np23k5.3.2.pptx

53.2正切函数的图象与性质,新知初探 课前预习,题型探究 课堂解透,新知初探 课前预习,教材要点要点函数ytan x的图象和性质,x|xk+2，k,R,奇函数,k 2，k+2(kZ),k(kZ，k0),状元随笔如何作正切函数的图象(1)几何法就是利用单位圆中的正切线来做出正切函数的图象，该方法作图较为精确，但画图时较烦琐(2)“三点两线”法“三点”是指 4，1，(0，0)，4，1；“两线”是指x 2 和x 2.在“三点”确定的情况下，类似于“五点法”作图，可大致画出正切函数在 2，2 上的简图，然后向右、向左扩展即可得到正切曲线,基础自测1.思考辨析(正确的画“”，错误的画“”)(1)正切函数在整个定义域内是增函数()(2)存在某个区间，使正切函数为减函数()(3)正切函数图象相邻两个对称中心的距离为周期.()(4)函数ytan x为奇函数，故对任意xR都有tan(x)tan x(),2函数ytan x+4 的定义域是()Ax|x 4 Bx|x 4 Cx|xk 4，k Dx|xk+4，k,答案：D,解析：由x 4 k 2，kZ，得xk 4，kZ.故选D.,3已知函数f(x)tan 2x+3，则函数f(x)的最小正周期为()A 4 B 2 C D2,答案：B,解析：解法一函数ytan(x)的周期T，可得T 2 2.解法二由诱导公式可得tan 2x+3 tan 2x+3+tan 2 x+2+3，所以f x+2 f(x)，所以周期为T 2.故选B.,4比较大小：tan 135_tan 138.(填“”或“”),解析：因为90135138270，又函数ytan x在区间(90，270)上是增函数，所以tan 135tan 138.,题型探究 课堂解透,题型1正切函数的定义域、周期性、奇偶性例1(1)函数f(x)tan 1 2 x+3 的最小正周期为()A 4 B 2 C D2(2)函数f(x)xtan x的奇偶性为()A奇函数 B偶函数C非奇非偶函数 D既是奇函数又是偶函数(3)函数y tan x 1 tan x+6 的定义域为_,D,B,4+k，3+k 3+k，2+k(kZ),解析：(1)由T，得T 1 2 2.故选D.(2)因为函数f(x)xtan x的定义域为x|xk+2，k，关于原点对称，且f(x)(x)tan(x)(x)(tan x)xtan xf(x)，所以函数f(x)xtan x是偶函数故选B.(3)由题意知 tan 10,tan(+6)0,+6+2,解得 4+kx 2+k k，x 6+k k，x 3+k k 所以函数的定义域为 4+k，3+k 3+k，2+k(kZ),方法归纳(1)求与正切函数有关的函数的定义域时，除了求函数定义域的一般要求外，还要保证正切函数ytan x有意义，即x 2 k，kZ.而对于构建的三角不等式，常利用正切函数的图象求解(2)一般地，函数yA tan(x)的最小正周期为T，常利用此公式来求与正切函数有关的周期(3)函数ytan x是奇函数，其图象关于原点对称若函数ytan(x)是奇函数，则 k 2(kZ),跟踪训练1(1)函数y 1 tan x 的定义域为()Ax|x0 Bx|xk，kZCx|xk+2，k Dx|x 2，k(2)(多选)关于函数ytan 2x 3，下列说法正确的是()A是奇函数B在区间 0，3 上单调递减C 6，0 为其图象的一个对称中心D最小正周期为 2,D,CD,解析：(1)函数y 1 tan x 有意义时，需使 tan x 0，xk+2 k，所以函数的定义域为x|xk+2，且xk，kx|x 2，k.故选D.(2)函数ytan 2x 3 是非奇非偶函数，A错误；在区间 0，3 上单调递增，B错误；因为当x 6 时，tan 2 6 3 0，所以 6，0 为其图象的一个对称中心，C正确；最小正周期为 2，D正确,题型2正切函数的单调性及应用【角度1】求正切函数的单调区间例2求函数ytan 3x+4 的单调区间,解析：ytan 3x+4 tan 3x 4.由 2 k3x 4 2 k(kZ)，得 12+k 3 x 4+k 3(kZ)所以函数ytan 3x+4 的单调递减区间为 12+k 3，4+k 3(kZ),方法归纳求函数yA tan(x)(A，都是常数)的单调区间的方法(1)若0，由于ytan x在每一个单调区间上都是增函数，故可用“整体代换”的思想，令k 2 xk 2，kZ，解得x的范围即可(2)若0，可利用诱导公式先把yA tan(x)转化为yA tan(x)A tan(x)，即把x的系数化为正值，再利用“整体代换”的思想，求得x的范围即可,【角度2】比较大小例3比较tan 1.5，tan 2.5，tan 3.5的大小,解析：tan 2.5tan(2.5)，tan 3.5tan(3.5)，又 2 2.53.51.5 2，ytan x在 2，2 上是增函数故tan(2.5)tan(3.5)tan 1.5，即tan 2.5tan 3.5tan 1.5.,方法归纳运用正切函数单调性比较大小的方法(1)运用函数的周期性或诱导公式将角化到同一单调区间内(2)运用单调性比较大小关系,跟踪训练2(1)已知atan 1，btan 2，ctan 3，则()Aabc BcbaCbca Dbac(2)函数ytan 1 2 x 4 的单调增区间为_,C,2k 2，2k+3 2，kZ,解析：(1)atan 10，btan 2tan(2)230，且ytan x在 0，2 上单调递增，tan(2)tan(3)0，tan(2)0cb.故选C.(2)ytan 1 2 x 4，由k 2 1 2 x 4 k 2，kZ，得2k 2 x2k 3 2，kZ，所以函数ytan 1 2 x 4 的递增区间是 2k 2，2k+3 2，kZ.,题型3正切函数图象与性质的综合应用例4已知函数f(x)2tan x 2 3.(1)求f(x)的最小正周期、定义域；(2)若f(x)2，求x的取值范围,解析：(1)对于函数f(x)2tan x 2 3，它的最小正周期为 1 2 2，由 x 2 3 k 2，求得x2k 5 3，故它的定义域为x|x2k+5 3，k.(2)f(x)2，即tan x 2 3 1，故 4 k x 2 3 k 2，解得2k 7 6 x2k 5 3，故x的取值范围为 2k+7 6，2k+5 3，kZ.,方法归纳解答正切函数图象与性质问题应注意的两点(1)对称性：正切函数图象的对称中心是 k 2，0(kZ)，不存在对称轴(2)单调性：正切函数在每个 2+k，2+k(kZ)区间内是单调递增的，但不能说其在定义域内是递增的,跟踪训练3设函数f(x)tan x 2 3.(1)求函数f(x)的定义域、最小正周期、单调区间及对称中心；,解析：(1)由 x 2 3 2 k(kZ)得x 5 3 2k(kZ)所以f(x)的定义域是x|x 5 3+2k，k.因为 1 2，所以最小正周期T 1 2 2.由 2 k x 2 3 2 k(kZ)，得 3 2kx 5 3 2k(kZ)所以函数f(x)的单调递增区间是 3+2k，5 3+2k(kZ)由 x 2 3 k 2(kZ)，得xk 2 3(kZ)，故函数f(x)的对称中心是 k+2 3，0，kZ.,(2)求不等式1f(x)3 的解集,解析：(2)由1tan x 2 3 3，得 4 k x 2 3 3 k(kZ)，解得 6 2kx 4 3 2k(kZ)所以不等式1f(x)3 的解集是x|6+2kx 4 3+2k，k.,易错辨析不能正确掌握正切函数的对称中心致误例5函数ytan(2x)n的图象的一个对称中心为 6，1，其中 0，2，则点(，n)对应的坐标为_.,6，1,解析：因为ytan x的对称中心为 k 2，0，kZ，所以由ytan(2x)n的图象的一个对称中心为 6，1 可知，n1，2 6 k 2，kZ.又 0，2，所以 6.,易错警示,课堂十分钟1函数ytan 3 5 x是()A周期为的偶函数 B周期为 5 3 的奇函数C周期为 5 3 的偶函数 D周期为的奇函数,答案：B,解析：函数的周期T 3 5 5 3，函数ytan 3 5 x是奇函数故选B.,2函数ytan(x 5)的单调递增区间是()A 2+k，2+k(kZ)B 7 10+k，3 10+k(kZ)C 3 10+k，7 10+k(kZ)D 5+k，5+k(kZ),答案：B,解析：ytan x的单调递增区间为 2+k，2+k(kZ)，令k 2 x 5 k 2，解得k 7 10 xk 3 10，kZ，函数ytan(x 5)的单调递增区间是 7 10+k，3 10+k(kZ)故选B.,3已知atan 2，btan 3，ctan 5，不通过求值，判断下列大小关系正确的是()Aabc BabcCbac Dbac,解析：tan 5tan(5)tan(5)，由正切函数在 2，上为增函数且325 2，可得tan 3tan 2tan(5)故选C.,答案：C,4函数ytan 4+6x 的定义域为_,x|x k 6+24，k,解析：由 4 6xk 2(kZ),得x k 6+24(kZ),4设函数f(x)tan x 3 3.(1)求函数f(x)的最小正周期、对称中心；,解析：(1)f x tan x 3 3，T 1 3 3，令 x 3 3 k 2，kZ，解得x 3 2 k，kZ，故对称中心为+3 2 k，0 k.,(2)作出函数f(x)在一个周期内的简图,解析：(2)令 x 3 3 0，解得x，令 x 3 3 4，解得x 7 4，令 x 3 3 4，解得x 4，令 x 3 3 2，解得x 5 2，令 x 3 3 2，解得x 2，所以函数f x tan x 3 3 的图象与x轴的一个交点坐标为，0，图象上的点有 7 4，1、4，1 两点，在这个 2，5 2 周期内左右两侧相邻的渐近线方程分别为x 2 和x 5 2，从而得到函数f x 在一个周期 2，5 2 内的简图(如图),