ozgky2.4(1).pptx

第四节二次函数与幂函数,必备知识基础落实,关键能力考点突破,微专题,最新考纲1了解幂函数的概念2结合函数yx，yx2，yx3，y 1 x，y x 1 2 的图象，了解它们的变化情况3理解二次函数的图象和性质4能用二次函数、方程、不等式之间的关系解决简单问题,考向预测考情分析：幂函数一般不单独命题，常与指数、对数函数交汇命题；二次函数的图象与应用仍是高考考查的热点，题型多以选择题、填空题为主，属中档题学科素养：通过二次函数与幂函数的图象及性质考查直观想象、数学运算的核心素养,必备知识基础落实,积 累 必备知识基础落实赢得良好开端一、必记2个知识点1幂函数(1)幂函数的定义一般地，函数_叫做幂函数，其中x是自变量，是常数(2)幂函数的性质幂函数在(0，)上都有定义；当0时，幂函数的图象都过点(1，1)和(0，0)，且在(0，)上单调递增；当0时，幂函数的图象都过点(1，1)，且在(0，)上单调递减,yx,2二次函数(1)二次函数解析式的三种形式一般式：f(x)_顶点式：f(x)a(xm)2n(a0)，顶点坐标为_零点式：f(x)a(xx1)(xx2)(a0)，x1，x2为f(x)的零点,ax2bxc(a0),(m，n),(2)二次函数的图象和性质,R,，,减,增,增,减,二、必明3个常用结论1二次函数的单调性、最值与抛物线的开口方向和对称轴及给定区间的范围有关2若f(x)ax2bxc(a0)，则当 a0，0；当 a0，0 时，恒有f(x)0.3(1)幂函数的图象一定会出现在第一象限内，一定不会出现在第四象限；(2)幂函数的图象过定点(1，1)，如果幂函数的图象与坐标轴相交，则交点一定是原点,三、必练4类基础题(一)判断正误1判断下列说法是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)函数y2 x 1 3 是幂函数()(2)当n0时，幂函数yxn在(0，)上是增函数()(3)二次函数yax2bxc(xR)不可能是偶函数()(4)如果幂函数的图象与坐标轴相交，则交点一定是原点()(5)二次函数yax2bxc，xa，b的最值一定是 4ac b 2 4a.(),(二)教材改编2必修1P79习题T1改编已知幂函数f(x)kx的图象过点(1 2，2 2)，则k()A 1 2 B1C 3 2 D2,答案：C,解析：因为f(x)kx是幂函数，所以k1；又f(x)的图象过点 1 2，2 2，所以(1 2)2 2，所以 1 2，所以k1 1 2 3 2.,3必修1P44习题A组T9改编已知函数f(x)x22ax3，若yf(x)在区间4，6上是单调函数，则实数a的取值范围为_,(，6，+,解析：由于函数f(x)的图象开口向上，对称轴是xa，所以要使f(x)在4，6上是单调函数，应有a4或a6，即a6或a4.,(三)易错易混4(忽视二次项系数的讨论)已知函数f(x)ax2ax5的图象在x轴上方，则a的取值范围是()A(0，20)B0，20)C0，20 D20，),答案：B,解析：a0时，f(x)50成立，a0，=a 2 20a0，解得0a20.综上0a20.,5(忽视函数的定义域)若 a+1 1 2 32a 1 2，则实数a的取值范围是_,，,解析：由0a132a，得1a 2 3.,62020江苏卷已知yf(x)是奇函数，当x0时，f(x)x 2 3，则f(8)的值是_,4,解析：yf(x)是奇函数，当x0时，f(x)x 2 3，则f(8)f(8)8 2 3 4.,关键能力考点突破,考点一幂函数的图象和性质基础性1若幂函数yf(x)的图象过点(4，2)，则幂函数yf(x)的大致图象是(),答案：C,解析：设幂函数的解析式为yx，因为幂函数yf(x)的图象过点(4，2)，所以24，解得 1 2.所以y x，其定义域为0，)，且是增函数，当0 x1时，其图象在直线yx的上方，对照选项，C正确,22022巴蜀中学调研已知点(m，8)在幂函数f(x)(m1)xn的图象上，设af(1 3)，bf(ln)，cf(2 1 2)，则a，b，c的大小关系是()Aacb BabcCbca Dbac,解析：由于f(x)(m1)xn为幂函数，所以m11，则m2，f(x)xn.又点(2，8)在函数f(x)xn的图象上，所以82n，知n3，故f(x)x3，且在R上是增函数，又 ln 1 2 1 2 2 2 1 3，所以f ln f(2 1 2)f 1 3，则bca.,答案：A,32022长沙质检幂函数f(x)(m23m3)xm的图象关于y轴对称，则实数m_,2,解析：由幂函数定义，知m23m31，解得m1或m2，当m1时，f(x)x的图象不关于y轴对称，舍去，当m2时，f(x)x2的图象关于y轴对称，因此m2.,反思感悟幂函数的指数与图象特征的关系(1)幂函数的形式是yx(R)，其中只有一个参数，因此只需一个条件即可确定其解析式(2)若幂函数yx(R)是偶函数，则必为偶数，当是分数时，一般将其先化为根式再判断(3)若幂函数yx在(0，)上单调递增，则0，若在(0，)上单调递减，则0.提醒在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较,考点二二次函数的解析式综合性例1已知二次函数f(x)满足f(2)1，f(1)1，且f(x)的最大值是8，试确定该二次函数的解析式,解析：方法一(利用“一般式”)设f(x)ax2bxc(a0)由题意得 4a+2b+c=1，ab+c=1，4ac b 2 4a=8，解得 a=4，b=4，c=7.所求二次函数的解析式为f(x)4x24x7.,方法二(利用“顶点式”)设f(x)a(xm)2n(a0)因为f(2)f(1)，所以抛物线的对称轴为x 2+1 2 1 2，所以m 1 2.又根据题意，函数有最大值8，所以n8，所以yf(x)a x 1 2 2 8.因为f(2)1，所以a 2 1 2 2 81，解得a4，所以f(x)4 x 1 2 2 84x24x7.,方法三(利用“零点式”)由已知f(x)10的两根为x12，x21，故可设f(x)1a(x2)(x1)(a0)，即f(x)ax2ax2a1.又函数有最大值8，即 4a 2a1 a 2 4a 8.解得a4或a0(舍)故所求函数的解析式为f(x)4x24x7.,反思感悟求二次函数解析式的方法根据已知条件确定二次函数解析式，一般用待定系数法，规律如下：,【对点训练】1若二次函数的图象过点(4，3)，且当x3时，二次函数取得最大值1，则该函数的解析式为_,y2x212x19,解析：设函数的解析式为ya(x3)21，把(4，3)代入得3a1，解得a2，故所求二次函数的解析式为y2x212x19.,2若二次函数的图象与x轴的交点坐标分别为(1，0)，(3，0)，且过点(0，3)，则该二次函数的解析式是_,yx24x3,解析：设二次函数的解析式为ya(x1)(x3)，代入(0，3)，解得a1，即所求二次函数图象的解析式为yx24x3.,考点三二次函数的图象和性质综合性角度1二次函数的图象例2(1)如图是二次函数yax2bxc图象的一部分，图象过点A(3，0)，对称轴为直线x1.给出下面四个结论：b24ac；2ab1abc0；5ab.其中正确的结论是()A BC D,答案：B,解析：(1)二次函数yax2bxc的图象与x轴交于两点，b24ac0，即b24ac，正确；二次函数的图象的对称轴为直线x1，即 b 2a 1，2ab0，错误；结合图象知，当x1时，y0，即abc0，错误；由对称轴为直线x1知，b2a，又函数的图象开口向下，a0，5a2a，即5ab，正确,(2)设函数f(x)x2xa(a0)，若f(m)0 Df(m1)0,答案：C,解析：(2)因为f(x)的对称轴为x 1 2，f(0)a0，所以f(x)的大致图象如图所示由f(m)0 1 2，所以f(m1)f(0)0.,反思感悟(1)研究二次函数图象应从“三点一线一开口”进行分析，“三点”中有一个点是顶点，另两个点是图象上关于对称轴对称的两个点，常取与x轴的交点；“一线”是指对称轴这条直线；“一开口”是指抛物线的开口方向(2)求解与二次函数有关的不等式问题，可借助二次函数的图象特征，分析不等关系成立的条件,角度2二次函数的单调性与最值例32022沈阳模拟已知f(x)ax22x(0 x1)，求f(x)的最小值,解析：(1)当a0时，f(x)2x在0，1上递减，f(x)minf(1)2.(2)当a0时，f(x)ax22x图象开口方向向上，且对称轴为x 1 a.当 1 a 1，即a1时，f(x)ax22x图象的对称轴在0，1内，f(x)在 0，1 a 上递减，在 1 a，1 上递增f(x)minf 1 a 1 a 2 a 1 a.当 1 a 1，即0a1时，f(x)ax22x图象的对称轴在0，1的右侧，f(x)在0，1上递减f(x)minf(1)a2.,(3)当a0时，f(x)ax22x的图象的开口方向向下，且对称轴x 1 a 0，在y轴的左侧，f(x)ax22x在0，1上递减f(x)minf(1)a2.综上所述，f(x)min a2，a1，1 a，a1.,反思感悟(1)闭区间上二次函数最值问题的解法：抓住“三点一轴”数形结合，三点是指区间两个端点和中点，一轴指的是对称轴，结合图象，根据函数的单调性及分类讨论的思想求解(2)二次函数在闭区间上的最值主要有三种类型：轴定区间定、轴动区间定、轴定区间动无论哪种类型，解题的关键都是图象的对称轴与区间的位置关系，当含有参数时，要依据图象的对称轴与区间的位置关系进行分类讨论,角度3二次函数中的恒成立问题例4设函数f(x)mx2mx1.(1)若对于一切实数x，f(x)0恒成立，求m的取值范围；,解析：(1)要使mx2mx10恒成立，若m0，显然10，满足题意；若m0，得 m0，=m 2+4m0，即4m0.4m0.所求m的取值范围是(4，0.,(2)对于x1，3，f(x)m5恒成立，求m的取值范围,解析：方法一要使f(x)0时，g(x)在1，3上是增函数，g(x)maxg(3)7m60，0m 6 7；当m0时，60恒成立；当m0时，g(x)在1，3上是减函数，g(x)maxg(1)m60，得m6，m0.综上所述，m的取值范围是，6 7.,方法二当x1，3时，f(x)0，又m(x2x1)60，m 6 x 2 x+1.函数y 6 x 2 x+1 6 x 1 2 2+3 4 在1，3上的最小值为 6 7，只需m 6 7 即可综上所述，m的取值范围是，6 7.,反思感悟由不等式恒成立求参数取值范围的思路及关键(1)一般有两个解题思路：一是分离参数；二是不分离参数(2)两种思路都是将问题归结为求函数的最值，至于用哪种方法，关键是看参数是否易分离其中分离参数的依据是：af(x)恒成立af(x)max，af(x)恒成立af(x)min.,【对点训练】12022重庆联考已知二次函数f(x)满足f(3x)f(3x)，若f(x)在区间3，)上单调递减，且f(m)f(0)恒成立，则实数m的取值范围是()A(，0 B0，6C6，)D(，0 6，+,答案：B,解析：设f(x)ax2bxc(a，b，cR，且a0)，f(3x)f(3x)，a(3x)2b(3x)ca(3x)2b(3x)c，x(6ab)0，6ab0，f(x)ax26axca(x3)29ac.又f(x)在区间3，)上单调递减，a0，f(x)的图象是以直线x3为对称轴，开口向下的抛物线，由f(m)f(0)恒成立，得0m6，实数m的取值范围是0，6.,2已知函数f(x)x2x1，在区间1，1上f(x)2xm恒成立，则实数m的取值范围是_,(，1),解析：f(x)2xm等价于x2x12xm，即x23x1m0，令g(x)x23x1m，要使g(x)x23x1m0在1，1上恒成立，只需使函数g(x)x23x1m在1，1上的最小值大于0即可g(x)x23x1m在1，1上单调递减，g(x)ming(1)m1.由m10，得m1.因此满足条件的实数m的取值范围是(，1),3设函数f(x)x22x2，xt，t1，tR，求函数f(x)的最小值,解析：f(x)x22x2(x1)21，xt，t1，tR，函数图象的对称轴为x1.当t11，即t0时，函数图象如图(1)所示，函数f(x)在区间t，t1上为减函数，所以最小值为f(t1)t21；当t1t1，即0t1时，函数图象如图(2)所示，在对称轴x1处取得最小值，最小值为f(1)1；当t1时，函数图象如图(3)所示，函数f(x)在区间t，t1上为增函数，所以最小值为f(t)t22t2.综上可知，当t0时，f(x)mint21，当0t1时，f(x)min1，当t1时，f(x)mint22t2.,微专题三个“二次”间的转化,例若二次函数f(x)ax2bxc(a0)满足f(x1)f(x)2x，且f(0)1.(1)求f(x)的解析式；(2)若在区间1，1上，不等式f(x)2xm恒成立，求实数m的取值范围,解析：(1)由f(0)1，得c1，f(x)ax2bx1.又f(x1)f(x)2x，a(x1)2b(x1)1(ax2bx1)2x，即2axab2x.2a=2，a+b=0.a=1，b=1.因此，所求解析式为f(x)x2x1.(2)f(x)2xm等价于x2x12xm，即x23x1m0，要使此不等式在区间1，1上恒成立，只需使函数g(x)x23x1m在区间1，1上的最小值大于0即可g(x)x23x1m在区间1，1上单调递减，g(x)ming(1)m1，由m10，得m1.因此满足条件的实数m的取值范围是(，1),名师点评二次函数、二次方程与二次不等式统称三个“二次”，它们常结合在一起，而二次函数又是三个“二次”的核心，通过二次函数的图象贯穿为一体，因此，解决此类问题，首先采用转化思想，把方程、不等式问题转化为函数问题，借助函数思想研究方程、不等式(尤其是恒成立)问题是高考命题的热点,变式训练若xm，m1时，满足x2mx10，求实数m的取值范围,解析：设f(x)x2mx1，则 f m 0，f m+1 0，即 m 2+mm10，m+1 2+m m+1 10，化简得 m 2 1 2，2 m 2+3m0，解得 2 2 m 2 2，3 2 m0，所以 2 2 m0.则实数m的取值范围为 2 2，0.,