第4课时 切线长定理及三角形的内切圆.ppt

第27章 圆,27.2 与圆有关的位置关系 第4课时 切线 切线长定理及三角形的内切圆,学习目标,1.掌握切线长的定义及切线长定理.（重点）2.初步学会运用切线长定理进行计算与证明.（难点）,导入新课,情境引入,同学们玩过空竹和悠悠球吗？在空竹和悠悠球的旋转的那一瞬间，你能从中抽象出什么样数学图形？,讲授新课,互动探究,问题1 上节课我们学习了过圆上一点作已知圆的切线(如左图所示)，如果点P是圆外一点，又怎么作该圆的切线呢？过圆外的一点作圆的切线，可以作几条？,A,B,1.切线长的定义：切线上一点到切点之间的线段的长叫作这点到圆的切线长,A,O,切线是直线，不能度量.,切线长是线段的长，这条线段的两个端点分别是圆外一点和切点，可以度量,2.切线长与切线的区别在哪里？,知识要点,问题2 PA为O的一条切线，沿着直线PO对折，设圆上与点A重合的点为B,OB是O的一条半径吗？,PB是O的切线吗？,（利用图形轴对称性解释）,PA、PB有何关系？,APO和BPO有何关系？,B,P,O,A,切线长定理:过圆外一点作圆的两条切线，两条切线长相等.圆心与这一点的连线平分两条切线的夹角.,PA、PB分别切O于A、B,PA=PB,OPA=OPB,几何语言:,切线长定理为证明线段相等、角相等提供了新的方法.,知识要点,已知，如图PA、PB是O的两条切线，A、B为切点.求证：PA=PB，APO=BPO.,证明：PA切O于点A，OAPA.,同理可得OBPB.,OA=OB，OP=OP，,RtOAPRtOBP，,PA=PB，APO=BPO.,推理验证,想一想：若连结两切点A、B，AB交OP于点M.你又能得出什么新的结论?并给出证明.,OP垂直平分AB.,证明：PA，PB是O的切线,点A，B是切点 PA=PB，OPA=OPB PAB是等腰三角形，PM为顶角的平分线 OP垂直平分AB.,M,想一想：若延长PO交O于点C，连结CA、CB，你又能得出什么新的结论?并给出证明.,证明：PA，PB是O的切线,点A，B是切点，PA=PB，OPA=OPB.PC=PC.PCA PCB，AC=BC.,CA=CB,C,典例精析,例1 已知：如图，四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA与O分别相切与点E、F、G、H.,求证：AB+CD=AD+BC.,O,证明：AB、BC、CD、DA与O分别相切与点E、F、G、H，,E,F,G,H,AE=AH，BE=BF，CG=CF，DG=DH.,AE+BE+CG+DG=AH+BF+CF+DH.,AB+CD=AD+BC.,例2 为了测量一个圆形铁环的半径，某同学采用了如下办法：将铁环平放在水平桌面上，用一个锐角为30的三角板和一个刻度尺，按如图所示的方法得到相关数据，进而可求得铁环的半径，若三角板与圆相切且测得PA=5cm，求铁环的半径,解析：欲求半径OP，取圆的圆心为O，连OA，OP，由切线性质知OPA为直角三角形，从而在RtOPA中由勾股定理易求得半径,在RtOPA中，PA5，POA30，,Q,解：过O作OQAB于Q，设铁环的圆心为O，连接OP、OA.,AP、AQ为O的切线，AO为PAQ的平分线，即PAOQAO.,又BAC60，PAOQAOBAC180，PAOQAO60.,即铁环的半径为,1.PA、PB是O的两条切线，A、B为切点，直线OP交O于点D、E，交AB于C.,（1）写出图中所有的垂直关系；,OAPA，OB PB，AB OP.,（3）写出图中所有的全等三角形；,AOP BOP，AOC BOC，ACP BCP.,（4）写出图中所有的等腰三角形.,ABP AOB,（2）写出图中与OAC相等的角；,OAC=OBC=APC=BPC.,练一练,2.PA、PB是O的两条切线，A,B是切点，OA=3.,（1）若AP=4,则OP=;,（2）若BPA=60,则OP=.,5,6,14,70,解析：连接OA、OB、OC、OD和OE.PA、PB是O的两条切线，点A、B是切点，PA=PB=7.PAO=PBO=90.AOB=360-PAO-PBO-P=140.,又DC、DA是O的两条切线，点C、A是切点，DC=DA.同理可得CE=CB.,D，E是切线PA，PB上的点，,DOC=DOA=AOC.,DOE=DOC+COE=(AOC+COB)=70.,COE=BOE=AOC.,SPDE=PD+DE+PE=PD+DC+CE+PE=PA+PB=14.,切线长问题辅助线添加方法：（1）分别连接圆心和切点；（2）连接两切点；（3）连接圆心和圆外一点.,方法归纳,小明在一家木料厂上班，工作之余想对厂里的三角形废料进行加工：裁下一块圆形用料，怎样才能使裁下的圆的面积尽可能大呢？,互动探究,问题1 如果最大圆存在，它与三角形三边应有怎样的位置关系？,最大的圆与三角形三边都相切,问题2 如何求作一个圆，使它与已知三角形的三边都相切？,(1)如果半径为r的I与ABC的三边都相切，那么圆心I应满足什么条件？,(2)在ABC的内部，如何找到满足条件的圆心I呢？,已知：ABC.求作：和ABC的各边都相切的圆.,作法：1.作B和C的平分线BM和CN，交点为O.2.过点O作ODBC.垂足为D.3.以O为圆心，OD为半径作圆O.,O就是所求的圆.,做一做,1.与三角形三边都相切的圆叫作三角形的内切圆.,2.三角形内切圆的圆心叫做这个三角形的内心.,