北京市首师附2023学年高三最后一模数学试题（含解析）.doc

2023学年高考数学模拟测试卷 注意事项 1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回． 2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置． 3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符． 4．作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效． 5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗． 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．以下两个图表是2019年初的4个月我国四大城市的居民消费价格指数（上一年同月）变化图表，则以下说法错误的是（ ） （注：图表一每个城市的条形图从左到右依次是1、2、3、4月份；图表二每个月份的条形图从左到右四个城市依次是北京、天津、上海、重庆） A．3月份四个城市之间的居民消费价格指数与其它月份相比增长幅度较为平均 B．4月份仅有三个城市居民消费价格指数超过102 C．四个月的数据显示北京市的居民消费价格指数增长幅度波动较小 D．仅有天津市从年初开始居民消费价格指数的增长呈上升趋势 2．过抛物线的焦点作直线交抛物线于两点，若线段中点的横坐标为3，且，则抛物线的方程是( ) A． B． C． D． 3．已知函数是定义在R上的奇函数，且满足，当时，（其中e是自然对数的底数），若，则实数a的值为( ) A． B．3 C． D． 4．一小商贩准备用元钱在一批发市场购买甲、乙两种小商品，甲每件进价元，乙每件进价元，甲商品每卖出去件可赚元，乙商品每卖出去件可赚元.该商贩若想获取最大收益，则购买甲、乙两种商品的件数应分别为（ ） A．甲件，乙件 B．甲件，乙件 C．甲件，乙件 D．甲件，乙件 5．在明代程大位所著的《算法统宗》中有这样一首歌谣，“放牧人粗心大意，三畜偷偷吃苗青，苗主扣住牛马羊，要求赔偿五斗粮，三畜户主愿赔偿，牛马羊吃得异样．马吃了牛的一半，羊吃了马的一半．”请问各畜赔多少？它的大意是放牧人放牧时粗心大意，牛、马、羊偷吃青苗，青苗主人扣住牛、马、羊向其主人要求赔偿五斗粮食（1斗=10升），三畜的主人同意赔偿，但牛、马、羊吃的青苗量各不相同．马吃的青苗是牛的一半，羊吃的青苗是马的一半．问羊、马、牛的主人应该分别向青苗主人赔偿多少升粮食？（ ） A． B． C． D． 6．若平面向量，满足，则的最大值为（ ） A． B． C． D． 7．设全集，集合，，则集合（ ） A． B． C． D． 8．定义在上的函数满足，则（） A．-1 B．0 C．1 D．2 9．函数的最小正周期是，则其图象向左平移个单位长度后得到的函数的一条对称轴是（ ） A． B． C． D． 10．《九章算术》中将底面是直角三角形的直三棱柱称为“堑堵”.某“堑堵”的三视图如图，则它的外接球的表面积为（ ） A．4π B．8π C． D． 11．已知椭圆的左、右焦点分别为、，过点的直线与椭圆交于、两点.若的内切圆与线段在其中点处相切，与相切于点，则椭圆的离心率为（ ） A． B． C． D． 12．已知命题，那么为（ ） A． B． C． D． 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13．如图，两个同心圆的半径分别为和，为大圆的一条 直径，过点作小圆的切线交大圆于另一点，切点为，点为劣弧上的任一点（不包括 两点），则的最大值是__________． 14．已知x，y＞0，且，则x+y的最小值为_____． 15．过点，且圆心在直线上的圆的半径为__________． 16．已知，若，则a的取值范围是______． 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．（12分）武汉有“九省通衢”之称，也称为“江城”，是国家历史文化名城.其中著名的景点有黄鹤楼、户部巷、东湖风景区等等. （1）为了解“五·一”劳动节当日江城某旅游景点游客年龄的分布情况，从年龄在22岁到52岁的游客中随机抽取了1000人，制成了如图的频率分布直方图： 现从年龄在内的游客中，采用分层抽样的方法抽取10人，再从抽取的10人中随机抽取4人，记4人中年龄在内的人数为，求； （2）为了给游客提供更舒适的旅游体验，该旅游景点游船中心计划在2020年劳动节当日投入至少1艘至多3艘型游船供游客乘坐观光.由2010到2019这10年间的数据资料显示每年劳动节当日客流量（单位：万人）都大于1.将每年劳动节当日客流量数据分成3个区间整理得表： 劳动节当日客流量 频数（年） 2 4 4 以这10年的数据资料记录的3个区间客流量的频率作为每年客流量在该区间段发生的概率，且每年劳动节当日客流量相互独立. 该游船中心希望投入的型游船尽可能被充分利用，但每年劳动节当日型游船最多使用量（单位：艘）要受当日客流量（单位：万人）的影响，其关联关系如下表： 劳动节当日客流量 型游船最多使用量 1 2 3 若某艘型游船在劳动节当日被投入且被使用，则游船中心当日可获得利润3万元；若某艘型游船劳动节当日被投入却不被使用，则游船中心当日亏损0.5万元.记（单位：万元）表示该游船中心在劳动节当日获得的总利润，的数学期望越大游船中心在劳动节当日获得的总利润越大，问该游船中心在2020年劳动节当日应投入多少艘型游船才能使其当日获得的总利润最大？ 18．（12分）已知函数是减函数. （1）试确定a的值； （2）已知数列，求证：. 19．（12分）已知椭圆的右顶点为，为上顶点，点为椭圆上一动点． （1）若，求直线与轴的交点坐标； （2）设为椭圆的右焦点，过点与轴垂直的直线为，的中点为，过点作直线的垂线，垂足为，求证：直线与直线的交点在椭圆上． 20．（12分）唐诗是中国文学的瑰宝.为了研究计算机上唐诗分类工作中检索关键字的选取，某研究人员将唐诗分成7大类别，并从《全唐诗》48900多篇唐诗中随机抽取了500篇，统计了每个类别及各类别包含“花”、“山”、“帘”字的篇数，得到下表： 爱情婚姻 咏史怀古 边塞战争 山水田园 交游送别 羁旅思乡 其他 总计 篇数 100 64 55 99 91 73 18 500 含“山”字的篇数 51 48 21 69 48 30 4 271 含“帘”字的篇数 21 2 0 0 7 3 5 38 含“花”字的篇数 60 6 14 17 32 28 3 160 （1）根据上表判断，若从《全唐诗》含“山”字的唐诗中随机抽取一篇，则它属于哪个类别的可能性最大，属于哪个类别的可能性最小，并分别估计该唐诗属于这两个类别的概率； （2）已知检索关键字的选取规则为： ①若有超过95%的把握判断“某字”与“某类别”有关系，则“某字”为“某类别”的关键字； ②若“某字”被选为“某类别”关键字，则由其对应列联表得到的的观测值越大，排名就越靠前； 设“山”“帘”“花”和“爱情婚姻”对应的观测值分别为，，.已知，，请完成下面列联表，并从上述三个字中选出“爱情婚姻”类别的关键字并排名. 属于“爱情婚姻”类 不属于“爱情婚姻”类 总计 含“花”字的篇数 不含“花”的篇数 总计 附：，其中. 0.05 0.025 0.010 3.841 5.024 6.635 21．（12分）已知函数（）的图象在处的切线为（为自然对数的底数） （1）求的值； （2）若，且对任意恒成立，求的最大值. 22．（10分）某芯片公司为制定下一年的研发投入计划，需了解年研发资金投入量（单位：亿元）对年销售额（单位：亿元）的影响.该公司对历史数据进行对比分析，建立了两个函数模型:①，②，其中均为常数，为自然对数的底数． 现该公司收集了近12年的年研发资金投入量和年销售额的数据，，并对这些数据作了初步处理，得到了右侧的散点图及一些统计量的值．令，经计算得如下数据： （1）设和的相关系数为，和的相关系数为，请从相关系数的角度，选择一个拟合程度更好的模型； （2）（i）根据（1）的选择及表中数据，建立关于的回归方程（系数精确到0.01）； （ii）若下一年销售额需达到90亿元，预测下一年的研发资金投入量是多少亿元？ 附：①相关系数，回归直线中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：，； ② 参考数据：，，． 2023学年模拟测试卷参考答案（含详细解析） 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1、D 【答案解析】 采用逐一验证法，根据图表，可得结果. 【题目详解】 A正确，从图表二可知， 3月份四个城市的居民消费价格指数相差不大 B正确，从图表二可知， 4月份只有北京市居民消费价格指数低于102 C正确，从图表一中可知， 只有北京市4个月的居民消费价格指数相差不大 D错误，从图表一可知 上海市也是从年初开始居民消费价格指数的增长呈上升趋势 故选：D 【答案点睛】 本题考查图表的认识，审清题意，细心观察，属基础题. 2、B 【答案解析】 利用抛物线的定义可得,,把线段AB中点的横坐标为3,代入可得p值,然后可得出抛物线的方程. 【题目详解】 设抛物线的焦点为F,设点， 由抛物线的定义可知， 线段AB中点的横坐标为3，又，，可得， 所以抛物线方程为. 故选：B. 【答案点睛】 本题考查抛物线的定义、标准方程,以及简单性质的应用,利用抛物线的定义是解题的关键. 3、B 【答案解析】 根据题意，求得函数周期，利用周期性和函数值，即可求得. 【题目详解】 由已知可知，，所以函数是一个以4为周期的周期函数， 所以， 解得， 故选：B. 【答案点睛】 本题考查函数周期的求解，涉及对数运算，属综合基础题. 4、D 【答案解析】 由题意列出约束条件和目标函数，数形结合即可解决. 【题目详解】 设购买甲、乙两种商品的件数应分别，利润为元，由题意， 画出可行域如图所示， 显然当经过时，最大. 故选：D. 【答案点睛】 本题考查线性目标函数的线性规划问题，解决此类问题要注意判断，是否是整数，是否是非负数，并准确的画出可行域，本题是一道基础题. 5、D 【答案解析】 设羊户赔粮升,马户赔粮升,牛户赔粮升,易知成等比数列,,结合等比数列的性质可求出答案. 【题目详解】 设羊户赔粮升,马户赔粮升,牛户赔粮升,则成等比数列,且公比,则,故,,. 故选:D. 【答案点睛】 本题考查数列与数学文化,考查了等比数列的性质,考查了学生的运算求解能力,属于基础题. 6、C 【答案解析】 可根据题意把要求的向量重新组合成已知向量的表达，利用向量数量积的性质，化简为三角函数最值. 【题目详解】 由题意可得： ， ， ， 故选：C 【答案点睛】 本题主要考查根据已知向量的模求未知向量的模的方法技巧,把要求的向量重新组合成已知向量的表达是本题的关键点.本题属中档题. 7、C 【答案解析】 ∵集合，， ∴ 点睛：本题是道易错题，看清所问问题求并集而不是交集. 8、C 【答案解析】 推导出，由此能求出的值． 【题目详解】 ∵定义在上的函数满足， ∴，故选C． 【答案点睛】 本题主要考查函数值