北京市二十二中2023学年高三下学期第五次调研考试数学试题（含解析）.doc

2023学年高考数学模拟测试卷 注意事项: 1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。 2．答题时请按要求用笔。 3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。 4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。 5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．相传黄帝时代，在制定乐律时，用“三分损益”的方法得到不同的竹管，吹出不同的音调．如图的程序是与“三分损益”结合的计算过程，若输入的的值为1，输出的的值为（ ） A． B． C． D． 2．己知函数若函数的图象上关于原点对称的点有2对，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 3．在空间直角坐标系中，四面体各顶点坐标分别为：．假设蚂蚁窝在点，一只蚂蚁从点出发，需要在，上分别任意选择一点留下信息，然后再返回点．那么完成这个工作所需要走的最短路径长度是（ ） A． B． C． D． 4．正三棱柱中，，是的中点，则异面直线与所成的角为（ ） A． B． C． D． 5．已知抛物线的焦点为，准线与轴的交点为，点为抛物线上任意一点的平分线与轴交于，则的最大值为 A． B． C． D． 6．下列函数中，既是奇函数，又在上是增函数的是（ ）． A． B． C． D． 7．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ） A． B． C． D．84 8．已知平面向量，，满足：，，则的最小值为( ) A．5 B．6 C．7 D．8 9．已知，，，则a，b，c的大小关系为（ ） A． B． C． D． 10．某几何体的三视图如图所示，三视图是腰长为1的等腰直角三角形和边长为1的正方形，则该几何体中最长的棱长为（ ）． A． B． C．1 D． 11．已知函数，若，则的最小值为（ ） 参考数据： A． B． C． D． 12．若复数在复平面内对应的点在第二象限，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13．如图，已知圆内接四边形ABCD，其中，，，，则__________． 14．已知不等式的解集不是空集,则实数的取值范围是　；若不等式对任意实数恒成立，则实数的取值范围是___ 15．在各项均为正数的等比数列中，，且，成等差数列，则___________. 16．如图，在一个倒置的高为2的圆锥形容器中，装有深度为的水，再放入一个半径为1的不锈钢制的实心半球后，半球的大圆面、水面均与容器口相平，则的值为____________. 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．（12分）已知△ABC的两个顶点A,B的坐标分别为(,0),(,0),圆E是△ABC的内切圆,在边AC,BC,AB上的切点分别为P,Q,R,|CP|=2,动点C的轨迹为曲线G. （1）求曲线G的方程; （2）设直线l与曲线G交于M,N两点,点D在曲线G上,是坐标原点,判断四边形OMDN的面积是否为定值?若为定值,求出该定值;如果不是,请说明理由. 18．（12分）已知向量，函数． （1）求函数的最小正周期及单调递增区间； （2）在中，三内角的对边分别为，已知函数的图像经过点，成等差数列，且，求a的值． 19．（12分）已知圆,定点 ,为平面内一动点，以线段为直径的圆内切于圆，设动点的轨迹为曲线 （1）求曲线的方程 （2）过点的直线与交于两点，已知点，直线分别与直线交于两点，线段的中点是否在定直线上，若存在，求出该直线方程；若不是，说明理由. 20．（12分）已知椭圆，点为半圆上一动点，若过作椭圆的两切线分别交轴于、两点. （1）求证：； （2）当时，求的取值范围. 21．（12分）已知在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为(为参数.).以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为，曲线与直线其中的一个交点为，且点极径.极角 （1）求曲线的极坐标方程与点的极坐标； （2）已知直线的直角坐标方程为，直线与曲线相交于点(异于原点)，求的面积. 22．（10分）已知函数. （1）若是函数的极值点，求的单调区间； （2）当时，证明： 2023学年模拟测试卷参考答案（含详细解析） 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1、B 【答案解析】 根据循环语句，输入，执行循环语句即可计算出结果. 【题目详解】 输入，由题意执行循环结构程序框图，可得： 第次循环：，，不满足判断条件； 第次循环：，，不满足判断条件； 第次循环：，，满足判断条件；输出结果. 故选： 【答案点睛】 本题考查了循环语句的程序框图，求输出的结果，解答此类题目时结合循环的条件进行计算，需要注意跳出循环的判定语句，本题较为基础. 2、B 【答案解析】 考虑当时，有两个不同的实数解，令，则有两个不同的零点，利用导数和零点存在定理可得实数的取值范围. 【题目详解】 因为的图象上关于原点对称的点有2对， 所以时，有两个不同的实数解. 令，则在有两个不同的零点. 又， 当时，，故在上为增函数， 在上至多一个零点，舍. 当时， 若，则，在上为增函数； 若，则，在上为减函数； 故， 因为有两个不同的零点，所以，解得. 又当时，且，故在上存在一个零点. 又，其中. 令，则， 当时，，故为减函数， 所以即. 因为，所以在上也存在一个零点. 综上，当时，有两个不同的零点. 故选：B. 【答案点睛】 本题考查函数的零点，一般地，较为复杂的函数的零点，必须先利用导数研究函数的单调性，再结合零点存在定理说明零点的存在性，本题属于难题. 3、C 【答案解析】 将四面体沿着劈开，展开后最短路径就是的边，在中，利用余弦定理即可求解. 【题目详解】 将四面体沿着劈开，展开后如下图所示： 最短路径就是的边． 易求得， 由，知 ， 由余弦定理知 其中， ∴ 故选：C 【答案点睛】 本题考查了余弦定理解三角形，需熟记定理的内容，考查了学生的空间想象能力，属于中档题. 4、C 【答案解析】 取中点，连接，，根据正棱柱的结构性质，得出//，则即为异面直线与所成角，求出，即可得出结果. 【题目详解】 解：如图，取中点，连接，， 由于正三棱柱，则底面， 而底面，所以， 由正三棱柱的性质可知，为等边三角形， 所以，且, 所以平面， 而平面，则， 则//，， ∴即为异面直线与所成角， 设，则，，， 则， ∴. 故选：C. 【答案点睛】 本题考查通过几何法求异面直线的夹角，考查计算能力. 5、A 【答案解析】 求出抛物线的焦点坐标，利用抛物线的定义，转化求出比值，， 求出等式左边式子的范围，将等式右边代入，从而求解． 【题目详解】 解：由题意可得，焦点F（1，0），准线方程为x＝−1， 过点P作PM垂直于准线，M为垂足， 由抛物线的定义可得|PF|＝|PM|＝x＋1， 记∠KPF的平分线与轴交于 根据角平分线定理可得， ， 当时，， 当时，， ， 综上：． 故选：A． 【答案点睛】 本题主要考查抛物线的定义、性质的简单应用，直线的斜率公式、利用数形结合进行转化是解决本题的关键．考查学生的计算能力，属于中档题． 6、B 【答案解析】 奇函数满足定义域关于原点对称且，在上即可. 【题目详解】 A：因为定义域为，所以不可能时奇函数，错误； B：定义域关于原点对称，且 满足奇函数，又，所以在上，正确； C：定义域关于原点对称，且 满足奇函数，，在上，因为，所以在上不是增函数，错误； D：定义域关于原点对称，且， 满足奇函数，在上很明显存在变号零点，所以在上不是增函数，错误； 故选：B 【答案点睛】 此题考查判断函数奇偶性和单调性，注意奇偶性的前提定义域关于原点对称，属于简单题目. 7、B 【答案解析】 画出几何体的直观图，计算表面积得到答案. 【题目详解】 该几何体的直观图如图所示： 故. 故选：. 【答案点睛】 本题考查了根据三视图求表面积，意在考查学生的计算能力和空间想象能力. 8、B 【答案解析】 建立平面直角坐标系，将已知条件转化为所设未知量的关系式，再将的最小值转化为用该关系式表达的算式，利用基本不等式求得最小值. 【题目详解】 建立平面直角坐标系如下图所示，设，，且，由于，所以. .所以 ，即. .当且仅当时取得最小值，此时由得，当时，有最小值为，即，，解得.所以当且仅当时有最小值为. 故选：B 【答案点睛】 本小题主要考查向量的位置关系、向量的模，考查基本不等式的运用，考查数形结合的数学思想方法，属于难题. 9、D 【答案解析】 与中间值1比较，可用换底公式化为同底数对数，再比较大小． 【题目详解】 ，，又，∴，即， ∴． 故选：D. 【答案点睛】 本题考查幂和对数的大小比较，解题时能化为同底的化为同底数幂比较，或化为同底数对数比较，若是不同类型的数，可借助中间值如0，1等比较． 10、B 【答案解析】 首先由三视图还原几何体，进一步求出几何体的棱长． 【题目详解】 解：根据三视图还原几何体如图所示， 所以，该四棱锥体的最长的棱长为． 故选：B． 【答案点睛】 本题主要考查由三视图还原几何体，考查运算能力和推理能力，属于基础题． 11、A 【答案解析】 首先的单调性，由此判断出，由求得的关系式.利用导数求得的最小值，由此求得的最小值. 【题目详解】 由于函数，所以在上递减，在上递增.由于，，令，解得，所以，且，化简得，所以，构造函数，.构造函数，，所以在区间上递减，而，，所以存在，使.所以在上大于零，在上小于零.所以在区间上递增，在区间上递减.而，所以在区间上的最小值为，也即的最小值为，所以的最小值为. 故选：A 【答案点睛】 本小题主要考查利用导数研究函数的最值，考查分段函数的图像与性质，考查化归与转化的数学思想方法，属于难题. 12、B 【答案解析】 复数，在复平面内对应的点在第二象限，可得关于a的不等式组，解得a的范围. 【题目详解】 ， 由其在复平面对应的点在第二象限， 得，则. 故选：B. 【答案点睛】 本题考查了复数的运算法则、几何意义、不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13、 【答案解析】 由题意可知，，在和中，利用余弦定理建立 方程求，同理求，求，代入求值. 【题目详解】 由圆内接四边形的性质可得,．连接BD，在中， 有．在中，． 所以, 则，所以． 连接AC，同理可得, 所以．所以． 故答案为： 【答案点睛】 本题考查余弦定理解三角形，同角三角函数基本关系，意在考查方程思想，计算能力，属于中档题型，本题的关键是熟悉圆内接四边形的性质，对角互补. 14、 【答案解析】 利用绝对值的几何意义，确定出的最小值，然后根据题意即可得到的取值范围 化简不等式，求出 的最大值，然后求出结果 【题目详解】 的最小值为，则要使不等式的解集不是空集，则有 化简不等式有 ， 即 而 当时满足题意，解得或 所以答案为 【答案点睛】 本题主要考查的是函数恒成立的问题和绝对值不等式，要注意到绝对值的几何意义，数形结合来解答