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第五节空间向量及其运算,教材回扣夯实“四基”,题型突破提高“四能”,教材回扣夯实“四基”,基础知识1.空间向量的有关概念,0,1,相同,相等,相反,相等,平行或重合,平面,【微点拨】空间向量是由平面向量拓展而来的，因此空间向量的概念和性质与平面向量的概念和性质相同或相似在学习空间向量时，与平面向量的相关内容相类比进行学习，将达到事半功倍的效果,2空间向量中的有关定理,【微点拨】(1)利用向量的线性运算和空间向量基本定理表示向量是向量应用的基础(2)利用共线向量定理、共面向量定理可以证明一些平行、共面问题,3空间向量的数量积(1)两向量的夹角已知两个非零向量a，b，在空间任取一点O，作 OA a，OB b，则_叫做向量a，b的夹角，记作a，b范围：0a，b.(2)两个非零向量a，b的数量积：ab_,AOB,|a|b|cos a，b,【微点拨】向量的数量积满足交换律、分配律，但不满足结合律，即abba，a(bc)abac成立，(ab)ca(bc)不一定成立,4空间向量的坐标表示设a(a1，a2，a3)，b(b1，b2，b3),a1b1a2b2a3b3,a1b1，a2b2，a3b3,a1b1a2b2a3b30,常用结论(1)证明空间任意三点共线的方法对空间三点P，A，B可通过证明下列结论成立来证明三点共线：PA PB(R)；对空间任一点O，OP OA t AB(tR)；对空间任一点O，OP x OA y OB(xy1)(2)证明空间四点共面的方法对空间四点P，M，A，B，除空间向量基本定理外，也可通过证明下列结论成立来证明共面：MP x MA y MB；对空间任一点O，OP OM x MA y MB；PM AB(或 PA MB 或 PB AM),基本技能、思想、活动经验题组一思考辨析(正确的打“”，错误的打“”)1.空间中模相等的两个向量方向相同或相反()2空间中任意两非零向量a，b共面()3对于空间非零向量a，b，若ab0，则a与b的夹角为钝角()4对于非零向量b，由abbc，得ac.(),题组二教材改编5(多选)若a，b，c构成空间的一个基底，则下列向量共面的是()Abc，b，bcBa，ab，abCab，ab，c Dab，abc，c,答案：ABD,解析：由平面向量基本定理得，对于A选项，b 1 2(bc)1 2(bc)，A共面；对于B选项，a 1 2(ab)1 2(ab)，B共面；对于C选项，ab，ab，c不共面；对于D选项，abc(ab)c，D共面,6已知点B是点A(3，4，5)在坐标平面Oxy内的射影，则|OB|_,5,解析：由题意知B点坐标为(3，4，0)，则|OB|3 2+4 2 5.,题组三易错自纠7在空间直角坐标系中，已知A(1，2，3)，B(2，1，6)，C(3，2，1)，D(4，3，0)，则直线AB与CD的位置关系是()A垂直 B平行C异面 D相交但不垂直,答案：B,解析：由题意得，AB(3，3，3)，CD(1，1，1)，所以 AB 3 CD，所以 AB 与 CD 共线，又AB与CD没有公共点，所以ABCD.故选B.,8若a(1，2)，b(2，1，1)，a与b的夹角为120，则的值为_,17或1,解析：因为a(1，2)，b(2，1，1)，a与b的夹角为120，所以cos 120 22 1+2+4 4+1+1，即 1 2 4 2+5 6，整理得216170，解得1或17.,题型突破提高“四能”,题型一空间向量的线性运算例1(1)已知三棱锥O-ABC，点M，N分别为AB，OC的中点，且 OA a，OB b，OC c，用a，b，c表示 MN，则 MN 等于()A 1 2(bca)B 1 2(abc)C 1 2(abc)D 1 2(cab),答案：(1)D,解析：(1)MN MA+AO+ON 1 2 BA OA+1 2 OC 1 2(OA OB)OA+1 2 OC 1 2 OA 1 2 OB+1 2 OC 1 2(cab)故选D.,(2)如图，已知空间四边形OABC，其对角线为OB，AC，M，N分别为OA，BC的中点，点G在线段MN上，且 MG 2 GN.若 OG x OA y OB z OC，则xyz_,5 6,解析：(2)连接ON，设 OA a，OB b，OC c，则 MN ON OM 1 2(OB+OC)1 2 OA 1 2 b 1 2 c 1 2 a，OG OM+MG 1 2 OA+2 3 MN 1 2 a 2 3 1 2+1 2 1 2 1 6 a 1 3 b 1 3 c.又 OG x OA y OB z OC，所以x 1 6，y 1 3，z 1 3，因此xyz 1 6+1 3+1 3 5 6.,类题通法,巩固训练1如图所示，在平行六面体ABCD A1B1C1D1中，M为A1C1与B1D1的交点若 AB a，AD，AA 1 c，则下列向量中与 BM 相等的是()A 1 2 a 1 2 bc B 1 2 a 1 2 bcC 1 2 a 1 2 bc D 1 2 a 1 2 bc,答案：A,解析：BM B 1 B 1 A 1 1 2(AD AB)c 1 2(ba)1 2 a 1 2 bc.故选A.,题型二共线、共面向量定理的应用例2(1)已知向量a(2m1，3，m1)，b(2，m，m)，且ab，则实数m的值等于()A 3 2 B2C0 D 3 2 或2,答案：(1)B,解析：(1)当m0时，a(1，3，1)，b(2，0，0)，a与b不平行，所以m0.当m0时，因为ab，所以 2m+1 2 3 m m1 m，解得m2.故选B.,(2)如图所示，已知斜三棱柱ABC-A1B1C1，点M，N分别在AC1和BC上，且满足 AM k A 1，BN k BC(0k1)判断向量 MN 是否与向量 AB，A 1 共面？,解析：(2)AM k A 1，BN k BC，MN MA+AB+BN k C 1 AB k BC k(C 1 BC)AB k(C 1+B 1 1)AB k B 1 AB AB k A 1 AB k(A 1 AB)1k AB k A 1，由共面向量定理知向量 MN 与向量 AB，A 1 共面,类题通法向量共线的判定与向量法证明四点共面的关键,巩固训练2(1)已知a(2，1，3)，b(1，4，2)，c(7，5，)若向量a，b，c共面，则实数等于()A 62 7 B 63 7 C 64 7 D 65 7,答案：(1)D,解析：(1)因为向量a，b，c共面，所以，由共面的向量基本定理，存在唯一实数x，y，使得xaybc，所以 2xy=7，x+4y=5，3x2y=，解方程组得 65 7.故选D.,(2)若A(1，2，3)，B(2，1，4)，C(m，n，1)三点共线，则mn_,3,解析：(2)AB(3，1，1)，AC(m1，n2，2)，且A，B，C三点共线，存在实数，使得 AC AB.即(m1，n2，2)(3，1，1)(3，)，m+1=3，n2=，2=，解得=2，m=7，n=4.mn3.,题型三空间向量的数量积及其应用角度1 求空间向量的数量积 例3(多选)如图，已知空间四边形每条边和对角线长都等于a，点E，F，G分别是AB，AD，DC的中点，则下列向量的数量积等于a2的是()A2 BA AC B2 AD DB C2 FG AC D2 EF CB,答案：AB,解析：对于A，2 BA AC 2aa cos 120a2，对于B，2 AD DB a2，对于C，2 FG AC AC AC a2，对于D，2 EF CB BD CB aacos 120 1 2 a2.故选AB.,类题通法空间向量的数量积运算的两条途径,巩固训练3已知O点为空间直角坐标系的原点，向量 OA(1，2，3)，OB(2，1，2)，OP(1，1，2)，且点Q在直线OP上运动，当 QA QB 取得最小值时，OQ 的坐标是_,4 3，4 3，8 3,解析：因为点Q在直线OP上，所以设点Q(，2)，则 QA(1，2，32)，QB(2，1，22)，QA QB(1)(2)(2)(1)(32)(22)6216106 4 3 2 2 3.当 4 3 时，QA QB 取得最小值 2 3.此时 OQ 4 3，4 3，8 3.,角度2 利用数量积求长度与夹角 例4(1)如图，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，ABAD1，AA1 2，BAA1DAA145，BAD60，则|A 1|()A1 B 3 C9 D3,答案：(1)D,解析：(1)在平行六面体ABCD A1B1C1D1中，有 AC AB+AD，A 1 AC+A 1 AB+AD+A 1，由题知，ABAD1，AA1 2，BAA1DAA145，BAD60，所以|AB|AD|1，|A 1|2，AB 与 AD 的夹角为BAD60，AB 与 A 1 的夹角为BAA145，AD 与 A 1 的夹角为A1AD45，所以 AC 2(AB+AD+A 1)2 AB 2+AD 2+A 1 2+2 AB AD+2 AB A 1+2 AD A 1 112211cos 6021 2 cos 4521 2 cos 459.所以|A 1|3.故选D.,(2)已知空间向量a(1，1)，b(，1，1)的夹角为钝角，则实数的取值范围是_,2 2 2，2+2 2,解析：(2)a与b的夹角为钝角，ab0，且a与b不反向共线由ab(1)(1)20，化为22410，解得 2 2 2 2+2 2，若a与b反向共线，则存在负实数k，使得akb，得到 1=k，=k 1，1=k 1，此方程组无解，故实数的取值范围是 2 2 2，2+2 2.,类题通法利用数量积求长度与夹角的一般方法,巩固训练4(1)2022浙江镇海中学模拟已知空间三点A(2，0，8)，P(m，m，m)，B(4，4，6)，若向量 PA 与 PB 的夹角为60，则实数m()A1 B2C1 D2,答案：(1)B,解析：(1)A(2，0，8)，P(m，m，m)，B(4，4，6)，PA(2m，m，8m)，PB(4m，4m，6m)，由题意有cos 60 PA PB PA PB 3 m 2 12m+40 3 m 2 12m+68 3 m 2 12m+68，即 3 m 2 12m+68 2 3m212m40，整理得m24m40，解得m2.故选B.,(2)如图，在大小为45的二面角A-EF-D中，四边形ABFE，CDEF都是边长为1的正方形，则B，D两点间的距离是_,3 2,解析：(2)BD ED+FE+BF.|BD|2|BF|2|FE|2|ED|22 BF FE 2 FE ED 2 BF ED 111 2，故|BD|3 2.,角度3 解决垂直问题例5已知向量a(1，1，0)，b(1，0，2)，且kab与2ab互相垂直，则k的值是()A1B 1 5 C 3 5 D 7 5,答案：D,解析：依题意得：(kab)(2ab)0，即2k|a|2kab2ab|b|20，而|a|22，|b|25，ab1，4kk250，解得k 7 5.故选D.,类题通法将垂直问题转化为向量数量积的计算问题,巩固训练52022河北曹妃甸一中模拟空间向量a(2，3，2)，b(2，m，1)，如果ab，则|b|_,3,解析：向量a(2，3，2)，b(2，m，1)，且ab，ab0，223m20，解得m2，b(2，2，1)，|b|2 2+2 2+1 2 3.,