i2yty11.7.pptx

第七节二项分布、超几何分布、正态分布,教材回扣夯实“四基”,题型突破提高“四能”,教材回扣夯实“四基”,基础知识1.n重伯努利试验与二项分布(1)n重伯努利试验把只包含两个可能结果的试验叫做_将一个伯努利试验独立地重复进行n次所组成的随机试验称为n重伯努利试验(2)二项分布一般地，在n重伯努利试验中，设每次试验中事件A发生的概率为p(0p1)，用X表示事件A发生的次数，则X的分布列为P(Xk)C n k pk(1p)nk，k0，1，2，n，则称随机变量X服从二项分布，记作_(3)两点分布与二项分布的均值、方差若随机变量X服从两点分布，则E(X)_，D(X)_若XB(n，p)，则E(X)_，D(X)_,伯努利试验,XB(n，p),p,p(1p),np,np(1p),【微点拨】(1)判断一个随机变量是否服从二项分布的两个关键点：在一次试验中，事件A发生与不发生，二者必居其一，且A发生的概率不变；试验可以独立重复进行n次(2)两点分布(01分布)和二项分布的关系：两点分布是一种特殊的二项分布，即是n1的二项分布；二项分布可以看作两点分布的一般形式,2超几何分布一般地，假设一批产品共有N件，其中有M件次品从N件产品中随机抽取任取n件(不放回)，用X表示抽取的n件产品中的次品数，则X的分布列为P(Xk)，km，m1，m2，r，其中n，M，NN*，MN，nN，mmax0，nNM，rminn，M如果随机变量X的分布列具有上式的形式，那么称随机变量X服从超几何分布,【微点拨】超几何分布与二项分布的关系,3.正态分布(1)正态曲线函数f(x)1 2 e x 2 2 2，xR，其中R，0为参数，我们称f(x)为正态密度函数，称它的图象为正态分布密度曲线，简称正态曲线特别地，当0，1时，相应曲线称为标准正态曲线,(2)正态曲线特点曲线位于x轴上方，与x轴不相交曲线与x轴之间的区域的面积为_曲线是单峰的，它关于直线_对称曲线在x处达到峰值(最大值)1 2.当一定时，曲线的位置由确定，曲线随着的变化而沿x轴平移,1,x,当取定值时，正态曲线的形状由确定，较小时，峰值高，曲线“瘦高”，表示随机变量X的分布比较集中；较大时，峰值低，曲线“矮胖”，表示随机变量X的分布比较分散，如图(2)所示,(3)正态分布的定义及表示若随机变量X的概率分布密度函数为f(x)1 2 e x 2 2 2，xR，则称随机变量X服从正态分布，记为_正态总体在三个特殊区间内取值的概率值P(X)_P(2X2)_P(3X3)_,XN(，2),0.682 7,0.954 5,0.997 3,【微点拨】1若X服从正态分布，即XN(，2)，要充分利用正态曲线的关于直线X对称和曲线与x轴之间的面积为1.2在实际应用中，通常认为服从于正态分布N(，2)的随机变量X只取3，3中的值，这在统计学中称为3原则,基本技能、思想、活动经验题组一思考辨析(正确的打“”，错误的打“”)1.二项分布是一个概率分布，其公式相当于(ab)n二项展开式的通项，其中ap，b1p.()2从4名男演员和3名女演员中选出4名，其中女演员的人数X服从超几何分布()3正态分布中的参数和完全确定了正态分布，参数是正态分布的均值，是正态分布的标准差()4一个随机变量如果是众多的、互不相干的、不分主次的偶然因素作用结果之和，它就服从或近似服从正态分布(),题组二教材改编5设随机变量XB 6，1 2，则P(X3)等于()A 5 16 B 3 16 C 5 8 D 3 8,答案：A,解析：因为XB 6，1 2，所以由二项分布可得，P(X3)6 3 1 2 3 1 1 2 3 5 16.故选A.,6若随机变量XN(，2)，且P(X5)P(X1)0.2，则P(2X5)_,0.3,解析：P(X5)P(X1)，51 2 2.P(2X5)1 2 P(1X5)1 2(10.20.2)0.3.,题组三易错自纠7箱子里有5个黑球，4个白球，每次随机取出一个球，若取出黑球，则放回箱中，重新取球，若取出白球，则停止取球，那么在第4次取球之后停止的概率为().5 3 4 1 5 4 B 5 9 3 4 9.3 5 1 4.4 1 5 9 3 4 9,答案：B,解析：由题意知，第四次取球后停止是当且仅当前三次取的球是黑球，第四次取的球是白球的情况，此事件发生的概率为 5 9 3 4 9.故选B.,8已知随机变量X服从正态分布N(3，1)，且P(X2c1)P(Xc3)，则c_,4 3,解析：因为XN(3，1)，所以正态曲线关于直线x3对称，且P(X2c1)P(Xc3)，所以2c1c323，所以c 4 3.,题型突破提高“四能”,题型一二项分布及其应用例12022山东师大附中月考某调研机构就该市工薪阶层对“楼市限购令”的态度进行调查，抽调了5 000名市民，他们月收入人数分布表和对“楼市限购令”赞成人数如下表,(1)若从抽调的5 000名市民中随机选取一名市民，求该市民赞成“楼市限购令”的概率；,解析：(1)由数据可知，在抽调的5 000名市民中，有4008001 20041499873 000名，由频率估计概率，所以从抽调的5 000名市民中随机选取一名市民，该市民赞成“楼市限购令”的概率为P 3 000 5 000 3 5；,(2)依据上表中的数据，若从该市工薪阶层随机选取两人进行调查，记赞成“楼市限购令”的人数为X，求X的分布列和数学期望；,解析：(2)由(1)知，市民赞成“楼市限购令”的概率为P 3 5，记赞成“楼市限购令”的人数为X，则XB 2，3 5，则X的可能取值为0，1，2，那么P(X0)2 0 3 5 0 2 5 2 4 25，P(X1)2 1 3 5 1 2 5 1 12 25，P(X2)2 2 3 5 2 2 5 0 9 25，所以X的分布列为则E(X)0 4 25 1 12 25 2 9 25 6 5；,(3)若从抽调的收入在30，50)(百元)的市民中随机抽取两名，记赞成“楼市限购令”的人数为X1，期望记作E(X1)；若从抽调的收入在50，90)(百元)的市民中随机抽取两名，记赞成“楼市限购令”的人数为X2，期望记作E(X2)，比较E(X1)与E(X2)的大小关系(直接写出结论即可),解析：(3)由题意得：因为X1B 2，4 5，X2B 2，4 5，E(X1)E(X2),类题通法二项分布的解题策略,巩固训练1一家医药研究所从中草药中提取并合成了甲、乙两种抗“H病毒”的药物，经试验，服用甲、乙两种药物痊愈的概率分别为 1 2，1 3，现已进入药物临床试用阶段，每个试用组由4位该病毒的感染者组成，其中2人试用甲种抗病毒药物，2人试用乙种抗病毒药物，如果试用组中，甲种抗病毒药物治愈人数超过乙种抗病毒药物的治愈人数，那么称该组为“甲类组”(1)求一个试用组为“甲类组”的概率；,解析：(1)设Ai表示事件“一个试用组中，服用甲种抗病毒药物有效的有i人”，i0，1，2，Bj表示事件“一个试用组中，服用乙种抗病毒药物有效的有j人”，j0，1，2，依题意有P(A1)2 1 2 1 2 1 2，P(A2)1 2 1 2 1 4，P(B0)2 3 2 3 4 9，P(B1)2 1 3 2 3 4 9，故一个试用组为“甲类组”的概率为PP(B0A1)P(B0A2)P(B1A2)4 9 1 2+4 9 1 4+4 9 1 4 4 9；,(2)观察3个试用组，用表示这3个试用组中“甲类组”的个数，求的分布列和期望,解析：(2)的可能取值为0，1，2，3，且B 3，4 9，则P(0)3 0 1 4 9 3 125 729，P(1)3 1 4 9 1 4 9 2 100 243，P(2)3 2 4 9 2 1 4 9 80 243，P(3)4 9 3 64 729，故的分布列为E()4 3.,题型二超几何分布及其应用例2某高中学校德育处为了调查学生对“国安法”的关注情况，在全校组织了“国家安全知多少”的知识问卷测试，并从中随机抽取了12份问卷，得到其测试成绩(百分制)如下：52，63，67，68，72，76，76，76，82，88，93，94.(1)写出该样本的中位数，若该校共有3 000名学生，试估计该校测试成绩在70分以上的人数；,解析：(1)由已知数据可得中位数为76，样本中70分以上的所占比例为 8 12 2 3，故可估计该校测试成绩在70分以上的约为3 000 2 3 2 000(人)；,(2)从所抽取的70分以上的学生中再随机选取4人，记表示测试成绩在80分以上的人数，求的分布列和数学期望,解析：(2)由题意可得的可能取值为0，1，2，3，4.P(0)4 0 4 4 8 4 1 70，P(1)4 1 4 3 8 4 16 70 8 35，P(2)4 2 4 2 8 4 36 70 18 35，P(3)4 3 4 1 8 4 16 70 8 35，P(4)4 4 4 0 8 4 1 70，所以的分布列为E()0 1 70 1 8 35 2 18 35 3 8 35 4 1 70 2.,类题通法求超几何分布的分布列的步骤,巩固训练2为了解学生自主学习期间完成数学套卷的情况，一名教师对某班级的所有学生进行了调查，调查结果如下表(1)从这个班的学生中任选一名男生，一名女生，求这两名学生完成套卷数之和为4的概率；,解析：(1)设事件A为“从这个班级的学生中随机选取一名男生，一名女生，这两名学生完成套卷数之和为4”，由题意可知P(A)13+41 128 7 96；,(2)若从完成套卷数不少于4的学生中任选4人，设选到的男学生人数为X，求随机变量X的分布列,解析：(2)完成套卷数不少于4的学生共8人，其中男学生人数为4人，故X的取值为0，1，2，3，4.由题意可得P(X0)4 4 8 4 1 70；P(X1)4 1 4 3 8 4 16 70 8 35；P(X2)4 2 4 2 8 4 36 70 18 35；P(X3)4 3 4 1 8 4 16 70 8 35；P(X4)4 4 8 4 1 70.所以随机变量X的分布列为,题型三正态分布及其应用角度1 正态分布的概率计算例3(1)2022安徽蚌埠模拟已知随机变量X服从正态分布N(2，2)，且P(X3)1 9，则P(1X2)()A 1 6 B 1 4 C 1 3 D 1 2,答案：(1)A,解析：(1)因为随机变量X服从正态分布N(2，2)，由对称性可知，P(X3)，又P(X3)1 9，所以P(X3)1 3，故P(13 2 1 1 3 1 3 2 1 6.故选A.,(2)某校在一次月考中有900人参加考试，数学考试的成绩服从正态分布XN(90，a2)(a0，试卷满分150分)，统计结果显示数学考试成绩在70分到110分之间的人数约为总人数的 3 5，则此次月考中数学考试成绩不低于110分的学生约有_人,180,解析：(2)因为数学成绩服从正态分布XN(90，a2)，所以其正态分布曲线关于直线x90对称，又因为成绩在70分到110分之间的人数约为总人数的 3 5，由对称性知成绩在110分以上的人数约为总人数的 1 2 1 3 5 1 5，所以此次数学考试成绩不低于110分的学生约有 1 5 900180(人),类题通法正态分布下两类常见的概率计算(1)利用正态分布密度曲线的对称性研究相关概率问题，涉及的知识主要是正态曲线关于直线x对称，曲线与x轴之间的面积为1.(2)利用3原则求概率问题时，要注意把给出的区间或范围与正态变量的，进行对比联系，确定它们属于，2，2，3，3中的哪一个,巩固训练3(1)2022辽宁锦州模拟已知随机变量X服从正态分布N(，2)，若P(x1)P(x5)1，则()A1 B1C2 D2,答案：(1)D,解析：(1)因为随机变量X服从正态分布N(，2)，对称轴为X，又P(X1)P(x5)1，而P(X1)P(x1)1，所以P(X5)P(X1)，所以5和1关于对称轴对称，则 5+1 2 2，故选D.,(2)2022广东揭阳模拟某地市在一次测试中，高三学生数学成绩服从正态分布N(80，2)，已知P(6080)0.3，若按成绩分层抽样的方式取100份试卷进行分析，则应从100分以上的试卷中抽取()A10份 B15份C20份 D30份,答案：C,解析：(2)可知正态曲线的对称轴为x80，得P(80100)0.50.30.2，应从100分以上的试卷中抽取1000.220.故选C.,角度2 正态分布的实际应用例42022江苏南京模拟“公平正义”是社会主义和谐社会的重要特征，是社会主义法治理念的价值追求“考试”作为一种公平公正选拔人才的有效途径，正被广泛采用某单位准备通过考试(按照高分优先录取的原则)录用300名职员，其中275个高薪职位和25个普薪职位实际报名人数为2 000名，考试满分为400分本次招聘考试的命题和组考非常科学，是一次成功的考试，考试成绩服从正态分布考试后考生成绩的部分统计结果如下：考试平均成绩是180分，360分及其以上的高分考生30名,参考资料：(1)当XN(，2)时，令Y X，则YN(0，1)(2)当YN(0，1)时，P(Y2.17)0.985，P(Y1.28)0.900，P(Y1.09)0.863，P(Y1.04)0.85.,(1)求最低录取分数(结果保留为整数)；,解析：(1)设考生的成绩为X，则由题意可得X应服从正态分布，即XN(，2)，令Y X180，则YN(0，1)由360分及以上高分考生30名可得P(X360)30 2 000，即P(X360)1 30 2 000 0.985，即有P X 360180 0.985，则 360180 2.17，可得83，可得XN(180，832)，设最低录取分数线为x0，则P(Xx0)P Y x 0 180 83 300 2 000，即有P Y x 0 180 83 1 300 2 000 0.85，即有 x 0 180 83 1.04，可得x0266.32，即最低录取分数线为266；,(2)考生甲的成绩为286分，若甲被录取，能否获得高薪职位？请说明理由,解析：(2)考生甲的成绩286267，所以能被录取，P(X286)P Y 286180 83 P(Y1.28)0.90，表明不低于考生甲的成绩的人数大约为总人数的10.900.10，2 0000.10200，即考生甲大约排在第200名，排在前275名之前，所以能被录取为高薪职位,类题通法解答正态分布的实际应用题，其关键是如何转化，同时应熟练掌握正态分布在(，(2，2，(3，3三个区间内取值的概率在此过程中会用到归纳思想和数形结合思想,巩固训练4为了监控生产某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取16个零件，并测量其尺寸(单位：cm)根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布N(，2)(1)假设生产状态正常，记X表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在3，3之外的零件数，求P(X1)及X的均值,解析：(1)抽取的一个零件的尺寸在3，3之内的概率约为0.997 3，从而零件的尺寸在3，3之外的概率约为0.002 7，故XB(16，0.002 7)因此P(X1)1P(X0)10.997 3160.042 3.E(X)160.002 70.043 2.,(2)一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在3，3之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查试说明上述监控生产过程方法的合理性；,解析：(2)如果生产状态正常，一个零件尺寸在3，3之外的概率只有0.002 7，一天内抽取的16个零件中，出现尺寸在3，3之外的零件的概率只有0.042 3，发生的概率很小，因此一旦发生这种情况，就有理由认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查，可见上述监控生产过程的方法是合理的,下面是检验员在一天内抽取的16个零件的尺寸：995，10.12，9.96，9.96，10.01，9.92，9.98，10.04，10.26，9.91，10.13，10.02，9.22，10.04，10.05，9.95.经计算得 x 9.97，s0.212，其中xi为抽取的第i个零件的尺寸，i1，2，16.用样本平均数 x 作为的估计值，用样本标准差s作为的估计值，利用估计值判断是否需对当天的生产过程进行检查？剔除3，3之外的数据，用剩下的数据估计和(精确到0.01)附：若随机变量Z服从正态分布N(，2)，则P(3Z3)0.997 3，0.997 3160.957 7，0.008 0.09.,解析：由 x 9.97，s0.212，得的估计值为 9.97，的估计值为 0.212，由样本数据可以看出有一个零件的尺寸在 3，3 之外，因此需对当天的生产过程进行检查剔除 3，3 之外的数据9.22，剩下数据的平均数为 1 15(169.979.22)10.02.因此的估计值为10.02.剔除 3，3 之外的数据9.22，剩下数据的样本方差为 1 15 0.212216169.9729.222210.02(169.979.22)10.022150.008，因此的估计值为 0.008 0.09.,