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第二章直线和圆的方程,2.1直线的倾斜角与斜率,2.1.1倾斜角与斜率,|自 学 导 引|,向右,直线的倾斜角,向上,正向,向上,0180,0,若一条直线的斜率为k，则它的一个方向向量是_，一个法向量是_【答案】(1，k)(k，1)【解析】因为直线的斜率为k，所以它的一个方向向量为(1，k)，设一个法向量为(x，y)，则(x，y)(1，k)xky0，不妨取xk，y1，则它的一个法向量是(k，1),【预习自测】,当一条直线的倾斜角为0时，此时这条直线一定与x轴平行吗？,【答案】提示：不一定，也可能与x轴重合,1定义：倾斜角不是90的直线，它的倾斜角的正切值叫做这条直线的斜率，记为k，即ktan.,直线的斜率,2斜率与倾斜角的关系：,k0,k0,k0,思维辨析(正确的画“”，错误的画“”)(1)所有直线都有倾斜角和斜率()(2)任何一条直线有且只有一个斜率和它对应()(3)一个倾斜角不能确定一条直线()(4)直线的倾斜角越大，直线的斜率也越大()【答案】(1)(2)(3)(4),【预习自测】,【解析】(1)所有直线都有倾斜角，但是倾斜角为90的直线斜率不存在(2)倾斜角不是90的直线有且只有一个斜率和它对应(3)确定平面直角坐标系内的一条直线位置的几何要素：一个点P和倾斜角.(4)当倾斜角0时，k0；当00，并且随的增大k也增大；当90时，k不存在；当90180时，k0，并且随的增大k也增大,已知两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1x2)(1)直线P1P2的斜率公式是k_.(2)当直线P1P2垂直于x轴(即x1x2)时，直线的斜率_(3)当直线P1P2平行于x轴或与x轴重合(即y1y2)时，直线的斜率为_,不存在,直线的斜率公式,0,1直线x2y10的一个方向向量是()A(1，2)B(1,2)C(2，1)D(2,1)【答案】D,【预习自测】,2若三点A(1，2)，B(4,8)，C(5，x)在同一条直线上，则实数x的值为()A10B10C5D5【答案】A,3如图，设直线l1，l2，l3的斜率分别为k1，k2，k3，则k1，k2，k3的大小关系为_【答案】k1k2k3【解析】因为l1，l2，l3的倾斜角均为锐角，根据倾斜角越大，斜率越大，可知k1k2k3.,【答案】提示：此斜率公式适用的范围是已知两点的横坐标不相等即x1x2，也即直线与x轴不垂直,|课 堂 互 动|,(1)下列说法中，正确的是()A直线的倾斜角为，则此直线的斜率为tan B直线的斜率为tan，则此直线的倾斜角为C若直线的倾斜角为，则sin 0D任意直线都有倾斜角，但它不一定有斜率,题型1对直线的倾斜角、斜率的理解,(2)设直线l过坐标原点，它的倾斜角为，如果将直线l绕坐标原点按逆时针方向旋转45，得到直线l1，那么l1的倾斜角为()A45B135C135D当0135时，倾斜角为45；当135180时，倾斜角为135素养点睛：考查数学抽象、直观想象的核心素养【答案】(1)D(2)D,【解析】(1)对于A，当90时，直线的斜率不存在，故不正确；对于B，虽然直线的斜率为tan，但只有当0180时，才是此直线的倾斜角，故不正确；对于C，当直线平行于x轴时，0，sin 0，故C不正确(2)根据题意，画出图形，如图所示,因为0180，显然A，B，C未分类讨论，均不全面，不合题意通过画图可知：当0135时，倾斜角为45，当135180时，倾斜角为135.,求直线倾斜角的方法及关注点(1)定义法：根据题意画出图形，结合倾斜角的定义找倾斜角(2)关注点：结合图形求角时，应注意平面几何知识的应用，如三角形内角和定理及其有关推论,1已知直线l过原点，倾斜角为40，将直线l顺时针旋转45得到直线l1，求直线l1的倾斜角解：如图，图中角即为直线l1的倾斜角，则180(4540)1805175.,已知A(3,3)，B(4,2)，C(0，2)(1)求直线AB和AC的斜率；(2)点D在线段BC上(包括端点)移动时，求直线AD的斜率的变化范围素养点睛：考查直观想象的核心素养,题型2有关直线斜率的运算,【例题迁移】(变换条件)若将本例(2)改为点D在线段AB上(包括端点)移动时，求直线CD的斜率的变化范围,1利用斜率公式求直线的斜率应注意的事项(1)运用公式的前提条件是“x1x2”，即直线不与x轴垂直，因为当直线与x轴垂直时，斜率是不存在的(2)斜率公式与两点P1，P2的先后顺序无关，也就是说公式中的x1与x2，y1与y2可以同时交换位置2由坐标求直线斜率的策略对于用坐标表示的斜率，其大小与两点的先后顺序无关，当x1x2，y1y2时，直线的倾斜角90，没有斜率，这常常是分类讨论的依据，斜率公式是“数”与“形”结合的纽带,题型3斜率与倾斜角的综合应用若点A(1,1)，B(3,5)，C(a,7)三点共线，求a的值素养点睛：考查数学运算的核心素养,【例题迁移1】(变换条件)若将点A(1,1)的坐标改为“(1,4)”，其他条件不变，则a的值应为多少？,【例题迁移2】(变换条件，改变问法)若将点C的坐标改为“C(4,7)”，试证明A，B，C三点在同一条直线上解：因为A(1,1)，B(3,5)，C(4,7)，由斜率公式得kAB2，kAC2，所以kABkAC因为直线AB与直线AC的倾斜角相等且过同一点A，所以直线AB与直线AC为同一条直线故A，B，C三点在同一条直线上,用斜率公式解决三点共线问题的方法,3已知某直线l的倾斜角45，又P1(2，y1)，P2(x2,5)，P3(3,1)是此直线上的三点，求x2，y1的值,如图，已知点A(2,3)，B(3,2)，直线l过点P(0，2)，且与线段AB有公共点，求直线l的斜率k的变化范围,易错警示利用直线倾斜角与斜率的关系求解问题,防范措施：正确理解直线倾斜角与斜率的变化求斜率范围问题时，一定要注意对直线倾斜角与斜率的关系的正确理解并灵活应用如本例直线的倾斜角是从一个锐角逐渐增大到一个钝角，所以直线的斜率应是两个小范围的并集.,|素 养 达 成|,1关于直线的倾斜角与斜率的关系(1)直线的斜率与倾斜角既有区别，又有联系它们都反映了直线的倾斜程度，本质上是一致的但倾斜角是角度，是倾斜度的直接体现；斜率是实数，是直线倾斜度的间接反映，用斜率比用倾斜角更方便(2)倾斜角可正可零不可为负，而斜率k不仅可正，可零，而且可以为负(3)当倾斜角90时，直线斜率不存在，当90，可以建立倾斜角与斜率k之间的函数关系式，即ktan(90),2对直线斜率的两点公式的理解(1)斜率公式表明直线相对于x轴的倾斜程度，可以通过直线上任意两点的坐标表示，比使用几何的方法求出倾斜角再求斜率的方法方便(2)如果y2y1，x2x1，那么直线与x轴平行或重合，斜率为0；如果y2y1，x2x1，那么直线与x轴垂直，倾斜角等于90，斜率不存在,1给出下列说法，正确的个数是()若两直线的倾斜角相等，则它们的斜率也一定相等；一条直线的倾斜角为30；倾斜角为0的直线只有一条；直线的倾斜角的集合|0180与直线集合建立了一一对应关系A0B1C2D3【答案】A,【解析】若两直线的倾斜角为90，则它们的斜率不存在，错；直线倾斜角的取值范围是0180，错；所有垂直于y轴的直线倾斜角均为0，错；不同的直线可以有相同的倾斜角，错,2下面选项中，两点确定的直线的斜率不存在的是()A(4,2)与(4,1)B(0,3)与(3,0)C(3，1)与(2，1)D(2,2)与(2,5)【答案】D【解析】两点横坐标相同时，直线与x轴垂直，此时斜率不存在,3下图中能表示直线l的倾斜角的是_【答案】【解析】结合直线l的倾斜角的定义可知可以,5画出经过点(0,2)，且斜率为2与2的直线解：斜率为2的直线经过(0,2)，(1,0)两点；斜率为2的直线经过(0,2)，(1,0)两点图象如图所示,课后提能训练,