四边形专题经典复习原创有解答（18页）.doc

四边形专题复习 1．平行四边形的判定和性质： 性　质 判　定 ①平行四边形对边平行； ②平行四边形对边相等； ③平行四边形对角相等； ④平行四边形邻角互补； ⑤平行四边形对角线互相平分． ⑥平行四边形的面积 ⑦平行四边形是中心对称图形，其对称中心是对角线交点 ①两组对边分别平行的四边形； ②两组对边分别相等的四边形； ③一组对边平行且相等的四边形； ④两组对角分别相等的四边形； ⑤对角线互相平分的四边形． 注意： 1．平行四边形的面积：平行四边形的面积等于它的底和该底上的高的积．如图1， 2. 拓展：同底(等底)同高(等高)的平行四边形面积相等．如图2， 3. 平行四边对角线分得的四个三角形面积相等。 2．矩形的判定和性质 判　定 性　质 ①有一个角是直角的平行四边形是矩形． ②有三个角是直角的四边形是矩形． ③对角线相等的平行四边形是矩形． ①矩形具备平行四边形的性质． ②矩形四个角都是直角． ③矩形两条对角线相等． ④矩形是中心对称图形，又是轴对称图形，它有两条对称轴． ⑤矩形面积S＝ab(a、b分别表示矩形的长和宽)． 3．菱形的判定和性质 判　定 性　质 ①一组邻边相等的平行四边形是菱形． ②四条边都相等的四边形是菱形． ③对角线互相垂直的平行四边形是菱形． ①菱形具备平行四边形的性质． ②菱形四边都相等． ③菱形两条对角线互相垂直且每条对角线平分一组对角． ④菱形既是中心对称图形，又是轴对称图形，它有两条对称轴． ⑤菱形面积分别表示菱形两对角线的长）． 4．正方形的判定和性质 判　定 性　质 ①有一个角是直角且一组邻边相等的平行四边形是正方形． ②一组邻边相等的矩形是正方形． ③一个角是直角的菱形是正方形． ④对角线相等且互相垂直的平行四边形是正方形． ①正方形具备平行四边形性质． ②正方形既具备矩形特殊性质，又具备菱形特殊性质，即：四边都相等；四个角都是直角；两条对角线互相垂直平分且相等，每条对角线平分一组对角；既是中心对称图形，又是轴对称图形，它有4条对称轴．③面积S＝a2 （a表示正方形的边长）． 5．梯形的判定和性质 类别 判　定 性　质 梯形 一组对边平行而另一组对边不平行的四边形是梯形 ①梯形一组对边平行而另一组对边不平行． ②梯形中位线平行于两底且等于两底和的一半． ③是梯形的上下底，h是高，m是中位线）． 等腰 梯形 ①两腰相等的梯形是等腰梯形． ②同一底上两角相等的梯形是等腰梯形． ③对角线相等的梯形是等腰梯形． ①等腰梯形具有一般梯形的性质． ②等腰梯形两腰相等． ③等腰梯形同一底上两角相等． ④等腰梯形对角线相等． ⑤等腰梯形是轴对称图形． 直角 梯形 有一个角是直角的梯形是直角梯形． ①直角梯形具有一般梯形的性质． ②直角梯形的一腰垂直于底边． 6．梯形中的常用辅助线： 7.平行线等分线段定理 （1）如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其它直线上所截得的线段也相等． （2）经过三角形一边中点且与另一边平行的直线必平分第三边． （3）经过梯形一腰中点且与底边平行的直线必平分另一腰． 8．三角形中位线定理： 三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半． 梯形的中位线平行于两底且等于两底和的一半． 典型例题： 例1.如图，ABCD中，AE=CF，AE与CF交于点O，连结BO．求证：∠AOB=∠COB． 解：作BM⊥CF于M，BN⊥AE于N，连接BE、BF； 　　　　根据和AE=CF，可证BN=BM， 　　　　于是∠AOB=∠COB． 例2.如图：工人师傅要把一块三角形的钢板，通过切割焊接成一个与其面积相等的平行四边形．请你设计一种方案并在图中标出焊接线，然后证明你的结论． 　 解：如图，分别取边AB、AC的中点D、E，沿线段DE切割开，将△ADE的边AE与边EC重合(点A与点C重合、点E与点E重合)后焊接，点D至点F处，则所得四边形DBCF为平行四边形．证明略 ． 例3. 已知：平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，BD=2AD，E，F，G分别是OC，OD，AB的中点．求证：(1)BE⊥AC； (2)EG=EF。 　　 证明：(1)∵ 四边形ABCD是平行四边形，∴ AD=BC，BD=2BO． 　　　　由已知BD=2AD，∴ BO=BC，又E是OC中点，∴ BE⊥AC． 　　　　(2)由(1)BE⊥AC，又G是AB中点，∴ ∵ EF是△OCD的中位线，∴ 又，∴ 例4．如图，ABCD为等腰梯形，AB∥CD，对角线AC，BD交于O，且∠AOB=60°，又E，F，G分别为DO，AO，BC的中点． 求证：△EFG是等边三角形。 证明：连接EC．∵ ABCD为等腰梯形，∴ AD=BC，且AC=BD． 　　 　又∵ DC=DC，∴ △ADC≌△BCD，∠ACD=∠BDC，∴ △ODC为等腰三角形． 　　　 ∵ ∠DOC=∠AOB=60°， ∴ △ODC为等边三角形． 　　　 又∵ E为OD中点， ∴ ∠OEC=90°． 　　 　在Rt△BEC中，G为斜边的中点， ∴ 。同理 ． 　　　 在△OAD中，∵ E，F分别为OD，OA的中点． 　　 　∴ ，故△EFG为等边三角形． 例5．已知，如图，正方形ABCD的边长为6，菱形EFGH的三个顶点E，G，H分别在正方形ABCD边AB，CD，DA上，AH=2，连接CF． (1)当DG=2时，求△FCG的面积；(2)设DG=x，用含x的代数式表示△FCG的面积；(3)判断△FCG的面积能否等于1，并说明理由． 　　 解：(1)∵ 正方形ABCD中，AH=2，∴ DH=4． 　　　　　 又DG=2，因此HG=，即菱形EFGH的边长为． 　　　　　 在△AHE和△DGH中，∠A=∠D=90°， AH=DG=2，EH=HG=， 　　　　　 ∴ △AHE≌△DGH。∴ ∠AHE=∠DGH。 　　　　　 ∵ ∠DGH+∠DHG=90°，∴ ∠DHG+∠AHE=90°， 　　　　　 ∴ ∠GHC=90°，即菱形EFGH是正方形．同理可以证明△DGH≌△CFG． 　　　　　 因此∠FCG=90°，即点F在BC边上，同时可得CF=2，从而 　　　　(2)作FM⊥DC，M为垂足，连结GE， 　　　　　∵ AB∥CD，∴ ∠AEG=∠MGE， ∵ HE∥GF，∴ ∠HEG=∠FGE。 　　　　∴ ∠AEH=∠MGF。 在△AHE和△MFG中，∠A=∠M=90°，HE=FG， 　　　　 ∴ △AHE≌△MFG。∴ FM=HA=2， 　　　　　即无论菱形EFGH如何变化，点F到直线CD的距离始终为定值2。 因此 　　　　(3)若，由，得，此时，在△DGH中，。 　　　　　 相应地，在△AHE中，，即点E已经不在边AB上。故不可能有。 　　 另法：由于点G在边DC上，因此菱形的边长至少为DH=4， 　　　　　 当菱形的边长为4时，点E在AB边上且满足，此时，当点E逐渐向右运动至点B时， 　　　　　 HE的长(即菱形的边长)将逐渐变大，最大值为。 　　　　　 此时，，故。 　　　　　 而函数的值随着的增大而减小， 　　　　　 因此，当时，取得最小值为。 　　　　　 又因为，所以△FCG的面积不可能等于1。 巩固练习： 1、把正方形绕着点，按顺时针方向旋转得到正方形，边与交于点（如图）．试问线段与线段相等吗？请先观察猜想，然后再证明你的猜想． D C A B G H F E 2、四边形ABCD、DEFG都是正方形，连接AE、CG．（1）求证：AE=CG；（2）观察图形，猜想AE与CG之间的位置关系，并证明你的猜想． 3、将平行四边形纸片ABCD按如图方式折叠，使点C与A重合，点D落到D′ 处，折痕为EF． A B C D E F D′ （1）求证：△ABE≌△AD′F；（2）连接CF，判断四边形AECF是什么特殊四边形？证明你的结论． 挑战自我： 1、 (2010年眉山市)．如图，每个小正方形的边长为1，A、B、C是小正方形的顶点，则∠ABC的度数为（ ） A．90° B．60° C．45° D．30° 2、（2010福建龙岩中考）下列图形中，单独选用一种图形不能进行平面镶嵌的图形是（ ） A. 正三角形 B. 正方形 C. 正五边形 D. 正六边形 3．（2010年北京顺义）若一个正多边形的一个内角是120°，则这个正多边形的边数是（ ） A．9 B．8 C．6 D．4 4、（2010年福建福州中考）如图4，在□ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，若AC=14，BD=8，AB=10，则△OAB的周长为 。 5、（2010年宁德市）如图，在□ABCD中，AE＝EB，AF＝2，则FC等于_____． 第5题图 F A E B C D 6题 6、 (2010年滨州)如图,平行四边形ABCD中, ∠ABC=60°,E、F分别在CD、BC的延长线上,AE∥BD,EF⊥BC,DF=2,则EF的长为 A B C D 7、 (2010年福建晋江)如图，请在下列四个关系中，选出两个恰当的关系作为条件，推出四边形是平行四边形，并予以证明．（写出一种即可）关系：①∥，②，③，④． 已知：在四边形中，　　　　　，　　　　；求证：四边形是平行四边形． D A B C 8、（2010年宁波市）如图1，有一张菱形纸片ABCD，，。 （1）请沿着AC剪一刀，把它分成两部分，把剪开的两部分拼成一个平行四 边形，在图2中用实数画出你所拼成的平行四边形;若沿着BD剪开， 请在图3中用实线画出拼成的平行四边形;并直接写出这两个平行四边 形的周长。 （图1） （2）沿着一条直线剪开，拼成与上述两种都不全等的平行四边形，请在图4 中用实线画出拼成的平行四边形。（注：上述所画的平行四边形都不能与原菱形全等） D A B C D A B C D A B C （图4） （图3） （图2） 周长为__________ 周长为__________ 9、（2007天津市）在梯形ABCD中，AD//BC，对角线AC⊥BD，且，BD=12c m，求梯形中位线的长。 10、（2007·山东）如图，在周长为20cm的□ABCD中，AB≠AD，AC、BD相交于点O，OE⊥BD交AD于E，则△ABE的周长为（　　） (A)4cm (B)6cm (C)8cm (D)10cm 11题 10题 11、（2006·山东）如图，在平行四边形ABCD中，AE⊥BC于E，AF⊥CD于F，∠EAF=45o，且AE+AF=，则平行四边形ABCD的周长是 ． 直击中考： 1. （2011安徽）如图，D是△ABC内一点，BD⊥CD，AD=6，BD=4，CD=3，E、F、G、H分别是AB、AC、CD、BD的中点，则四边形EFGH的周长是（ ）【答案】D A．7 B．9 C．10 D．11 2. （2011山东威海）在□ABCD中，点E为AD的中点，连接BE，交AC于点F，则AF：CF＝（ ） A．1：2 B．1：3 C．2：3 D．2：5 【答案】A 3. （2011四川重庆）下面图形都是由同样大小的平行四边形按一定的规律组成，其中，第①个图形一共有1个平行四边形，第②个图形一共有5个平行四边形，第③个图形一共有11个平行四边形，……，则第⑥个图形中平行四边形的个数为( ) 【答案】C …… 图① 图② 图③ 图④ A．55 B．42 C．41 D．29 4. （2011宁波市）一个多边形的内角和是720°，这个多边形的边数是（ ）【答案】C A． 4 B． 5 C． 6 D． 7 5. （2011广东汕头）正八边形的每个内角为（ ）【答案】Ｂ A．120° B．135° C．140° D．144° 6、（2011山东德州）图1是一个边长为1的等边三角形和一个菱形的组合图形，菱形边长为等边三角形边长的一半，以此为基本单位，可以拼成一个形状相同但尺寸更大的图形（如图2），依此规律继续拼下去（如图3），……，则第n个图形的周长是（ ）【答案】C 图1 图2 图3 …… （A） （B） （C） （D） 7. （2011山东泰安）如图，边长为6的大正方形中有两个小正方形，若两个小正方形的面积分别为S1，S2，则S1+S2的值为（ ）【答案】B A.17 B.17 C.18 D.19 8. （2011山东泰安）如图，点O是矩形ABCD的中心，E是AB上的点，沿CE折叠后，点B恰好与点O重合，若BC=3，则折痕CE的长为（ ）【答案】A A.2 B. C. D.6 9. （2011四川重庆）如图，正方形ABCD中，AB＝6，点E在边CD上，且CD＝3DE．将△ADE沿AE对折至△AFE，延长EF交边BC于点G，连结AG、CF．下列结论：①△ABG≌△AFG；②BG＝GC；③AG∥CF；④S△FGC＝3．其中正确结论的个数是( ) 【答案】C A．1 B．2 C．3 D．4 10. （2011浙江省嘉兴）如图，①②③④⑤五个平行四边形拼成一个含30°内角的菱形EFGH（不重叠无缝隙）．若①②③④四个平行四边形面积的和为14cm2，四边形ABCD面积是11cm2，则①②③④四个平行四边形周长的总和为（　 　）【答案】A （A）48cm （B）36cm（C）24cm （D）18cm （第10题） ① ② ③ ④ ⑤ 11. （ 2011重庆江津）如图,四边形ABCD中,AC=a,BD=b,且AC⊥BD,顺次连接四边形ABCD各边中点,得到四边形A1B1C1D1,再顺次连接四边形A1B1C1D1各边中点,得到四边形A2B2C2D2……,如此进行下去,得到四边形AnBnCnDn.下列结论正确的有( ) 【答案】C ①四边形A2B2C2D2是矩形; ②四边形A4B4C4D4是菱形; ③四边形A5B5C5D5的周长; ④四边形AnBnCnDn的面积是 A.①② B.②③ C.②③④ D.①②③④ … A1 A A2 A3 B B1 B2 B3 C C2 C1 C3 D D2 D1 D3 12. （2011湖北武汉市）如图，在菱形ABCD中，AB=BD，点E，F分别在AB，AD上，且AE=DF．连接BF与DE相交于点G，连接CG与BD相交于点H．下列结论：（ ） 【答案】D  ①△AED≌△DFB；  ②S四边形 BCDG=  CG2；③若AF=2DF，则BG=6GF．其中正确的结论 A．只有①②． B．只有①③．C．只有②③． D．①②③． A B C D E F G H 第12题图 13. （2011山东烟台）如图，三个边长均为2的正方形重叠在一起，O1、O2是其中两个正方形的中心，则阴影部分的面积是 . 【答案】2 14. (2011浙江绍兴) 取一张矩形纸片按照图1、图2中的方法对折，并沿图3中过矩形顶点的斜线（虚线）剪开，那剪下的①这部分展开，平铺在桌面上，若平铺的这个图形是正六边形，则这张矩形纸片的宽和长之比为 . 【答案】 15. （2011甘肃兰州）如图，依次连结第一个矩形各边的中点得到一个菱形，再依次连结菱形各边的中点得到第二个矩形，按照此方法继续下去。已知第一个矩形的面积为1，则第n个矩形的面积为 。【答案】 …… 16、（2009年宜宾）如图，菱形ABCD的对角线长分别为，以菱形ABCD各边的中点为顶点作矩形A1B1C1D1，然后再以矩形A1B1C1D1的中点为顶点作菱形A2B2C2D2，……，如此下去，得到四边形A2009B2009C2009D2009的面积用含 的代数式表示为 ．【答案】． 17、（2009 黑龙江大兴安岭）如图，边长为1的菱形中，．连结对角线，以为边作第二个菱形，使 ；连结，再以为边作第三个菱形，使 ；……，按此规律所作的第个菱形的边长为 ．【答案】 18．（2011山东日照，16，4分）正方形ABCD的边长为4，M、N分别是BC、CD上的两个动点，且始终保持AM⊥MN．当BM= 时，四边形ABCN的面积最大． 【答案】2; 19、（2011四川宜宾）如图，平行四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O，E、F在AC上，G、H在BD上，AF=CE，BH=DG． 求证：GF∥HE． H A C B D O E G F 【答案】证明：∵平行四边形ABCD中，OA=OC， 由已知：AF=CE AF－OA=CE－OC ∴OF=OE 同理得：OG=OH ∴四边形EGFH是平行四边形 ∴GF∥HE 20、（2011四川成都10分） 如图，已知线段AB∥CD，AD与BC相交于点K，E是线段AD上一动点. (1)若BK=KC，求的值； (2)连接BE，若BE平分∠ABC，则当AE=AD时，猜想线段AB、BC、CD三者之间有怎样的等量关系?请写出你的结论并予以证明．再探究：当AE=AD ()，而其余条件不变时，线段AB、BC、CD三者之间又有怎样的等量关系?请直接写出你的结论，不必证明． 【答案】解：（1）∵AB∥CD，BK=KC，∴==. （2）如图所示，分别过C、D作BE∥CF∥DG分别交于AB的延长线于F、G三点， ∵BE∥DG，点E是AD的点，∴AB=BG；∵CD∥FG，CD∥AG，∴四边形CDGF是平行四边形，∴CD=FG； ∵∠ABE=∠EBC ，BE∥CF，∴∠EBC=∠BCF，∠ABE=∠BFC，∴BC=BF， ∴AB-CD=BG-FG=BF=BC，∴AB=BC+CD. 当AE=AD ()时，（）AB=BC+CD. 21、（2011贵州安顺10分）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，BC的垂直平分线DE交BC于D，交AB于E，F在DE上，且AF=CE=AE． ⑴说明四边形ACEF是平行四边形； ⑵当∠B满足什么条件时，四边形ACEF是菱形，并说明理由． 第25题图 【答案】（1）证明：由题意知∠FDC =∠DCA = 90°．∴EF∥CA ∴∠AEF =∠EAC ∵AF = CE = AE ∴∠F =∠AEF =∠EAC =∠ECA 又∵AE = EA ∴△AEC≌△EAF，∴EF = CA，∴四边形ACEF是平行四边形 ． （2）当∠B=30°时，四边形ACEF是菱形 ． 理由是：∵∠B=30°，∠ACB=90°，∴AC=，∵DE垂直平分BC，∴ BE=CE 又∵AE=CE，∴CE=，∴AC=CE，∴四边形ACEF是菱形． 22、（2011山东滨州10分）如图，在△ABC中，点O是AC边上（端点除外）的一个动点，过点O作直线MN∥BC.设MN交∠BCA的平分线于点E,交∠BCA的外角平分线于点F，连接AE、AF。那么当点O运动到何下时，四边形AECF是矩形？并证明你的结论。 （第24题图） 【答案】当点O运动到AC的中点（或OA=OC）时， 四边形AECF是矩形………………2分 证明：∵CE平分∠BCA,∴∠1=∠2，………………3分 又∵MN∥BC, ∴∠1=∠3， ∴∠3=∠2，∴EO=CO. ………………5分 同理，FO=CO………………6分 ∴EO=FO 又OA=OC, ∴四边形AECF是平行四边形………………7分 又∵∠1=∠2，∠4=∠5，∴∠1+∠5=∠2+∠4. ………………8分 又∵∠1+∠5+∠2+∠4=180°∴∠2+∠4=90°………………9分 ∴四边形AECF是矩形………………10分 23、（2011湖北襄阳10分)如图9，点P是正方形ABCD边AB上一点（不与点A，B重合），连接PD并将线段PD绕点P顺时针方向旋转90°得到线段PE，PE交边BC于点F，连接BE，DF. （1）求证：∠ADP＝∠EPB； （2）求∠CBE的度数； （3）当的值等于多少时，△PFD∽△BFP？并说明理由. 图9 【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形 ∴∠A＝∠PBC＝90°，AB＝AD，∴∠ADP＋∠APD＝90° 1分 ∵∠DPE＝90° ∴∠APD＋∠EPB＝90° ∴∠ADP＝∠EPB. 2分 （2）过点E作EG⊥AB交AB的延长线于点G，则∠EGP＝∠A＝90° 3分 又∵∠ADP＝∠EPB，PD＝PE，∴△PAD≌△EGP ∴EG＝AP，AD＝AB＝PG，∴AP＝EG＝BG 4分 ∴∠CBE＝∠EBG＝45°. 5分 （3）方法一： 当时，△PFE∽△BFP. 6分 ∵∠ADP＝∠FPB，∠A＝∠PBF，∴△ADP∽△BPF 7分 设AD＝AB＝a，则AP＝PB＝，∴BF＝BP· 8分 ∴， ∴ 9分 又∵∠DPF＝∠PBF＝90°，∴△ADP∽△BFP 10分 方法二： 假设△ADP∽△BFP，则. 6分 ∵∠ADP＝∠FPB，∠A＝∠PBF，∴△ADP∽△BPF 7分 ∴， 8分 ∴， 9分 ∴PB＝AP， ∴当时，△PFE∽△BFP. 10分 24. （2011湖南永州10分）探究问题： ⑴方法感悟：如图①，在正方形ABCD中，点E，F分别为DC，BC边上的点，且满足∠EAF=45°，连接EF，求证DE+BF=EF． 感悟解题方法，并完成下列填空： 将△ADE绕点A顺时针旋转90°得到△ABG，此时AB与AD重合，由旋转可得： AB=AD,BG=DE, ∠1=∠2，∠ABG=∠D=90°, ∴∠ABG+∠ABF=90°+90°=180°， 因此，点G，B，F在同一条直线上． ∵∠EAF=45° ∴∠2+∠3=∠BAD-∠EAF=90°-45°=45°． ∵∠1=∠2， ∴∠1+∠3=45°． 即∠GAF=∠_________． 又AG=AE，AF=AF ∴△GAF≌_______． ∴_________=EF，故DE+BF=EF． （第25题）① ⑵方法迁移： 如图②，将沿斜边翻折得到△ADC，点E，F分别为DC，BC边上的点，且∠EAF=∠DAB．试猜想DE，BF，EF之间有何数量关系，并证明你的猜想． （第25题）② （第25题）②解得图 ⑶问题拓展： 如图③，在四边形ABCD中，AB=AD，E，F分别为DC,BC上的点，满足,试猜想当∠B与∠D满足什么关系时，可使得DE+BF=EF．请直接写出你的猜想（不必说明理由）． （第25题）③ 【答案】⑴EAF、△EAF、GF． ⑵DE+BF=EF，理由如下： 假设∠BAD的度数为，将△ADE绕点A顺时针旋转得到△ABG，此时AB与AD重合，由旋转可得： AB=AD,BG=DE, ∠1=∠2，∠ABG=∠D=90°, ∴∠ABG+∠ABF=90°+90°=180°， 因此，点G，B，F在同一条直线上． ∵∠EAF= ∴∠2+∠3=∠BAD-∠EAF= ∵∠1=∠2， ∴∠1+∠3=． 即∠GAF=∠EAF又AG=AE，AF=AF ∴△GAF≌△EAF．∴GF=EF， 又∵GF=BG+BF=DE+BF ∴DE+BF=EF． ⑶当∠B与∠D互补时，可使得DE+BF=EF． 25、（2007南充）如图， 等腰梯形ABCD中，AB＝15，AD＝20，∠C＝30º．点M、N同时以相同速度分别从点A、点D开始在AB、AD（包括端点）上运动． （1）设ND的长为x，用x表示出点N到AB的距离，并写出x的取值范围． （2）当五边形BCDNM面积最小时，请判断△AMN的形状． A D C B M N D C B M N A P 解：（1）过点N作BA的垂线NP，交BA的延长线于点P． ………………（1分） 由已知，AM＝x，AN＝20－x． ∵　四边形ABCD是等腰梯形，AB∥CD，∠D＝∠C＝30º， ∴　∠PAN＝∠D＝30º． 在Rt△APN中，PN＝ANsin∠PAN＝（20－x）， 即点N到AB的距离为（20－x）． ………………………………（3分） ∵　点N在AD上，0≤x≤20，点M在AB上，0≤x≤15， ∴　x的取值范围是　0≤x≤15． ………………………………（4分） （2）根据（1），S△AMN＝AM•NP＝x（20－x）＝． ……（5分） ∵　＜0，∴　当x＝10时，S△AMN有最大值． …………………………（6分） 又∵　S五边形BCDNM＝S梯形－S△AMN，且S梯形为定值， ∴　当x＝10时，S五边形BCDNM有最小值． …………………………（7分） 当x＝10时，即ND＝AM＝10，AN＝AD－ND＝10，即AM＝AN． 则当五边形BCDNM面积最小时，△AMN为等腰三角形． …………（8分） 26、（2007福建晋江）如图，四边形ABCD为矩形，AB＝4，AD＝3，动点M、N分别从D、B同时出发，以1个单位/秒的速度运动，点M沿DA向终点A运动，点N沿BC向终点C运动。过点N作NP⊥BC，交AC于点P，连结MP。已知动点运动了秒。⑴请直接写出PN的长；（用含的代数式表示）⑵若0秒≤≤1秒，试求△MPA的面积S与时间秒的函数关系式，利用函数图象，求S的最大值。⑶若0秒≤≤3秒，△MPA能否为一个等腰三角形？若能，试求出所有的对应值；若不能，试说明理由。 M A B C N D P 解：⑴；⑵延长NP交AD于点Q，则PQ⊥AD，由⑴得：PN＝， 则。依题意，可得： y x x=1.5 1 2 3 4 1 2 O ∵0≤≤1.5 即函数图象在对称轴的左侧，函数值S随着的增大而增大。 ∴当时，S有最大值 ，S最大值＝。 ⑶△MPA能成为等腰三角形， 共有三种情况，以下分类说明： ①若PM＝PA， ∵PQ⊥MA ∴MQ＝QA＝ 又DM＋MQ＋QA＝AD ∴，即 ②若MP＝MA，则MQ＝，PQ＝，MP＝MA＝ 在Rt△PMQ中，由勾股定理得： ∴，解得：（不合题意，舍去） ③若AP＝AM，由题意可得：，AM＝∴，解得： 综上所述，当，或，或时，△MPA是等腰三角形。 18