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第四节基本不等式,必备知识基础落实,关键能力考点突破,微专题,最新考纲1理解基本不等式 ab a+b 2(a，b0)2结合具体实例，能用基本不等式解决简单的求最大值或最小值的问题,考向预测考情分析：利用基本不等式求最值、证明不等式、求参数的取值范围等仍是高考热点，多出现在解答题的运算中学科素养：通过基本不等式求最值的应用，考查数学运算、逻辑推理的核心素养,必备知识基础落实,一、必记2个知识点1基本不等式：ab a+b 2(1)基本不等式成立的条件：_(2)等号成立的条件：当且仅当_时取等号(3)其中 a+b 2 叫做正数a，b的算术平均数，ab 叫做正数a，b的几何平均数,a0，b0,ab,2利用基本不等式求最值已知x0，y0，则(1)如果积xy是定值p，那么当且仅当_时，和xy有最_值2 p.(简记：积定和最小)(2)如果和xy是定值p，那么当且仅当_时，积xy有最_值 p 2 4.(简记：和定积最大)提醒利用基本不等式求最值应满足三个条件：“一正，二定，三相等”,xy,小,xy,大,二、必明1个常用结论几个重要的不等式(1)a2b22ab(a，bR)(2)b a+a b 2(a，b同号)(3)ab a+b 2 2(a，bR)(4)a 2+b 2 2 a+b 2 2(a，bR)以上不等式等号成立的条件均为ab.,三、必练4类基础题(一)判断正误1判断下列说法是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)两个不等式a2b22ab与 a+b 2 ab 成立的条件是相同的()(2)(ab)24ab.()(3)“x0且y0”是“x y+y x 2”的充要条件()(4)函数ysin x 4 sin x，x 0，2 的最小值为4.(),(二)教材改编2必修5P100练习T1改编当x1时，x 1 x1 的最小值为_,3,解析：当x1时，x 1 x1 x1 1 x1 12 x1 1 x1 13，当且仅当x1 1 x1，即x2时等号成立,3必修5P100练习T2改编若把总长为20 m的篱笆围成一个矩形场地，则矩形场地的最大面积是_m2.,25,解析：设一边长为x m，则另一边长可表示为(10 x)m，由题意可知0 x10，则面积Sx(10 x)x+10 x 2 2 25，当且仅当x10 x，即x5时等号成立，故当矩形的长与宽相等，且都为5 m时面积取到最大值25 m2.,(三)易错易混4(未注意等号成立的条件)当x2时，x 4 x+2 的最小值为_,3,解析：设x2t，则x 4 x+2 t 4 t 2.又由x2得t4，而函数yt 4 t 2在4，)上是增函数，因此当t4时，t 4 t 2即x 4 x+2 取得最小值，最小值为4 4 4 23.,5(未注意字母的正负号)函数f(x)2 x 2+x+3 x(x0)的最大值为_,12,解析：因为x0，所以f(x)2 x 2+x+3 x 2x 3 x 1(2x 3 x)12 2x 3 x 112 6，当且仅当2x 3 x，即x 6 2 时，等号成立，所以f(x)的最大值为12 6.,(四)走进高考62019天津卷设x0，y0，x2y5，则 x+1 2y+1 xy 的最小值为_,4,解析：x+1 2y+1 xy 2xy+x+2y+1 xy 2xy+6 xy 2 2xy6 xy 4 3，当且仅当xy3，即x3，y1时等号成立故所求的最小值为4 3.,关键能力考点突破,考点一利用基本不等式求最值综合性角度1配凑法例1(1)已知x 5 4，则f(x)4x2 1 4x5 的最小值为_,5,解析：(1)x 5 4，4x50，f(x)4x2 1 4x5(4x5)1 4x5 32 4x5 1 4x5 3235当且仅当4x5 1 4x5，即x 3 2 时取等号，所以f(x)的最小值为5.,(2)已知0 x1，则x(32x)的最大值为_,解析：(2)x(32x)1 2 2x(32x)1 2 2x+32x 2 2 9 8，当且仅当2x32x，即x 3 4 时取等号,反思感悟配凑法的实质在于代数式的灵活变形，拼系数、凑常数是关键，利用配凑法求解最值应注意以下几个方面的问题：(1)配凑的技巧，以整式为基础，注意利用系数的变化以及等式中常数的调整，做到等价变形；(2)代数式的变形以配凑出和或积的定值为目标；(3)拆项、添项应注意检验利用基本不等式的前提,角度2常数代换法例2若正数m，n满足2mn1，则 1 m+1 n 的最小值为()A32 2 B3 2 C22 2 D3,答案：A,解析：因为2mn1，则 1 m+1 n 1 m+1 n(2mn)3 n m 2m n 32 n m 2m n 32 2，当且仅当n 2 m，即m 2 2 2，n 2 1时等号成立，所以 1 m+1 n 的最小值为32 2，故选A.,反思感悟常数代换法求最值的步骤(1)根据已知条件或其变形确定定值(常数)；(2)把确定的定值(常数)变形为1；(3)把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘或相除，进而构造和或积的形式；(4)利用基本不等式求解最值.,角度3消元法例3已知x0，y0，x3yxy9，则(1)x3y的最小值为_；,6,解析：(1)方法一(换元消元法)由已知得9(x3y)1 3 x3y 1 3 x+3y 2 2，当且仅当x3y，即x3，y1时取等号即(x3y)212(x3y)1080，令x3yt，则t0且t212t1080，得t6，即x3y的最小值为6.方法二(代入消元法)由x3yxy9，得x 93y 1+y，所以x3y 93y 1+y 3y 93y+3y 1+y 1+y 9+3 y 2 1+y 3 1+y 2 6 1+y+12 1+y 3(1y)12 1+y 62 3 1+y 12 1+y 61266，当且仅当3(1y)12 1+y，即y1，x3时取等号，所以x3y的最小值为6.,(2)xy的最大值为_,3,(2)方法一9xyx3y2 3xy，9xy2 3xy，令 xy t，t0，9t22 3 t，即t22 3 t90，解得0t 3，xy 3，xy3，当且仅当x3，即x3，y1时取等号，xy的最大值为3.,方法二x 93y 1+y，xy 93y 1+y y 9y3 y 2 1+y 3 y+1 2+15 y+1 12 y+1 3(y1)12 y+1 152 3 y+1 12 y+1 153.当且仅当3(y1)12 y+1，即y1，x3时取等号xy的最大值为3.,反思感悟消元法，即根据条件建立两个量之间的函数关系，然后代入代数式转化为函数的最值求解有时会出现多元的问题，解决的方法是代入消元后利用基本不等式求解但应注意保留元的取值范围,【对点训练】1已知函数f(x)2 2x1 x x 1 2，则()Af(x)有最小值 5 2 Bf(x)有最小值 3 2 Cf(x)有最大值 1 2 Df(x)有最大值 3 2,答案：D,解析：x0，f(x)2 2x1 x，1 x 1 2 x 1 2+1 2 1 1 2 x+1 2 x+1 2 2 1 2 3 2，当且仅当 1 1 2 x 1 2 x，即x 1 2 时取等号，故f(x)有最大值 3 2.,2已知x0，y0且xy5，则 1 x+1+1 y+2 的最小值为_,解析：令x1m，y2n，x0，y0，m0，n0，则mnx1y28，1 x+1+1 y+2 1 m+1 n 1 m+1 n 1 8(mn)1 8 n m+m n+2 1 8(2 1 2)1 2.当且仅当 n m m n，即mn4时等号成立 1 x+1+1 y+2 的最小值为 1 2.,考点二基本不等式的综合应用综合性角度1基本不等式与其他知识交汇的最值问题例4(1)若直线2axby20(a0，b0)平分圆x2y22x4y60，则 2 a+1 b 的最小值是()A2 2 B 2 1C32 2 D32 2,答案：(1)C,解析：(1)直线平分圆，即直线过圆的圆心，由题意可知圆心坐标(1，2)则2a2b20，即ab1所以 2 a+1 b(2 a+1 b)(ab)3(2b a+a b)32 2 当且仅当 2b a a b，即b 2 1，a2 2 时取等号,(2)设等差数列an的公差为d，其前n项和是Sn，若a1d1，则 S n+8 a n 的最小值是_,解析：(2)ana1(n1)dn，Sn n 1+n 2，所以 S n+8 a n n 1+n 2+8 n 1 2 n+16 n+1 1 2(2 n 16 n 1)9 2，当且仅当n 16 n，即n4时取等号，所以 S n+8 a n 的最小值是 9 2.,反思感悟基本不等式与函数、数列、解析几何结合的题目，往往先通过条件转化成能利用基本不等式的形式求解,角度2求参数值或取值范围例5(1)对任意m，n(0，)，都有m2amn2n20，则实数a的最大值为()A 2 B2 2 C4 D 9 2,答案：(1)B,解析：(1)对任意m，n(0，)，都有m2amn2n20，m22n2amn，即a m 2+2 n 2 mn m n+2n m 恒成立，m n+2n m 2 m n 2n m 2 2，当且仅当 m n 2n m，即m 2 n时取等号，a2 2，故实数a的最大值为2 2，故选B.,(2)2021江西吉安期中设正数x，y满足xy1，若不等式 1 x+a y 4对任意的x，y成立，则正实数a的取值范围是()A4，)B(1，)C1，)D(4，),答案：C,解析：(2)xy1,且x0，y0，a0，1 x+a y(1 x+a y)(xy)a1 y x+ax y a12 a，a2 a 14，即a2 a 30，解得a1，故选C.,反思感悟求参数的值或取值范围时，要观察题目的特点，利用基本不等式确定等号成立的条件，从而得到参数的值或取值范围,【对点训练】1设x0，y0，且 2 x+3 y 1，若3x2ym22m恒成立，则实数m的取值范围是()A(，6 4，+B(，4 6，+C(6，4)D(4，6),答案：C,解析：2 x+3 y 1，3x2y(3x2y)2 x+3 y 12 4y x+9x y 122 4y x 9x y 24，当且仅当 x=4，y=6 时取等号，m22m24，6m4.,2若ABC的内角满足3sin Asin Bsin C，则cos A的最小值是()A 2 3 B 7 9 C 1 3 D 5 9,答案：B,解析：由题意结合正弦定理有3abc，结合余弦定理可得cos A b 2+c 2 a 2 2bc b 2+c 2 b+c 3 2 2bc 8 9 b 2+8 9 c 2 2 9 bc 2bc 8 9 b 2+8 9 c 2 2bc 1 9 2 8 9 b 8 9 c 2bc 1 9 7 9.当且仅当bc时等号成立综上可得，cos A的最小值是 7 9.,考点三基本不等式的实际应用应用性例6小王于年初用50万元购买一辆大货车，第一年因缴纳各种费用需支出6万元，从第二年起，每年都比上一年增加支出2万元，假定该车每年的运输收入均为25万元小王在该车运输累计收入超过总支出后，考虑将大货车作为二手车出售，若该车在第x年年底出售，其销售价格为(25x)万元(国家规定大货车的报废年限为10年)(1)大货车运输到第几年年底，该车运输累计收入超过总支出？(2)在第几年年底将大货车出售，能使小王获得的年平均利润最大？(利润累计收入销售收入总支出),解析：(1)设大货车运输到第x年年底，该车运输累计收入与总支出的差为y万元，则y25x6xx(x1)50 x 2 20 x50(00，可得105 2 x10.因为2105 2 3，所以大货车运输到第3年年底该车运输累计收入超过总支出(2)因为利润累计收入销售收入总支出，所以二手车出售后，小王的年平均利润为 y+25x x 19 x+25 x 192 25 9，当且仅当x 25 x，即x5时，等号成立，所以小王应当在第5年年底将大货车出售，能使小王获得的年平均利润最大,反思感悟利用基本不等式解决实际问题的步骤(1)根据题意设出相应变量，一般把要求最值的变量设为函数；(2)建立相应的函数关系式，确定函数的定义域；(3)在定义域内，求函数的最值；(4)回到实际问题中，写出实际问题的答案,【对点训练】网店和实体店各有利弊，两者的结合将在未来一段时期内，成为商业的一个主要发展方向某品牌行车记录仪支架销售公司从2019年1月起开展网络销售与实体店体验安装结合的销售模式根据几个月运营发现，产品的月销量x万件与投入实体店体验安装的费用t万元之间满足函数关系式x3 2 t+1.已知网店每月固定的各种费用支出为3万元，产品每1万件进货价格为32万元，若每件产品的售价定为“进货价的150%”与“平均每件产品的实体店体验安装费用的一半”之和，则该公司最大月利润是_万元,37.5,解析：由题意知t 2 3x 1(1x3)，设该公司的月利润为y万元，则y 32150%+t 2x x32x3t16x t 2 316x 1 3x+1 2 345.5 16 3x+1 3x 45.52 16 37.5，当且仅当x 11 4 时取等号，即最大月利润为37.5万元,微专题27 均值不等式的向量形式,我们知道，a2b22ab(a，bR)以及 a+b 2 ab(a，bR)是两个应用广泛的均值不等式，一种有趣的想法是：这两个不等式可以类比到向量中去吗？由(ab)2|ab|20不难得到a2b22ab，当且仅当ab时等号成立但将 a+b 2 ab(a，bR)简单地类比为+2 就不行了，由于该不等式左边为向量，右边为数量，故其无意义，因此我们需要调整角度，看能否获得有用的结果,注意到 a+b 2 ab(a，bR)a+b 2 2 ab(a，bR)，而不等式(ab)2ab左右两边都是数量，因而可以比较大小事实上，由(ab)2(ab)24ab|ab|24ab4ab可得+2 2 ab，当且仅当ab时等号成立这样，我们就得到如下两个结论：定理1设a，b是两个向量，则a2b22ab，当且仅当ab时等号成立定理2设a，b是两个向量，则+2 2 ab，当且仅当ab时等号成立,例1若平面向量a，b满足|2ab|3，则ab的最小值是_,解析：方法一由定理1得32|2ab|2(2ab)2(2a)2b24ab2(2ab)4ab8ab，所以ab 9 8，当且仅当b2a时等号成立，故ab的最小值是 9 8.方法二由定理2得2a(b)2 2 2 2 2 4 9 4，则ab 9 8，当且仅当b2a时等号成立故ab的最小值是 9 8.,说明本题可推广至一般形式：若平面向量a，b满足：|ab|m(m0)，则当0时，ab的最大值为 m 2 4；当0时，ab的最小值为 m 2 4.,例2已知a，b满足|a|1，(ab)(a2b)0，则|b|的最小值为_,1 2,解析：引入正参数，由(ab)(a2b)0得a2ab2b20，又|a|1，则12b2ab，12b2ab 1 2 2+1 2 1 2+1 2，当且仅当a2 1 b2，即b22时等号成立所以122ab 1 2 2+1 2 1 2+1 2，解得|b|1 2，故|b|的最小值为 1 2.,例3已知a，b是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量c满足(ac)(bc)0，求|c|的最大值,解析：由(ac)(bc)0得c2c(ab)，由定理1及已知条件得c2c(ab)1 2 c2(ab)2 1 2(c2a2b2)1 2(c22)，解得|c|22，故|c|的最大值是 2.,拓展1已知a，b是平面内夹角为的两个单位向量，若向量c满足(ac)(bc)0，则|c|的最大值是 1 cos 2.拓展2已知a，b是平面内两个互相垂直的向量，且|a|m，|b|n，若向量c满足(ac)(bc)0，则|c|的最大值是 m 2+n 2.,例4平面上三点A，B，C满足 AB BC 0，求 AC 2 1 AB BC 的最小值,解析：由定理2得0 AB BC AB+BC 2 2 1 4 AC 2，则 AC 2 1 AB BC AC 2 4 AC 2|AC|2 4 AC 2 2|AC|2 AC 4，故当且仅当 AB BC，且|AC|2 时，AC 2 1 AB BC 取得最小值4.,例5设a，b满足a2abb23，求a2abb2的取值范围,解析：由定理1得ab 2+2 2，所以ab 3 2，解得ab1.又由定理1得(a)b 2+2 2，所以ab 2+2 2 3 2，解得ab3.所以3ab1.因为a2abb2(3ab)ab32ab，所以1a2abb29.,名师点评以上五道例题从不同角度为我们初步展示了定理1、定理2的魅力，它们微小平凡，对破解难题却极其有效不过，追求它们更广泛的应用前景固然让人心动，但更有价值的则是获得它们的思维过程类比是打开发现之门的金钥匙，但如何用好这把钥匙却值得我们长久的思考,