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2018年中小学新任教师公开招聘考试 中学数学模拟题 一、单项选择题 1. 【答案】D。 解析：根据图像可知阴影部分为N∩CRM，由M=x|x>2可得CRM=x|-2≤x≤2；由N=x|x2-4x+3<0可得N=x|1<x<3；所以N∩CRM=x|1<x≤2,故选D. 2. 【答案】。 解析：由1a<1b可以得到1a-1b<0即b-aab<0，可以写为a-bab>0，此式子并不能推得a>b，同样的道理a>b也不能推得a-bab>0，所以“a>b”是“1a<1b”的既不充分也不必要条件. 3. 【答案】B。 解析：，而的一个原函数是，所以，。故正确答案选B。 4. 【答案】C。 解析：∵fx=fx-2,x>02x-1,x≤0, ∴flog27=flog27-4=2log27-4-1=716-1=-916，所以正确答案选C。 5. 【答案】B。 解析：A选项y=1x是奇函数，在(0,+∞)上单调递减，不正确，C选项是非奇非偶函数，D选项在(0,+∞)上单调递减，故正确答案选B。 6. 【答案】C。 【解析】D中幂函数y=xb，(0<b<1)在(0,+∞)上为增函数，又因为a<b，所以bb>ab，D错误；A中指数函数为y=ax，(0<a<1)减函数，因为a<b，所以aa>ab，所以A错误；B中指数函数为y=bx，(0<b<1)减函数，因为a<b，所以ba>bb，所以B错误。正确答案选C。 7. 【答案】。 解析：根据已知，要求yx最大值，即求过原点的直线y=kx的斜率k的最大值，由图可知，两条与圆相切的直线的斜率分别是最大值和最小值，由直线与圆相切可知，圆心到该直线距离为半径∴2k-2k2+1=2，4k2-8k+4=2k2+2，k=2±3，∴yx最大值为2+3。 8. 【答案】D。 解析：取到白球的概率为：23，则取到的两球都是白球的概率为23×23=49。 9. 【答案】A。 解析：z=2i2-i=2i(2+i)(2-i)(2+i)=-25+45i,z=-25-45i,正确答案为A 10. 【答案】C。 解析：=-2x+6-6+4x-2+9，所以x=-7. 二、填空题 11. 【答案】 解析: 由题意知：，，所以，又因为双曲线的焦点在轴上，所以的方程为。 12. 【答案】π2。 解析：因为被积函数表示以(-2,0)为圆心，1为半径的半圆，所以-3-11-(x+2)2dx=12π×12=π2 14. 逻辑推理、数学建模 【解析】数学学科核心素养：数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算和数据分析。 15. 必修课程、选择性必修课程和选修课程。 【解析】高中数学课程分为必修课程、选择性必修课程和选修课程。 三、简答题 16. 解析：（1）若a=-1，则fx=x3-x2-x+2，故f'(x)=3x2-2x-1，f'2=7,f2=4所以所求的切线方程是7x-y-10=0。 （2）f'(x)=3x2+2ax-a2=x+a3x-a=0,x=-a,x=a3，当a>0时，由f'(x)<0,-a<x<a3；f'(x)>0,x<-a或x>a3，所以f(x)的单调递减区间为(-a, a3)，单调递增区间为(-∞,-a)，(a3,+∞)；当a<0时，由f'(x)<0, a3<x<-a；f'(x)>0,x<a3或x>-a，所以f(x)的单调递减区间为(a3,-a)，单调递增区间为(-∞,a3)，(-a,+∞) 17. 【解析】证明∵an+1=4anan+2∴1an+1=an+24an=14+12an，∴1an+1-12=12(1an-12)，又∵a1=1∴1a1-12=12，∴数列1an-12是以12为首项，公比为12等比数列。 （2）由（1）可知1an-12=12×12n-1=12n,1an=12n+12，∴bn=nan-n2=n2n，∴Sn=12+122+⋯+n2n①，12Sn=122+⋯+n-12n+n2n+1②，②-①12Sn=12+122+⋯+12n-n2n+1，∴Sn=2-n+22n 18. 【解析】（1）设椭圆为x2a2+y2b2=1(a>b>0),根据题意得b=c=1所以a2=b2+c2=2，所以椭圆方程为x22+y2=1 （2）根据题意得直线l的方程为y=x-1，联立y=x-1x22+y2=1，得P、Q坐标为(0,-1)，(43,13)，故|PQ|=423,所以O到直线PQ的距离为22,所以△POQ的面积为12×423×22=23 （3）存在 假设在线段OF上存在点M(m,0)(0<m<1)，使得以MP, MQ为邻边的平行四边形是菱形，因为直线l与x轴不垂直，所以直线l的斜率存在，设y=k(x-1)(k≠0)，设P、Q坐标分别为x1,y1，x2,y2，则MP=x1-m,y1,MQ=x2-m,y2，由y=k(x-1)x22+y2=1，得1+2k2x2-4k2x+2k2-2=0，得x1+x2=4k22k2+1，x1∙x2=2k2-22k2+1，由于以以MP, MQ为邻边的平行四边形是菱形，故MP=MQ，设PQ的中点为N(2k22k2+1,-k2k2+1)，又k∙kMN=-1，所以m=k22k2+1=12+1k2，所以0<m<1。 19. 【解析】（1）证明：连接OE，∵AC⊥BD, AC⊥BE,BD∩BE=B ∴AC⊥平面BDE，又OE在平面BDE，∴PA⊥平面ABCD，∴AC⊥PA，又AC，OE，PA在平面PAC内，OE∥PA，又OE在平面BDE内，PA不在BDE内，∴PA∥平面BDE。 （2）∵BC∥AD，BC=2，AD=22，PA=3，且AB=CD，∴OB=OC=1，OA=OD=2，因为OE⊥面ABCD，分别以OB，OC，OE为x,y,z轴的正半轴建立空间直角坐标系，B(1,0,0)，C(0,1,0)，D(-2,0,0),P(0,-2,3), ∴CD=-2,-1,0,PC=0,-2,3,PB=1,2,-3,设平面PCD的法向量为n=(x, y, z),则n∙CD=0n∙PC=0∴-2x-y=03y-3z=0，取x=1,则y=z=-2, n=(1,-2,-2), ∴cos<PB,n>=1414, PB与面PCD所成角的正弦值为1414。 20. 【解析】（1）甲教师的引入存在优点也存在缺陷。优点是一开始复习了上节内容，巩固旧知，但是并没有进行新旧知识间的衔接过渡，并没有达到降低学生对新知识的认知难度的目的。 乙教师的引入存在优点也存在缺陷。优点是一开始复习了上节内容，巩固旧知，并联系生活实际让学生观察等边三角形的特点降低学生对新知识的认知难度。但是在巩固旧识时并没有合理的进行新旧知识之间的衔接过渡，使学生对等边三角形与等腰三角形之间的关系没有得到一个初步的感官认识。 （2）甲教师的教学方法存在优点也存在缺陷，在教学开始开门见山的介绍本课题，抛出问题，①什么样的三角形叫等边三角形？②等边三角形的三个内角都相等吗？③等边三角形是轴对称图形吗？引起学生的有意注意，使学生迅速进入学习状态，对本节内容的基本轮廓有了大致了解，但是没有进行合理的情景创设，将知识全盘塞给学生，剥夺了学生发现问题、提出问题进行解决问题的过程。无法激发学生学习新知识的兴趣，学生只能机械地配合教师教学。在进行等边三角形判定的教学过程中，教师没有做好充分的课前准备，预设学生在课堂中提出各种问题的突发情况，采取回避方式来应对学生提出“从角来说，我认为三个内角都是60°的三角形是等边三角形”这不符合新课程标准中对教师的要求。会限制学生思维，扼杀学生探求真理的欲望，不利于学生的成长。 乙教师的教学方法存在优点也存在缺陷。优点是充分发挥了学生地位，动手操作，小组合作探究，开放性问题等环节的设置，激发了学生开动脑筋自主探究的兴趣并能够调动学生参与到课堂教学活动的积极性。缺点在于教师对“等边三角形有什么性质？”这一开放性问题的提出并不能充分突出“等边三角形”这节的核心——通过与等腰三角形性质的探究过程迁移到对等边三角形性质的探究，为第二个开放性问题的解决造成了一定的阻碍。 （3）甲教师的学生在学习过程中，只是在机械的配合教师的提问，完成本节课的教学。甲教师在日常教学过程中没有注意给学生培养善于思考、提出问题、发现问题、解决问题的良好习惯的机会。导致学生学习的积极性不高，对学习内容存在疑问也不会及时提出。 乙教师的学生在学习过程中，动手操作能力、合作探究意识均很强，学习积极性高，对学习过程中存在的疑问，能够提出并善于通过自主探究合作交流解决问题。 21. 教学设计题 （1）教学目标 【知识与技能目标】 掌握证明三角形全等的边边边定理。 【过程与方法目标】 通过学生动手操作、合作交流方式，经历探索三角形全等条件的过程，提高了分析问题、解决问题的能力。 【情感态度与价值观目标】 通过探究，体会数学的合理性和严谨性，感受获得知识的成就感，激发学生学习数学的兴趣。 （2）教学重点：掌握三角形全等的边边边判定定理。 教学难点：探究边边边判定定理的过程。 （3）教学过程 （一）复习导入 复习两个三角形全等的性质。提出问题：如果两个三角形三条边分别相等、三个角分别相等，能够判定两个三角形全等呢？是不是一定要满足三条边分别相等三个角也分别相等，才能保证两个三角形全等吗？引出课题。 （二）新课讲授 1.分析满足一个或两个条件的情况 请同学们各自在练习本上任意画出一个△ABC再画一个△A’B’C’，使这两个三角形满足六个条件当中的一个或者两个，画出的两个三角形一定全等吗？教师先引导学生独立思考，然后给予时间和巡视，学生动手操作小组进行讨论能否判定两三角形全等，得出结论：满足一个条件即一个边或一个角，两个条件是两个边或两个角或一边一角，得到两三角形不一定全等。针对学生的不同回答，教师给予评价并总结。 2.分析满足三个条件的情况 教师明确本节课先来讨论三边分别相等能否判定两三角形全等。小组讨论画出两个三边相等的三角形（运用尺规画图，画法在PPT上有画法），将其中的一个剪下来放到另一个三角形上，看他们能全等吗？得出什么规律？学生讨论结束后，代表回答，相机评价，最后得出判定定理：三边分别相等的两个三角形全等。由此引申出三角形的稳定性与之相关。 （三）实践应用 在三角形全等的判定相关知识和应用的基础上，完成例1，学生板演。针对结果，相机评价并总结。 （四）课程小结 教师引导学生对本节课所学知识进行小结，学生畅谈本节课的收获，教师给予点评和补充。 （五）布置作业 1.完成课后关于边边边的证明题。 2.学生课后考虑，由三边分别相等来判断三角形全等的结论，可不可以通过作一个角等于已知角的方法来得到结论呢？请同学们思考一下，下节课师生一起交流。 五、板书设计 三角形全等的判定 1条件探究 2尺规作图 3得出结论 三边分别相等的两个三角形全等（简写成边边边或SSS）