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第四节数列求和及综合应用,必备知识基础落实,关键能力考点突破,微专题,最新考纲1掌握等差、等比数列的前n项和公式2能在具体的问题情境中识别数列的等差关系或等比关系，并能用有关知识解决与前n项和相关的问题,考向预测考情分析：数列分组求和、错位相减求和、裂项相消求和仍是高考考查的热点，题型仍将是以解答题为主学科素养：通过非等差、等比数列求和问题考查逻辑推理、数学运算的核心素养,必备知识基础落实,一、必记6个知识点1公式法求和(1)等差数列求和公式：Sn n a 1+a n 2 _(2)等比数列求和公式：Sn na 1，q=1，a 1 a n q 1q=_，q1.,na1 d,2裂项相消法求和把数列的通项拆分为两项之差，使之在求和时产生前后相互抵消的项的求和方法3错位相减法求和(1)适用的数列：anbn，其中数列an是公差为d的等差数列，bn是公比为q1的等比数列(2)方法：设Sna1b1a2b2anbn(*)，则qSna1b2a2b3an1bnanbn1(*)，(*)(*)得：(1q)Sna1b1d(b2b3bn)anbn1，就转化为根据公式可求的和,4倒序相加法求和如果一个数列an与首末两端等“距离”的两项的和等于首末两项之和，可把正着写与倒着写的两个式子相加，就得到一个常数列的和，那么求这个数列的前n项和即可用倒序相加法，例如等差数列的前n项和公式即是用此法推导的5分组求和法求和若一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成，则求和时可用分组转化求和法，分别求和而后相加减例如已知an2n(2n1)，求Sn.,6并项求和法求和把数列中的若干项结合到一起，形成一个新的可求和的数列，此时，数列中的项可能正、负相间出现或呈现周期性形如an(1)nf(n)类型，可采用两个项合并求解例如：Sn10029929829722212(1002992)(982972)(2212)(10099)(9897)(21)5 050.,二、必明2个常用结论1一些常见数列的前n项和公式(1)1234n n n+1 2；(2)13572n1n2；(3)24682nn2n2三种常见的拆项公式(1)1 n n+1 1 n 1 n+1；(2)1 2n1 2n+1 1 2(1 2n1 1 2n+1)；(3)1 n+n+1 n+1 n.,三、必练4类基础题(一)判断正误1判断下列说法是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)如果数列an为等比数列，且公比不等于1，则其前n项和Sn a 1 a n+1 1q.()(2)当n2时，1 n 2 1 1 2 1 n1 1 n+1.()(3)求Sna2a23a3nan时，只要把上式等号两边同时乘以a即可根据错位相减法求得()(4)推导等差数列求和公式的方法叫做倒序相加求和法，利用此法可求得sin21sin22sin23sin288sin28944.5.(),(二)教材改编2必修5P47T4改编数列an的前n项和为Sn，若an 1 n n+1，则S5等于()A1B 5 6 C 1 6 D 1 30,答案：B,解析：an 1 n n+1 1 n 1 n+1，S5a1a2a51 1 2+1 2 1 3 1 5 1 6 5 6.,3必修5P61T4(1)改编若数列an的通项公式为an2n2n1，则数列an的前n项和为_,2n12n2,解析：Sn 2 1 2 n 12+n 1+2n1 2 2n12n2.,(三)易错易混4(不能准确分组)已知数列an的通项公式为an(1)n(2n2)，则数列an的前n项和Sn_,，为奇数，为偶数,解析：Sn201234(1)n(n1)1n，n为奇数，n，n为偶数,5(不能准确拆项)等差数列an的前n项和为Sn，a33，S410，则 k=1 n 1 S k _,+,解析：设等差数列an的首项为a1，公差为d，由 a 3=a 1+2d=3，S 4=4 a 1+43 2 d=10.解得a11，d1，所以ann，Sn n n+1 2，所以=1 1 S k 1 S 1+1 S 2+1 S 3 1 S k 2 12+2 23+2 34 2 n n1+2 n n+1 2(1 1 2+1 2 1 3 1 n1 1 n+1 n 1 n+1)2(1 1 n+1)2n n+1.,(四)走进高考62020全国卷01周期序列在通信技术中有着重要应用若序列a1a2an满足ai0，1(i1，2，)，且存在正整数m，使得aimai(i1，2，)成立，则称其为01周期序列，并称满足aimai(i1，2，)的最小正整数m为这个序列的周期对于周期为m的01序列a1a2an，C(k)1 m i=1 m a i a i+k(k1，2，m1)是描述其性质的重要指标下列周期为5的01序列中，满足C(k)1 5(k1，2，3，4)的序列是()A.11010 B11011C10001 D11001,答案：C,解析：C(1)1 5(a1a2a2a3a3a4a4a5a5a6)1 5(a1a2a2a3a3a4a4a5a5a1)，C(2)1 5(a1a3a2a4a3a5a4a6a5a7)1 5(a1a3a2a4a3a5a4a1a5a2)，C(3)1 5(a1a4a2a5a3a6a4a7a5a8)1 5(a1a4a2a5a3a1a4a2a5a3)，C(4)1 5(a1a5a2a6a3a7a4a8a5a9)1 5(a1a5a2a1a3a2a4a3a5a4)对于A，C(1)1 5，C(2)2 5，故A不正确；对于B，C(1)3 5，故B不正确；对于D，C(1)2 5，故D不正确；对于C，C(1)1 5，C(2)0，C(3)0，C(4)1 5，C正确,关键能力考点突破,考点一分组转化法或并项法求和综合性例1(1)2022湖北大冶六中月考已知数列an的前n项和为Sn14710(1)n1(3n2)，则S21()A30B31C30 D31,答案：(1)B,解析：(1)因为数列an的前n项和为Sn14710(1)n1(3n2)，所以S21147105861110(47)31.故选B项,(2)已知数列an中，a1a21，an2 a n+2，n是奇数，2 a n，n是偶数，则数列an的前20项和为()A1 121 B1 122C1 123 D1 124,答案：C,解析：(2)由题意可知，数列a2n是首项为1，公比为2的等比数列，数列a2n1是首项为1，公差为2的等差数列，故数列an的前20项和为 1 1 2 10 12 101 109 2 21 123.故选C.,反思感悟1.分组转化法求和的常见类型 1 若 a n=b n c n，且 b n，c n 为等差或等比数列，可采用分组求和法求 a n 的前n项和 2 通项公式为 a n=b n，n为奇数，c n，n为偶数 的数列，其中数列 b n，c n 是等比数列或等差数列，可采用分组求和法求和2.并项求和法一个数列的前n项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和形如 a n=(1)n f(n)类型，可采用两项合并求解例如 S n=100 2-99 2+98 2-97 2+2 2-1 2=(100+99)+(98+97)+(2+1)=5 050.,【对点训练】12022四川省成都市检测已知数列an是等差数列，且a81，S1624，数列bn是递增的等比数列且b1b49，b2b38.(1)求数列an的通项公式an；(2)求(a1b1)(a3b3)(a5b5)(a2n1b2n1),解析：(1)设数列an的公差为d，由题意得：a 1+7d=1 2 a 1+15d=3，a16，d1，an6(n1)1n7.(2)由题意得：b 1+b 4=9 b 1 b 4=8，bn是递增的等比数列，故解得：b11，b48，设公比为q，则q2，bn2n1，(a1b1)(a3b3)(a5b5)(a2n1b2n1)(a1a3a2n1)(b1b3b2n1)(6422n8)(14164n1)n 6+2n8 2+1 4 n 14 n27n 4 n 1 3.,22022江苏省扬州市高三模拟已知等差数列an和等比数列bn满足：a1b12，且a21，a3，a61是等比数列bn的连续三项(1)求数列an，bn的通项公式；,解析：(1)设an公差为d，由题意知，a21，a3，a61不为零，且(a21)(a61)a 3 2，(2d1)(25d1)(22d)2，化简即16d5d248d4d2，得(d3)(d1)0，d1或d3，其中d1时，a21d10，不符合题意，故d1，经检验d3符合题意，an23(n1)3n1，故bn公比q a 3 a 2 1 8 4 2，bn22n12n；,(2)设cn(1)nlog2(anan1)log2bn，求数列cn的前10项和T10.,解析：(2)cn(1)nlog2(3n1)(3n2)n(1)nlog2(3n1)log2(3n2)n(1)nlog2(3n1)(1)nlog2(3n2)n，T10c1c2c3c10(log22log25log25log28log28log211log226log229log229log232)(1210)log22log232 1110 2 155559.,考点二错位相减法求和综合性例22022湖南省永州市测试已知数列an的前n项和为Sn，且Sn12SnSn2Sn1(n2)，a12，a24，(1)求数列an的通项公式；,解析：(1)Sn12SnSn2Sn1(n2)，Sn1Sn2Sn2Sn12(SnSn1)(n2)，an12an(n2)，又a242a1，所以数列an是以2为首项，2为公比的等比数列，故数列an的通项公式为an2n.,(2)求数列(2n1)an的前n项和Tn.,解析：(2)据(1)可得(2n1)an(2n1)2n，所以Tn121322523(2n1)2n，2Tn122323(2n3)2n(2n1)2n1，两式相减得Tn22(22232n)(2n1)2n122 2 2 1 2 n1 12(2n1)2n1，化简得Tn6(2n3)2n1.,反思感悟1掌握解题“3步骤”,2注意解题“3关键”(1)要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形(2)在写出“Sn”与“qSn”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“SnqSn”的表达式(3)在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分公比q1和q1两种情况求解3谨防解题“2失误”(1)两式相减时最后一项因为没有对应项而忘记变号(2)对相减后的和式的结构认识模糊，错把中间的n1项和当作n项和.,【对点训练】2022河南高三月考已知数列an满足a11，an12an20.(1)求数列an的通项公式；,解析：(1)由题意，数列an满足an12an20，可得an122(an2)，即 a n+1 2 a n 2 2，又因为a11，可得a121，所以an2(a12)2n12n1，所以an22n1，即数列an的通项公式an22n1.,(2)若bnnan，求数列bn的前n项和Sn.,解析：(2)由(1)知an22n1，可得bnnan2nn2n1，则 Snb1b2b3bn(21120)(22221)(23322)(2nn2n1)(2122232n)(120221322n2n1)n(n1)(120221322n2n1)令t120221322n2n1，则2t121222323n2n，所以t12012112212n1n2n，所以t12nn2n.所以Snn2n12nn2n.,考点三裂项相消法求和综合性角度1形如an 1 n n+k 型例32022商丘市高级中学测试已知等差数列an的公差为d，前n项和为Sn，S4a19，且S95a9.(1)求数列an的通项公式；(2)设bn S n+1 S n S n S n+1，求数列bn的前n项和Tn.,解析：(1)因为S95a9，所以9a55a9，即9(a14d)5(a18d)，整理得a1d，又因为S44a16da19，所以a12d3，即a1d1，所以ann；(2)由(1)知ann，所以Sn n n+1 2，又bn 1 S n 1 S n+1，所以Tn(1 S 1 1 S 2)(1 S 2 1 S 3)(1 S n 1 S n+1)1 S 1 1 S n+1 1 2 n+1 n+2.,反思感悟利用裂项相消法求和的注意事项(1)抵消后并不一定只剩下第一项和最后一项，也有可能前面剩两项，后面也剩两项(2)将通项裂项后，有时需要调整前面的系数，使裂开的两项之差和系数之积与原通项相等例如，若an是等差数列，则 1 a n a n+1 1 d(1 a n 1 a n+1)，1 a n a n+2 1 2d(1 a n 1 a n+2),角度2形如an 1 n+k+n 型例4数列an满足a11，2+2 an1(nN*)(1)求证：数列 a n 2 是等差数列，并求出an的通项公式；(2)若bn 2 a n+a n+1，求数列bn的前n项和,解析：(1)证明：由 2+2 1得+1 2 2 2，且 a 1 2 1，所以数列 a n 2 是以1为首项，2为公差的等差数列，所以 a n 2 1(n1)22n1，又由已知易得an0，所以an 2n1(nN*)(2)bn 2 a n+a n+1 2 2n1+2n+1 2n+1 2n1，故数列bn的前n项和Tnb1b2bn(3 1)(5 3)(2n+1 2n1)2n+1 1.,【对点训练】12021湖南湘西州期末已知函数f(x)x的图象过点(4，2)，令an 1 f n+1+f n，nN*.记数列an的前n项和为Sn，则S2020()A 2 019 1B 2 020 1C 2 021 1 D 2 021 1,答案：C,解析：由f(4)2，可得42，解得 1 2，则f(x)x.所以an 1 f n+1+f n 1 n+1+n n+1 n，所以S2 020a1a2a3a2 020(2 1)(3 2)(4 3)(2 021 2 020)2 021 1.故选C.,22022四川省遂宁市检测已知数列an中，a2 1 3，anan12anan1.(1)求数列an的通项公式；,解析：(1)因为anan12anan1，令n1，则a1a22a1a2，又a2 1 3，所以a11.对anan12anan1两边同时除以anan1，得 1 a n+1 1 a n 2，又因为 1 a 1 1，所以 1 a n 是首项为1，公差为2的等差数列，所以 1 a n 12(n1)2n1，故an 1 2n1；,(2)令 2n1 a n n n+2 的前n项和为Tn，求证：Tn 3 4.,解析：(2)由(1)得：2n1 a n n n+2 1 n n+2 1 2(1 n 1 n+2)所以Tn 1 2(1 1 3+1 2 1 4+1 3 1 5 1 n 1 n+2)1 2(3 2 2n+3 n 2+3n+2)因为nN*，所以 2n+3 n 2+3n+2 0，故Tn 1 2 3 2 3 4，即Tn 3 4.,考点四与数列有关的综合问题综合性角度1数列与函数结合例5已知数列an满足an2an1an1an，nN*，且a5 2，若函数f(x)sin 2x2cos2 x 2，记ynf(an)，则数列yn的前9项和为()A0B9C9D1,答案：C,解析：由题意知数列an是等差数列a5 2，a1a9a2a8a3a7a4a62a5.f(x)sin 2x2cos2 x 2，f(x)sin2xcos x1.f(a1)f(a9)sin 2a1cos a11sin 2a9cos a912.同理f(a2)f(a8)f(a3)f(a7)f(a4)f(a6)2.f(a5)1，数列yn的前9项和为9.,反思感悟在涉及函数与数列的综合题时，不仅要正确审题深抠函数的性质与数列的定义，还要明确等差、等比数列的通项、求和公式的特征,角度2数列与不等式结合例62022山东威海模拟公比为2的等比数列an中存在两项am，an满足aman 16a 1 2，则 1 m+4 n 的最小值为()A 3 2 B 5 3 C 4 3 D 13 10,答案：A,解析：由等比数列的通项公式知ama12m1，ana12n1，由aman 16a 1 2 可得 a 1 2 2mn2 16a 1 2，易知a10，故2mn216，解得mn6，则 1 m+4 n 1 6(mn)1 m+4 n 1 6 1+4m n+n m+4 1 6(52 4m n n m)3 2(当且仅当m2，n4时取等号)，故选A.,反思感悟在涉及数列与不等式的综合问题时，一般采取化归的思想将问题转化为我们较熟悉的问题来解决，如基本不等式法、裂项相消求和、错位相减求和等.,角度3数列与数学文化例72022江苏南通市高三月考有这样一道题目：“戴氏善屠，日益功倍初日屠五两，今三十日屠讫，问共屠几何？”其意思为：“有一个姓戴的人善于屠肉，每一天屠完的肉是前一天的2倍，第一天屠了5两肉，共屠了30天，问一共屠了多少两肉？”在这个问题中，该屠夫前5天所屠肉的总两数为()A35 B75 C155 D315,答案：C,解析：由题意可得该屠夫每天屠的肉成等比数列，记首项为a1，公比为q，前n项和为Sn，所以a15，q2，因此前5天所屠肉的总两数为 a 1 1 q 5 1q 5 1 2 5 12 155.故选C.,反思感悟解决数列与数学文化相交汇问题的关键：一是读懂题意，即会“脱去”数学文化的背景，提取关键信息；二是构造模型，即由题意构建等差数列或等比数列或递推关系式的模型；三是“解模”，即把文字语言转化为求数列的相关信息，如求指定项、公差(或公比)、项数、通项公式或前n项和等,【对点训练】12022北京石景山区模拟九连环是我国从古至今广为流传的一种益智游戏，它用九个圆环相连成串，以解开为胜据明代杨慎丹铅总录记载：“两环互相贯为一，得其关捩，解之为二，又合而为一”在某种玩法中，用an表示解下n(n9，nN*)个圆环所需的最少移动次数，数列an满足a11，且an 2 1 1,为偶数 2 1+2，为奇数 则解下4个圆环所需的最少移动次数a4为()A7 B10 C12 D22,答案：A,解析：因为数列an满足a11，且an 2 a n1 1，n为偶数，2 a n1+2，n为奇数，所以a22a11211，所以a32a222124，所以a42a312417.故选A项,2设函数f(x)(x3)3x1，an是公差不为0的等差数列，f(a1)f(a2)f(a7)14，则a1a2a7()A0 B7 C14 D21,答案：D,解析：f(x)(x3)3x1，f(x)2(x3)3(x3)令g(x)f(x)2，g(x)关于(3，0)对称f(a1)f(a2)f(a7)14，f a 1 2+f a 2 2 f a 7 2 0，g(a1)g(a2)g(a7)0.g(a4)为g(x)与x轴的交点又g(x)关于(3，0)对称，a43.a1a2a77a421.,32022山东淄博一中月考已知函数f(x)axb(a0，a1)的图象经过点P(1，3)，Q(2，5)当nN*时，an f n 1 f n f n+1，记数列an的前n项和为Sn，当Sn 10 33 时n的值为()A4 B5 C6 D7,答案：A,解析：f(x)的图象过点P(1，3)，Q(2，5)，易知f(x)2x1，an 2 n 2 n+1 2 n+1+1 2 n+1+1 2 n+1 2 n+1 2 n+1+1 1 2 n+1 1 2 n+1+1，Sn 1 2+1 1 2 2+1+1 2 2+1 1 2 3+1 1 2 n+1 1 2 n+1+1 1 3 1 2 n+1+1，1 3 1 2 n+1+1 10 33，1 2 n+1+1 1 33，解得n4.故选A.,微专题25 数列中的新定义问题,例2022河北石家庄模拟数列an的前n项和为Sn，定义an的“优值”为Hn a 1+2 a 2+2 n1 a n n，现已知an的“优值”Hn2n，则Sn_,n n+3 2,解析：由Hn a 1+2 a 2+2 n1 a n n 2n，得a12a22n1ann2n，当n2时，a12a22n2an1(n1)2n1，由得2n1ann2n(n1)2n1(n1)2n1，ann1(n2)当n1时，a12也满足式子ann1，所以数列an的通项公式为ann1，所以Sn n 2+n+1 2 n n+3 2.,名师点评(1)数列的新定义问题的特点是：通过给出一个新的数列的概念，或约定一种新运算，或给出几个新模型来创设全新的问题情景，要求考生在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的(2)破解此类数列中的新定义问题的关键：一是盯题眼，即需认真审题，读懂新定义的含义，如本题，题眼an的“优值”Hn2n的含义为 a 1+2 a 2+2 n1 a n n 2n；二是想“减法”，如本题，欲由等式a12a22n1ann2n求通项，只需写出a12a22n2an1(n1)2n1，通过相减，即可得通项公式,变式训练2022江西上高模拟定义：若数列an对任意的正整数n，都有|an1|an|d(d为常数)，则称|an|为“绝对和数列”，d叫做“绝对公和”已知“绝对和数列”an中，a12，绝对公和为3，则其前2 021项的和S2 021的最小值为()A.2 021 B3 010C3 028 D3 030,答案：C,解析：依题意，要使“绝对和数列”an前2 021项的和S2 021的值最小，只需每一项的值都取最小值即可因为a12，绝对公和d3，所以a21或a21(舍)，所以a32或a32(舍)，所以a41或a41(舍)，所以满足条件的数列an的通项公式an 2，n=1，2，n为大于1的奇数，1，n为偶数，所以S2 021a1(a2a3)(a4a5)(a2 020a2 021)2(12)2 0211 2 3 028.故选C.,