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第三节三角恒等变换,教材回扣夯实“四基”,题型突破提高“四能”,教材回扣夯实“四基”,基础知识1.两角和与差的正弦、余弦、正切公式(1)sin()_(2)cos()_(3)tan()_,sin cos cos sin,cos cos sin sin,tan tan 1 tan tan,【微点拨】两角和与差的正弦、余弦、正切公式的结构特征和符号特点及关系：C()同名相乘，符号反；S()异名相乘，符号同；T()分子同，分母反,2二倍角的正弦、余弦、正切公式(1)sin 22sin cos.(2)cos 2cos2sin2_(3)tan2 2 tan 1 tan 2.3半角公式sin 2 1 cos 2，cos 2 1+cos 2，tan 2 1 cos 1+cos(符号由 2 所在象限决定),2cos21,12sin2,【微点拨】二倍角是相对的，例如，2 是 4 的二倍角，3是 3 2 的二倍角,常用结论(1)降幂扩角公式：cos2 1+cos2 2，sin2 1cos2 2.(2)升幂公式：1cos 22cos2，1cos22sin2.(3)公式变形：tantan tan()(1tan tan)(4)辅助角公式：a sin xb cos x a 2+b 2 sin(x)，其中sin b a 2+b 2，cos a a 2+b 2.,基本技能、思想、活动经验题组一思考辨析(正确的打“”，错误的打“”)1.两角和与差的正弦、余弦公式中的角，是任意的()2存在实数，使等式sin()sin sin 成立()3公式tan()tan+tan 1 tan tan 可以变形为tan tan tan()(1tan tan)，且对任意角，都成立()4存在实数，使tan 22tan.(),题组二教材改编5sin 164sin 224sin 254sin 314()A 3 2 B 1 2 C 3 2 D 1 2,解析：原式sin16(cos 46)(cos 16)(sin 46)sin 46cos 16cos 46sin 16sin(4616)sin 30 1 2.故选B.,答案：B,6(多选)下列各式的值正确的是()Asin 15cos 15 1 2 Bcos2 8 sin2 8 2 2 C tan22.5 1 tan 2 22.5 1 D2cos222.51 2 2,解析：A中，sin 15cos 15 1 2 sin 30 1 4，A错；B中，cos2 8 sin2 8 cos 4 2 2，B正确；C中，tan 22.5 1 tan 2 22.5 1 2 tan45 1 2，C错；D中，2cos222.51cos45 2 2，D正确故选BD.,答案：BD,题组三易错自纠7化简：1sin6 1+sin 6()A2sin 3 B2cos 3C2sin 3 D2cos 3,解析：因为 1 sin 6 1+sin 6 sin 3 cos 3 2 sin 3+cos 3 2 又因为 3 4 3，所以原式sin 3cos 3sin 3cos 32sin 3.故选A.,答案：A,8已知，为锐角，且cos 1 10，cos 1 5，则_,3 4,解析：因为，为锐角，且cos 1 10，cos 1 5，所以sin 3 10，sin 2 5.由，为锐角，可得0，cos()cos cos sin sin 2 2，故 3 4.,题型突破提高“四能”,题型一三角函数式的化简例1(1)2022湖南长郡中学模拟设sin 20m，cos 20n，化简 tan 10+1 1 tan 10 1 12 sin 2 10()A m n B m n C n m D n m,答案：A,解析：因为sin 20m，cos 20n，所以 tan 10+1 1 tan 10 1 12 sin 2 10 sin10+cos 10 cos 10 sin 10 1 cos 20，sin 10+cos 10 2 cos 10 sin 10 cos 10+sin 10 1 cos 20 1+2 sin 10 cos 10 cos 2 10 sin 2 10 1 cos20 1+sin 20 cos 20 1 cos 20 sin 20 cos 20 m n，故选A.,(2)若 3 2 2，则 1 2+1 2 1 2+1 2 cos 2 _,cos 2,解析：由 3 2 0，2 3 4，cos 2 0.原式 1 2+1 2 1 2+1 2 12 sin 2 1 2+1 2 cos 2 1 2+1 2 cos 1 2+1 2 2 cos 2 2 1 cos 2 2 cos 2 cos 2.,类题通法1.三角函数式的化简要遵循“三看”原则2三角函数式化简的方法弦切互化，异名化同名，异角化同角，降幂或升幂在三角函数式的化简中“次降角升”和“次升角降”是基本的规律，根号中含有三角函数式时，一般需要升次,巩固训练1(1)cos(35)cos(25)sin(35)sin(25)等于()A 1 2 B 1 2 C 3 2 D 3 2,解析：原式cos(35)(25)cos(60)cos 60 1 2.故选A.,答案：A,(2)已知0，则 1+sin+cos sin 2 cos 2 2+2 cos _.,cos,解析：由(0，)得0 2 2，所以cos 2 0，所以 2+2 cos 4 cos 2 2 2cos 2.又(1sin cos)sin 2 cos 2 2 sin 2 cos 2+2 cos 2 2 sin 2 cos 2 2cos 2 sin 2 2 cos 2 2 2cos 2 cos.故原式 2 cos 2 cos 2 cos 2 cos.,题型二三角函数式的求值角度1 给角求值例2(1)2022广东佛山模拟sin 40(tan 10 3)()A2 B2C1 D1,答案：D,解析：sin 40(tan 10 3)sin 40 sin 10 cos 10 3 sin 40 sin 10 3 cos 10 cos 10 sin 40 2 1 2 sin 10 3 2 cos 10 cos 10 sin 40 2 cos 60 sin 10 sin 60 cos 10 cos 10 sin 40 2 sin 1060 cos 10 sin 40 2 sin 50 cos 10 2 sin 40 cos 40 cos 10 sin 80 cos 10 1故选D.,(2)求值：cos 9 cos 2 9 cos 23 9 _,1 8,解析：cos 9 cos 2 9 cos 23 9 cos 9 cos 2 9 cos 5 9 cos 20cos 40cos 100cos 20cos 40cos 80 sin 20 cos 20 cos 40 cos 80 sin 20 1 2 sin 40 cos 40 cos 80 sin 20 1 4 sin 80 cos 80 sin 20 1 8 sin 160 sin 20 1 8 sin 20 sin 20 1 8.,类题通法给角求值的思路给角求值中一般所给出的角都是非特殊角，从表面上来看是很难的，但仔细观察会发现非特殊角与特殊角之间总有一定的关系，解题时，要利用观察得到的关系，结合公式将非特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数，从而得解,巩固训练2(1)3 cos 10 1 sin 170()A4 B2C2 D4,解析：3 cos 10 1 sin 170 3 cos 10 1 sin 10 3 sin 10 cos 10 sin 10 cos 10 2 sin 1030 1 2 sin 20 2 sin 20 1 2 sin 20 4.故选D.,答案：D,(2)2022山东泰安模拟计算 1 cos 2 70 1+cos40 _,1 2,解析：1 cos 2 70 1+cos40 1 1+cos 140 2 1+cos 40 1 1 cos 40 2 1+cos 40 21+cos 40 2 1+cos 40 1 2.,角度2 给值求值例3(1)2022福建宁化一中月考若cos 5 2 3 5，2，3 2，则sin 2()A 24 25 B 24 25 C 7 25 D 7 25,解析：cos 5 2 sin 3 5，2，3 2，cos 1 sin 2 4 5，sin22sin cos 2 3 5 4 5 24 25.故选B.,答案：B,(2)2022重庆南开中学模拟已知sin+6 1 3，则sin 2+5 6()A 7 9 B 7 9 C 5 9 D 5 9,解析：sin 2+5 6 sin 2+3+2 cos 2+3 12sin2+6 12 1 3 2 7 9.故选A.,答案：A,(3)2022湖南衡阳模拟已知，为锐角，tan+6 1 3，tan 12 1 2，则tan(2)()A 9 13 B 13 9 C 13 9 D 9 13,答案：A,解析：因为tan 6 2 tan 2 12 2 tan 12 1 tan 2 12 1 1 1 4 4 3，所以tan(2)tan a+6 6 2 tan+6 tan 6 2 1+tan+6 tan 6 2 1 3 4 3 1+1 3 4 3 9 13.故选A.,类题通法给值求值的策略,巩固训练3(1)2022河北保定模拟已知cos 3 5，tan 0，则sin(2)()A 24 25 B 12 25 C 4 5 D 24 25,解析：由cos 3 5，tan 0，则sin 1 cos 2 4 5，所以sin(2)sin 22sin cos 24 25.故选A.,答案：A,(2)已知sin 4 3 5，且为锐角，则cos()A 7 2 10 B 2 10 C 2 10 D 7 2 10,解析：因为sin 4 3 5，且为锐角，则 4 4 4，即cos 4 1 3 5 2 4 5，则cos cos 4+4 cos 4 cos 4 sin 4 sin 4 2 2 4 5 3 5 2 10.故选C.,答案：C,(3)已知 0，2，0，2，且cos 1 7，cos()11 14，则sin _,3 2,解析：由已知得sin 4 3 7，sin()5 3 14.sin sin()sin()cos cos()sin 5 3 14 1 7 11 14 4 3 7 3 2.,角度3 给值求角例4若sin 2 5 5，sin()10 10 且 4，3 2，则的值是()A 7 4 B 9 4 C 5 4 或 7 4 D 5 4 或 9 4,答案：A,解析：因为 4，所以2 2，2，又sin 2 5 5，所以2 2，4，2，故cos 2 2 5 5.又，3 2，所以 2，5 4，故cos()3 10 10.所以cos()cos 2()cos 2cos()sin 2sin()2 5 5 3 10 10 5 5 10 10 2 2，又 5 4，2，故 7 4.故选A.,类题通法给值求角的求解原则(1)已知正切函数值，选正切函数；(2)已知正、余弦函数值，选正弦或余弦函数；若角的范围是 0，2，选正、余弦皆可；若角的范围是(0，)，选余弦较好；若角的范围为 2，2，选正弦较好,巩固训练42022湖北武汉月考已知0 2 且sin 4 5，cos()2 10，则()A 3 B 2 3 C 4 D 3 4,解析：因为sin 4 5，且0 2，所以0，因为cos()2 10，所以0 2，所以cos 1 sin 2 3 5，sin()1 cos 2 7 2 10，所以coscos()cos()cos sin()sin 2 10 3 5 7 2 10 4 5 2 2，因为 2，所以 3 4.故选D.,答案：B,题型三三角恒等变换的综合应用例52022湖南怀化月考已知函数f(x)2cos xsin x 3+3 2.(1)求函数f(x)的最小正周期；(2)若锐角满足f+5 12 7 25，求sin 的值,解析：(1)因为f(x)2cos xsin x 3+3 2 2cos x 1 2 sin x 3 2 cos x+3 2，所以f(x)sin x cos x 3 cos2x 3 2 1 2 sin2x 3 2(cos 2x1)3 2，所以f(x)1 2 sin 2x 3 2 cos 2xsin 2x 3，所以最小周期T 2 2.(2)因为f+5 12 sin 2+5 6 3 sin 2+2 7 25，所以cos 2 7 25，又因为cos 212sin2 7 25，且为锐角，所以sin 4 5.,类题通法1.进行三角恒等变换要抓住：变角、变函数名称、变结构，尤其是角之间的关系；注意公式的逆用和变形使用2形如ya sin xb cos x化为y a 2+b 2 sin(x)，可进一步研究函数的周期性、单调性、最值与对称性,巩固训练5已知函数f(x)cos2x 3 sinx cos x(0)图象的任意两条相邻对称轴间距离为 3 2.(1)求的值；(2)若是第一象限角，且f 3 2+2 23 26，求sin+4 的值,解析：(1)f(x)cos2x 3 sinx cos x 1+cos 2x 2+3 sin 2x 2 sin 2x+6+1 2.又因为函数f(x)图象的任意两条相邻对称轴间距离为 3 2，所以函数f(x)的最小正周期为3.又0，所以 2 2 3，解得 1 3.,(2)据(1)求解知，f(x)sin 2 3 x+6+1 2，又因为f 3 2+2 23 26，所以sin 2 3 3 2+2+6+1 2 sin+2+1 2 cos 1 2 23 26，所以cos 5 13.又因为是第一象限角，故sin 12 13，所以sin+4 2 2(sin cos)17 2 26.,