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第五节直线、平面垂直的判定与性质,必备知识基础落实,关键能力考点突破,微专题,最新考纲1以立体几何的定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线、面垂直的有关性质与判定定理2能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间图形的垂直关系的简单命题,考向预测考情分析：直线与平面以及平面与平面垂直的判定和性质是高考的热点，常出现在解答题的第(1)问，难度中等学科素养：通过直线、平面定理的判定及性质的应用考查直观想象、逻辑推理的核心素养,必备知识基础落实,一、必记2个知识点1直线与平面垂直(1)直线和平面垂直的定义直线l与平面内的_直线都垂直，就说直线l与平面互相垂直提醒“任意一条直线”与“所有直线”是同义的，但与“无数条直线”不同，定义的实质是直线与平面内的所有直线都垂直,任意一条,(2)直线与平面垂直的判定定理及性质定理,两条相交直线,a，b,aO,la,lb,平行,a,b,2.平面与平面垂直的判定定理与性质定理,垂线,l,l,交线,l,a,la,二、必明2个常用结论1与线面垂直相关的两个常用结论(1)两平行线中的一条与平面垂直，则另一条也与这个平面垂直(2)一条直线垂直于两平行平面中的一个，则与另一个平面也垂直2三种垂直关系的转化线线垂直判定定理,性质定理线面垂直判定定理,性质定理面面垂直,三、必练4类基础题(一)判断正误1判断下列说法是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)l与平面内的两条直线垂直，则直线l平面.()(2)直线l不可能和两个相交平面都垂直()(3)当时，直线l过内一点且与交线垂直，则l.()(4)若两个平面垂直，则其中一个平面内的任意一条直线垂直于另一个平面(),(二)教材改编2必修2P72探究改编已知互相垂直的平面，交于直线l.若直线m，n满足m，n，则()A.ml Bmn Cnl Dmn,答案：C,解析：由题意知，l，所以l，因为n，所以nl.,3必修2P69探究改编在ABC中，ABC90，PA平面ABC，则图中直角三角形的个数是_,4,解析：因为ABC90，故ABC是直角三角形；因为PA平面ABC，所以PAAC，PAAB，PABC，又BCAB，PAABA，PA，AB平面PAB，所以BC平面PAB，所以BCPB，故PAC，PAB，PBC都是直角三角形所以图中共有4个直角三角形,(三)易错易混4(忽视线面垂直的条件)“直线a与平面内的无数条直线都垂直”是“直线a与平面垂直”的()条件A.既不充分也不必要 B充分不必要C.必要不充分 D充要,答案：C,解析：直线a与平面内的无数条直线都垂直，若这些直线不相交，则不能推出直线a与平面垂直；反之，若直线a与平面垂直，则直线a与平面内的无数条直线都垂直,5(混淆三角形“四心”的概念)在三棱锥PABC中，点P在平面ABC中的射影为点O.(1)若PAPBPC，则点O是ABC的_心；(2)若PAPB，PBPC，PCPA，则点O是ABC的_心,外,垂,解析：(1)如图，连接OA，OB，OC，OP，在RtPOA、RtPOB和RtPOC中，PAPCPB，所以OAOBOC，即O为ABC的外心(2)如图，PCPA，PBPC，PAPBP.PC平面PAB，AB平面PAB.PCAB，又ABPO，POPCP.AB平面PGC.又CG平面PGC，ABCG.即CG为ABC边AB的高同理可证，BD、AH分别为ABC边AC，BC上的高，即O为ABC的垂心,(四)走进高考62021浙江卷如图，已知正方体ABCDA1B1C1D1，M，N分别是A1D，D1B的中点，则()A.直线A1D与直线D1B垂直，直线MN平面ABCDB.直线A1D与直线D1B平行，直线MN平面BDD1B1C.直线A1D与直线D1B相交，直线MN平面ABCDD.直线A1D与直线D1B异面，直线MN平面BDD1B1,答案：A,解析：连接AD1，在正方形ADD1A1中，由M为A1D的中点，可知AD1 A 1 DM，且M为AD1的中点，AD1A1D.又N为D1B的中点，MNAB.AB平面ABCD，MN平面ABCD，MN平面ABCD.AB平面ADD1A1，A1D平面ADD1A1，ABA1D，AB AD 1 A，A1D平面ABD1，A1DD1B.故A正确,关键能力考点突破,考点一直线与平面垂直的判定与性质综合性 例1(1)2022四川成都市川大附中高三模拟如图，点C是以AB为直径的圆上的动点(异于A，B)，已知BE平面ABC，四边形BEDC为平行四边形，求证：BC平面ACD.,证明：(1)因为四边形BEDC为平行四边形，所以CDBE.因为EB平面ABC，所以CD平面ABC，所以CDBC.因为ACB是以AB为直径的圆上的圆周角，所以BCAC，因为ACDCC，AC，DC平面ACD，所以BC平面ACD.,(2)如图，在直四棱柱ABCDA1B1C1D1中，M，E分别为AB，CC1的中点，底面ABCD是菱形，且BAD60，证明：DMDE.,证明：(2)连接CM，BD.四边形ABCD是菱形，BAD60，ABADBD.又M是AB的中点，DMAB.又ABCD，DMCD.ABCDA1B1C1D1是直四棱柱，DD1平面ABCD.又DM平面ABCD，DMDD1.又DD1CDD，DM平面CDD1C1.又DE平面CDD1C1，DMDE.,反思感悟1判定线面垂直的四种方法,2证明线面垂直的流程证明线面垂直的关键是证明线线垂直，而证明线线垂直则需借助线面垂直的性质因此，判定定理与性质定理的合理转化是证明线面垂直的基本思想思想流程如下：,【对点训练】1.2022宁波中学高三模拟如图，在四棱锥CABNM中，底面ABNM是菱形，MBNC，证明：MBAC.,证明：连接AN，由于四边形ABNM是菱形，所以MBAN，由于MBNC，NCANN，所以MB平面ANC，又AC平面ANC，所以MBAC.,2.(一题多解)如图，多面体ABCDEF中，底面ABCD为正方形，EAFC，且EAFCAB4，EBD、FBD都是正三角形，证明：CF平面ABCD.,证明：证法一CFBC4，BFBD4 2，FBD都是正三角形，BC2CF2BF2，CF2CD2DF2，BCCF，CFCD，BCCDC，BC、CD平面ABCD，CF平面ABCD.证法二连接AC，交BD于O，则四边形ACFE为平行四边形，OAOC，OEOF，AECF，AEOCFO，EAOFCO，EAFC，EAOFCO90，FCOC，BDAC，FDFB，BDFO，ACFOO，AC、FO平面ACFE，BD平面ACFE，CF平面ACFE，CFBD，OCBDO，OC、BD平面ABCD，CF平面ABCD.,考点二平面与平面垂直的判定与性质综合性例2在四棱锥QABCD中，底面ABCD是正方形，若AD2，QDQA 5，QC3，证明：平面QAD平面ABCD.,证明：取AD的中点为O，连接QO，CO.因为QAQD，OAOD，则QOAD，而AD2，QA 5，所以QO 51 2.在正方形ABCD中，因为AD2，所以DO1，故CO 5，因为QC3，所以QC2QO2OC2，所以QOC为直角三角形且QOOC，因为OCADO，所以QO平面ABCD，因为QO平面QAD，所以平面QAD平面ABCD.,反思感悟面面垂直的证明方法(1)定义法：利用面面垂直的定义，即判定两平面所成的二面角为直二面角，将证明面面垂直问题转化为证明平面角为直角的问题(2)定理法：利用面面垂直的判定定理，即证明其中一个平面经过另一个平面的一条垂线，把问题转化成证明线线垂直加以解决提醒两平面垂直，在一个平面内垂直于交线的直线必垂直于另一个平面这是把面面垂直转化为线面垂直的依据运用时要注意“平面内的直线”,【对点训练】2022山西高三模拟如图，正三棱柱ABC-A1B1C1中，AB4，AA13 2，M，N分别是棱A1C1，AC的中点，E在侧棱AA1上，且A1E2EA，求证：平面MEB平面BEN.,证明：在正三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1平面ABC，BN平面ABC，AA1BN.N是棱AC的中点，ABC为正三角形，BNAC.AA1ACA，BN平面AA1C1C.ME平面AA1C1C，BNME.又AB4，AA13 2，A1E2EA，EA 2，A1E2 2，A 1 E A 1 M AN AE 2，A1EMANE，A1EMANE，A1EMAENANEAEN90，MEN90，ENME.又EMBNN，ME平面BEN，ME平面MEB，平面MEB平面BEN.,考点三空间垂直关系中的探索性问题创新性例3九章算术是我国古代数学名著，它在几何学中的研究比西方早1 000多年，在九章算术中，将底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱称为堑堵(qiandu)；阳马指底面为矩形，一侧棱垂直于底面的四棱锥，鳖臑(bienao)指四个面均为直角三角形的四面体如图，三棱柱ABC-A1B1C1，BC1平面A1C1CA，四棱锥B-A1C1CA为阳马，且E，F分别是BC，A1B1的中点(1)求证：EF平面A1C1CA；,解析：(1)取A1C1中点G，连接FG，GC，在A1B1C1中，因为F，G分别是A1B1，A1C1中点，所以FGB1C1，且FG 1 2 B1C1，在平行四边形BCC1B中，因为E是BC的中点，所以ECB1C1，且EC 1 2 B1C1，所以ECFG，且ECFG，所以四边形FECG是平行四边形，所以FEGC，又因为EF平面A1C1CA，GC平面A1C1CA，所以EF平面A1C1CA.,(2)在线段AB上是否存在点P，使得BC1平面EFP？若存在，求出 AP AB 的值；若不存在，请说明理由,解析：(2)在线段AB上存在点P，使得BC1平面EFP，取AB的中点P，连接PE，PF，因为BC1平面ACC1A1，AC平面ACC1A1，CG平面ACC1A1，所以BC1AC，BC1CG，在ABC中，因为P，E分别是AB，BC中点，所以PEAC，又由(1)知FECG，所以BC1PE，BC1EF，由PEEFE得BC1平面EFP，故当点P是线段AB的中点时，BC1平面EFP.此时，AP AB 1 2.,反思感悟1求条件探索性问题的主要途径：(1)先猜后证，即先观察与尝试给出条件再证明；(2)先通过命题成立的必要条件探索出命题成立的条件，再证明充分性2涉及点的位置探索性问题，一般是先根据条件猜测点的位置再给出证明，探索点存在问题，点多为中点或三等分点中某一个，也可以根据相似知识建点,【对点训练】2021北京卷如图，在四棱锥P-ABCD中，PA平面ABCD，PA 3，ABCD，ABAD，ADDC1，AB2，E为侧棱PA上一点(1)若PE 1 3 PA，求证：PC平面EBD；,解析：(1)设ACBDG，连接EG，由已知ABCD，DC1，AB2，得 AG GC AB DC 2.由PE 1 3 PA，得 AE EP 2.在PAC中，由 AE EP AG GC，得EGPC.因为EG平面EBD，PC平面EBD，所以PC平面EBD.,(2)求证：平面EBC平面PAC；(3)在侧棱PD上是否存在点F，使得AF平面PCD?若存在，求出线段PF的长；若不存在，请说明理由,(2)因为PA平面ABCD，BC平面ABCD，所以BCPA.在直角梯形ABCD中，因ADDC1，ADDC，故AC 2，BC 2，又AB2，所以AC2BC2AB2.所以BCAC.又PAACA，所以BC平面PAC.因为BC平面EBC，所以平面EBC平面PAC.(3)在平面PAD内作AFPD于点F，则F即为所求的点，由DCPA，DCAD，PAADA，得DC平面PAD.因为AF平面PAD，所以CDAF.又PDCDD，所以AF平面PCD.由PA 3，AD1，PAAD，得PF 3 2.,微专题30 构造几何模型解决空间问题,判断空间线、面的位置关系，常利用正(长)方体及其他几何体模型来判断，把平面、直线看作正(长)方体内及其他几何体平面、侧棱、对角线等进行推导验证，使抽象的推理形象化、具体化,例已知m，n是两条不同的直线，为两个不同的平面，有下列四个命题：若m，n，mn，则；若m，n，mn，则；若m，n，mn，则；若m，n，则mn.其中所有正确的命题是()A BC D,答案：A,解析：对于，可以得到平面，互相垂直，如图(1)所示，故正确；对于，平面，可能垂直，如图(2)所示，故不正确；对于，平面，可能垂直，如图(3)所示，故不正确；对于，由m，可得m，因为n，所以过n作平面，且g，如图(4)所示，所以n与交线g平行，因为mg，所以mn，故正确故选A.,名师点评(1)构造法实质上是结合题意构造适合题意的直观模型，然后将问题利用模型直观地作出判断，这样减少了抽象性，避免了因考虑不全面而导致的解题错误(2)由于长方体或正方体中包含了线线平行、线面平行、线线垂直、线面垂直及面面垂直等各种位置关系故构造长方体或正方体来判断空间直线、平面间的位置关系，显得直观、易判断构造时注意其灵活性，想象各种情况反复验证,变式训练2022贵阳市四校联考如图所示，在三棱锥PABC中，AP平面ABC，ACB90，ACBC1，AP 3，则该三棱锥外接球的体积为_,解析：如图所示，根据题意可将三棱锥补形为一个长、宽、高分别为1，1，3 的长方体，则三棱锥的外接球与长方体的外接球相同设外接球半径为R，则(2R)21212(3)25，所以该三棱锥外接球的体积V 4 3 R3 5 5 6.,