phplt3.2.2.pptx

第2课时导数与函数的极值、最值,关键能力考点突破,关键能力考点突破,考点一利用导数求函数的极值问题综合性角度1根据函数图象判断极值例1设函数f(x)在R上可导，其导函数为f(x)，且函数g(x)xf(x)的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是()Af(x)有两个极值点Bf(2)为函数的极大值Cf(x)有两个极小值Df(1)为f(x)的极小值,答案：C,解析：由题图知，当x(，2)时，g(x)0，f(x)0，当x(0，1)时，g(x)0，f(x)0.f(x)在(，2)，(0，1)上单调递减，在(2，0)，(1，)上单调递增故ABD错误，C正确,反思感悟由图象判断函数yf(x)的极值，要抓住两点：(1)由yf(x)的图象与x轴的交点，可得函数yf(x)的可能极值点；(2)由导函数yf(x)的图象可以看出yf(x)的值的正负，从而可得函数yf(x)的单调性两者结合可得极值点,角度2求已知函数的极值例2已知函数f(x)x212a ln x(a0)，求函数f(x)的极值,解析：因为f(x)x212a ln x(x0)，所以f(x)2x 2a x 2 x 2 a x.当a0，且x2a0，所以f(x)0在(0，)上恒成立所以f(x)在(0，)上单调递增，f(x)无极值当a0时，令f(x)0，解得x1 a，x2 a(舍去)所以当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：所以当x a 时，f(x)取得极小值，且f(a)(a)212a ln a a1a ln a无极大值综上，当a0时，函数f(x)在x a 处取得极小值a1a ln a，无极大值,反思感悟求可导函数f(x)的极值的步骤(1)确定函数的定义域，求导数f(x)；(2)求方程f(x)0的根；(3)检验f(x)在方程f(x)0的根的左右两侧的符号，具体如下表：,提醒对于求解析式中含有参数的函数的极值问题，一般要对方程f(x)0的根的情况进行讨论分两个层次讨论：第一层，讨论方程在定义域内是否有根；第二层，在有根的条件下，再讨论根的大小,角度3已知极值(点)求参数例3(1)已知f(x)x33ax2bxa2在x1处有极值0，则ab_,11,解析：(1)f(x)3x26axb，由题意得 f 1=0，f 1=0，解得 a=1，b=3，或 a=2，b=9，当a1，b3时，f(x)3x26x33(x1)20，f(x)在R上单调递增，即f(x)无极值，a1，b3不符合题意，当a2，b9时，经检验满足题意ab11.,(2)已知函数f(x)x(ln xax)有两个极值点，则实数a的取值范围是_,，,解析：(2)f(x)x(ln xax)，定义域为(0，)，f(x)1ln x2ax.由题意知，当x0时，1ln x2ax0有两个不相等的实数根，即2a 1+ln x x 有两个不相等的实数根，令(x)1+ln x x(x0)，(x)ln x x 2.当00；当x1时，(x)0，(x)在(0，1)上单调递增，在(1，)上单调递减，且(1)1，当x0时，(x)，当x时，(x)0，则02a1，即0a 1 2.,反思感悟 已知函数极值点或极值求参数的2个要领(1)列式：根据极值点处导数为0和极值这两个条件列方程组，利用待定系数法求解(2)验证：因为导数值等于0不是此点为极值点的充要条件，所以利用待定系数法求解后必须验证该点两侧导数的符号.,【对点训练】12022洛阳模拟若x1是函数f(x)axln x的极值点，则()A.f(x)有极大值1 Bf(x)有极小值1C.f(x)有极大值0 Df(x)有极小值0,答案：A,解析：f(x)axln x，x0，f(x)a 1 x，由f(1)0得a1，f(x)1 1 x 1x x.由f(x)0得01，f(x)在(0，1)上单调递增，在(1，)上单调递减，f(x)极大值f(1)1，无极小值,22022桂林联考若函数f(x)1 2 e2xmex m 2 x2有两个极值点，则实数m的取值范围是()A.1 2，+B(1，)C.e 2，+D(e，),答案：B,解析：依题意，f(x)e2xmexmx有两个变号零点，令f(x)0，即e2xmexmx0，则e2xm(exx)，显然m0，则 1 m e x+x e 2x，设g(x)e x+x e 2x，则g(x)e x+1 e 2x e x+x 2 e 2x e 4x 1 e x 2x e 2x，设h(x)1ex2x，则h(x)ex20，g(x)0，g(x)单调递增，当x(0，)时，h(x)1.,考点二利用导数求函数的最值综合性、应用性例4已知函数g(x)a ln xx2(a2)x(aR)(1)若a1，求g(x)在区间1，e上的最大值；,解析：(1)a1，g(x)ln xx23x，g(x)1 x 2x3 2x1 x1 x，x1，e，g(x)0，g(x)在1，e上单调递增，g(x)maxg(e)e23e1.,(2)求g(x)在区间1，e上的最小值h(a),解析：(2)g(x)的定义域为(0，)，g(x)a x 2x(a2)2 x 2 a+2 x+a x 2xa x1 x.当 a 2 1，即a2时，g(x)在1，e上单调递增，h(a)g(1)a1；当1 a 2 e，即2a2e时，g(x)在 1，a 2 上单调递减，在 a 2，e 上单调递增，h(a)g a 2 a ln a 2 1 4 a2a；当 a 2 e，即a2e时，g(x)在1，e上单调递减，h(a)g(e)(1e)ae22e.综上，h(a)a1，a2，a ln a 2 1 4 a 2 a，2a2e，1e a+e 2 2e，a2e.,反思感悟求函数f(x)在a，b上的最值的方法(1)若函数在区间a，b上单调递增或单调递减，则f(a)与f(b)一个为最大值，一个为最小值(2)若函数在区间a，b上有极值，则要先求出函数在a，b上的极值，再与f(a)，f(b)比较，最大的是最大值，最小的是最小值，可列表完成(3)若函数f(x)在区间(a，b)上有唯一一个极值点，则这个极值点就是最大(或最小)值点，此结论在导数的实际应用中经常用到,【对点训练】2022四川省江油中学高三测试已知函数f(x)1 3 x3ax2bx(a，bR)在x3处取得极大值为9.(1)求a，b的值；(2)求函数f(x)在区间4，4上的最大值与最小值,解析：(1)由题意得：f(x)x22axb，f 3=96a+b=0 f 3=9+9a3b=9，解得：a=1 b=3.当 a=1 b=3 时，f(x)1 3 x3x23x，f(x)x22x3(x3)(x1)，当x(，3)和(1，)时，f(x)0；当x(3，1)时，f(x)0，f(x)在(，3)，(1，)上单调递增，在(3，1)上单调递减，f(x)的极大值为f(3)9，满足题意(2)由(1)得：f(x)的极大值为f(3)9，极小值为f(1)1 3 13 5 3，又f(4)20 3，f(4)76 3，f(x)在区间4，4上的最大值为 76 3，最小值为 5 3.,考点三生活中的优化问题应用性例52022山东烟台调研中国高铁的快速发展给群众出行带来巨大便利，极大促进了区域经济社会发展已知某条高铁线路通车后，发车时间间隔t(单位：分钟)满足5t25，tN*，经测算，高铁的载客量与发车时间间隔t相关：当20t25时，高铁为满载状态，载客量为1 000人；当5t20时，载客量会在满载基础上减少，减少的人数与(20t)2成正比，且发车时间间隔为5分钟时的载客量为100人记发车间隔为t分钟时，高铁载客量为P(t)(1)求P(t)的解析式；,解析：(1)当5t20时，不妨设P(t)1 000k(20t)2，因为P(5)100，所以解得k4.因此P(t)1 0004 20t 2，5t20，t，1 000，20t25，t.,(2)若该线路发车时间间隔为t分钟时的净收益Q(t)t 4 P(t)40t2650t2 000(元)，当发车时间间隔为多少时，单位时间的净收益 Q t t 最大？,解析：(2)当5t0，F(t)单调递增；当10t20时，F(t)0，F(t)单调递减所以F(t)maxF(10)200.当20t25时，Q(t)40t2900t2 000.因此F(t)Q t t 90040 t+50 t，20t25.因为F(t)40 t 2 50 t 2 0，此时F(t)单调递减，所以F(t)maxF(20)0.综上，发车时间间隔为10分钟时，单位时间的净收益 Q t t 最大,反思感悟利用导数解决生活中的实际应用问题的一般步骤,注意在利用导数解决实际问题时，若在定义域内只有一个极值，则这个值即为最优解.,【对点训练】如图，将一张16 cm10 cm的长方形纸片剪下四个全等的小正方形，使得剩余部分经过折叠能糊成一个无盖的长方体纸盒，则这个纸盒的最大容积是_cm3.,144,解析：设剪下的四个小正方形的边长为x cm，则经过折叠以后，糊成的长方体纸盒是一个底面是长为(162x)cm，宽为(102x)cm的长方形，其面积为(162x)(102x)cm2，长方体纸盒的高为x cm，则体积V(162x)(102x)x4x352x2160 x(0 x5)，所以V12(x2)x 20 3，由V0，得0 x2，则函数V4x352x2160 x(0 x5)在(0，2)上单调递增，由V0，得2x5，则函数V4x352x2160 x(0 x5)在(2，5)上单调递减，所以当x2时，Vmax144(cm3),