突破,考点一对数式的化简与求值基础性12022山西省临汾市高三考试已知4x3ym，且 1 x+2 y 2，则m()A2 B4 C6 D9,答案：C,解析：由题知，xlog4m，ylog3m，则 1 x+2 y 1 log 4 m+2 log 3 m logm42logm3logm362，则m6，故选C.,22022 临沂期末改编若10a4，10b25，则下列选项中不正确的是()Aab2 Bba1Cab8lg22 Dbalg 6,答案：B,解析：由10a4，10b25，得alg 4，blg 25，则ablg 4lg 25lg 1002，故A正确；balg 25lg 4lg 25 4 lg 6且lg 25 4 4lg 2lg 48lg22，故C正确,3已知ab1，若logablogba 5 2，abba，则a_，b_,4,2,解析：设logbat，则t1，因为t 1 t 5 2，所以t2，则ab2.又abba，所以b2b b b 2，即2bb2，又ab1，解得b2，a4.,4计算：(1)lg 25lg 2lg 50(lg 2)2；,解析：(1)原式(lg 2)2(1lg 5)lg 2lg 52(lg 2lg 51)lg 22lg 5(11)lg 22lg 52(lg 2lg 5)2.,(2)lg 3 2 lg 9+1 lg 27+lg 8 lg 1 000 lg 0.3 lg 1.2；,解析：(2)原式 lg 3 2 2 lg 3+1 3 2 lg 3+3 lg 2 3 2 lg 3 1 lg 3+2 lg 2 1 1 lg 3 3 2 lg 3+2 lg 2 1 lg 3 1 lg 3+2 lg 2 1 3 2.,(3)(log32log92)(log43log83),解析：(3)原式 lg 2 lg 3+lg 2 lg 9 lg 3 lg 4+lg 3 lg 8 lg 2 lg 3+lg 2 2 lg 3 lg 3 2 lg 2+lg 3 3 lg 2 3 lg 2 2 lg 3 5 lg 3 6 lg 2 5 4.,反思感悟对数运算的一般思路,考点二对数函数的图象及应用基础性、综合性例1(1)2022泰安模拟函数yln(2|x|)的大致图象为(),答案：(1)A,解析：(1)令f(x)ln(2|x|)，易知函数f(x)的定义域为x|2x2，且f(x)ln(2|x|)ln(2|x|)f(x)，所以函数f(x)为偶函数，排除选项C、D.由对数函数的单调性及函数y2|x|的单调性知A正确,(2)已知函数f(x)log 2 x，x0，3 x，x0，且关于x的方程f(x)xa0有且只有一个实根，则实数a的取值范围是_,(1，),解析：(2)如图，在同一坐标系中分别作出yf(x)与yxa的图象，其中a表示直线yxa在y轴上的截距由图可知，当a1时，直线yxa与yf(x)只有一个交点,反思感悟对数型函数图象的考查类型及解题思路(1)对有关对数型函数图象的识别问题，主要依据底数确定图象的变化趋势、图象的位置、图象所过的定点及图象与坐标轴的交点等求解(2)对有关对数型函数的作图问题，一般是从基本初等函数的图象入手，通过平移、伸缩、对称变换得到所要求的函数图象特别地，当底数与1的大小关系不确定时应注意分类讨论(3)与对数型函数有关的方程或不等式问题常常结合对数函数的图象来解决，即数形结合法,【对点训练】1函数y2log4(1x)的图象大致是(),答案：C,解析：函数y2log4(1x)的定义域为(，1)，排除A，B项；函数y2log4(1x)在定义域上单调递减，排除D项，故选C项,22022西安调研设x1，x2，x3均为实数，且 e x 1 ln x 1，e x 2 ln x 2+1，e x 3 lg x3，则()Ax1x2x3 Bx1x3x2Cx2x3x1 Dx2x1x3,答案：D,解析：画出函数y 1 e x，yln x，yln(x1)，ylg x的图象，如图所示：由图象直观性，知x2x1x3.,考点三对数函数的性质及其应用综合性角度1比较对数值的大小例2(1)2020全国卷设alog32，blog53，c 2 3，则()Aacb BabcCbca Dcab,答案：(1)A,解析：(1)因为alog32log3 3 8 log3 3 9 2 3 c，blog53log5 3 27 log5 3 25 2 3 c，所以acb.,(2)2022衡水检测已知a(1 2)0.2，b log 1 2 0.2，cab，则a，b，c的大小关系是()Aabc BcabCacb Dbca,答案：(2)B,解析：(2)函数y(1 2)x与y log 1 2 的图象关于直线yx对称，则0ac.,反思感悟比较对数值大小的方法,角度2解简单的对数不等式例3已知定义域为R的偶函数f(x)在(，0上是减函数，且f(1)2，则不等式f(log2x)2的解集为()A(2，)B 0，1 2 2，+C(0，2 2)(2，)D(2，),答案：B,解析：因为偶函数f(x)在(，0上是减函数，所以f(x)在(0，)上是增函数又f(1)2，所以不等式f(log2x)2f(1)，即|log2x|1，解得02.,反思感悟求解对数不等式的两种类型及方法,角度3对数型函数性质的综合应用例4已知函数f(x)log4(ax22x3)(1)若f(1)1，求f(x)的单调区间；(2)是否存在实数a，使f(x)的最小值为0？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由,解析：(1)因为f(1)1，所以log4(a5)1.因此a54，即a1，这时f(x)log4(x22x3)由x22x30，得10，3a1 a=1，解得a 1 2.故存在实数a 1 2，使f(x)的最小值为0.,反思感悟求解与对数函数有关的复合函数单调性的步骤,【对点训练】1已知alog23log2 3，blog29log2 3，clog32，则a，b，c的大小关系是()AabcCabc,答案：B,解析：因为alog23log2 3 log23 3 3 2 log231，blog29log2 3 log23 3 a，clog32c.,2已知函数f(x)loga(8ax)(a0，且a1)，若f(x)1在区间1，2上恒成立，则实数a的取值范围是_,解析：当a1时，f(x)loga(8ax)在1，2上是减函数，由f(x)1在区间1，2上恒成立，则f(x)minf(2)loga(82a)1，即82aa，且82a0，解得11在区间1，2上恒成立，知f(x)minf(1)loga(8a)1，且82a0.8a0，此时解集为.综上可知，实数a的取值范围是 1，8 3.,，,微专题 巧借运算性质拟合函数破压轴,例2021辽宁大连期中定义在(0，)上的增函数f(x)，满足对于任意正实数x，y恒有f(xy)f(x)f(y)，且f(3)1，则不等式f(x)f(x8)2的解集是()A(1，9)B(0，8)C(8，9)D(0，9),答案：C,解析：方法一(一般解法)因为f(xy)f(x)f(y)，f(3)1，所以22f(3)f(3)f(3)f(33)f(9)，则不等式f(x)f(x8)0，x80，x x8 0，x8，1x9，解得8x9，所以不等式的解集为(8，9)，故选C.,方法二(秒杀解法)根据在(0，)上的增函数f(x)，满足对于任意正实数x，y恒有f(xy)f(x)f(y)，且f(3)1，可以设f(x)log3x(x0)，则不等式f(x)f(x8)0，x80，即 x x8 0，x80，解得8x9.,名师点评本题是一个抽象函数的试题，如果直接研究抽象函数的单调性有困难，可尝试根据抽象函数的结构和形式，从中找到一个能“拟合”这个规律的具体函数，结合具体函数的性质解决问题如本题抽象函数有性质“f(xy)f(x)f(y)”，可以借助对数函数模型解题,变式训练若f(x)满足对任意的实数a，b都有f(ab)f(a)f(b)且f(1)2，则 f 2 f 1+f 4 f 3+f 6 f 5 f 2 016 f 2 015+f 2 018 f 2 017+f 2 020 f 2 019()A1 009B2 018C2 019D2 020,答案：D,解析：方法一因为f(x)满足对任意的实数a，b都有f(ab)f(a)f(b)，且f(1)2，所以f(a1)f(a)f(1)，所以 f a+1 f a f(1)2，所以 f 2 f 1 f 4 f 3 f 6 f 5 f 2 016 f 2 015 f 2 018 f 2 017 f 2 020 f 2 019 2，(共有1 010项)所以 f 2 f 1+f 4 f 3+f 6 f 5 f 2 016 f 2 015+f 2 018 f 2 017+f 2 020 f 2 019 1 01022 020.方法二根据题意可设f(x)2x，则 f 2 f 1+f 4 f 3+f 6 f 5 f 2 016 f 2 015+f 2 018 f 2 017+f 2 020 f 2 019 2 2 2+2 4 2 3 2 2 020 2 2 019 21 0102 020.,