大学数学4-吴倩.pdf

第二章 线性代数主讲：吴倩粉笔教师粉笔教师招考内容导视与考情分析内容导视与考情分析第一节第一节 行列式与矩阵行列式与矩阵一、行列式一、行列式（一）（一）定义定义第一节第一节 行列式与矩阵行列式与矩阵一、行列式一、行列式（一）（一）定义定义第一节第一节 行列式与矩阵行列式与矩阵一、行列式一、行列式（二二）行列式的计算行列式的计算对角线对角线法则法则适用于：二、三阶适用于：二、三阶行列式行列式主对角线主对角线 副对角线副对角线真真 题题 链链 接接真真 题题 链链 接接叉乘公式的解释叉乘公式的解释真真 题题 链链 接接3.（2015年湖北年湖北填空）设向量填空）设向量a(2,1,1)，向量，向量b(1,1,2)，则向量积，则向量积ab 。第一节第一节 行列式与矩阵行列式与矩阵一、行列式一、行列式（三三）性质）性质第一节第一节 行列式与矩阵行列式与矩阵一、行列式一、行列式（三三）性质）性质第一节第一节 行列式与矩阵行列式与矩阵一、行列式一、行列式（三三）性质）性质第一节第一节 行列式与矩阵行列式与矩阵一、行列式一、行列式（三三）性质）性质性质性质6.把一行的倍数加到另一行，行列式不变把一行的倍数加到另一行，行列式不变.第一节第一节 行列式与矩阵行列式与矩阵一、行列式一、行列式（三三）性质）性质0?6987865116548651D0D第一节第一节 行列式与矩阵行列式与矩阵一、行列式一、行列式（三三）性质）性质0?2488865112448652D0D第一节第一节 行列式与矩阵行列式与矩阵一、行列式一、行列式（三三）性质）性质性质性质7.对换对换行列式中两行的位置，行列式中两行的位置，行列式反号行列式反号.963321654987654321DD？789456123987654321DD？DD DD 第一节第一节 行列式与矩阵行列式与矩阵一、行列式一、行列式（三三）性质）性质小结小结成比例列两行相同列两行为零列一行行列式为零)()()()()()(列倍数加到另一行列一行互换列行行列号不变位置列行列式反号：对换两行)(第一节第一节 行列式与矩阵行列式与矩阵一、行列式一、行列式（四）（四）余子式余子式法法 在在n 阶行列式中，把元素阶行列式中，把元素aij所在的第所在的第i行和第行和第j列划去后，留下的列划去后，留下的n1阶行阶行列式叫做列式叫做aij的余子式，记做的余子式，记做Mij；把；把Aij(1)ij Mij叫做元素叫做元素aij的代数余子的代数余子式，记作：式，记作：Aij。11121314212223243132333441424344aaaaaaaaaaaaaaaa11131432212324414344=aaaMaaaaaa3 23232=(-1)AM11121314212223243132333441424344aaaaaaaaaaaaaaaa第一节第一节 行列式与矩阵行列式与矩阵第一节第一节 行列式与矩阵行列式与矩阵一、一、行列式行列式（四）（四）余子式法余子式法第一节第一节 行列式与矩阵行列式与矩阵第一节第一节 行列式与矩阵行列式与矩阵第一节第一节 行列式与矩阵行列式与矩阵第一节第一节 行列式与矩阵行列式与矩阵第一节第一节 行列式与矩阵行列式与矩阵（二）矩阵的运算（二）矩阵的运算（2）数与矩阵的乘法）数与矩阵的乘法 一个数与矩阵相乘，就是用这个数乘以矩阵的每一个元素。一个数与矩阵相乘，就是用这个数乘以矩阵的每一个元素。设设A、B为为mn矩阵，矩阵，k、l为常数，为常数，则：则：(kl)Ak(lA)；(kl)kAlA；k(AB)kAkB第一节第一节 行列式与矩阵行列式与矩阵真真 题题 链链 接接第一节第一节 行列式与矩阵行列式与矩阵（三）（三）矩阵的秩矩阵的秩矩阵的初等变换：矩阵的初等变换：互换两行（列）；互换两行（列）；以数乘某一行（列）；以数乘某一行（列）；用一个数乘某一行（列），加到另一行（列）上用一个数乘某一行（列），加到另一行（列）上。第一节第一节 行列式与矩阵行列式与矩阵（三）（三）矩阵的秩矩阵的秩第一节第一节 行列式与矩阵行列式与矩阵（三）矩阵的秩（三）矩阵的秩矩阵矩阵A0的的最大阶不为零子式的阶数最大阶不为零子式的阶数，称为，称为A的秩，记为的秩，记为r（A）。）。求矩阵的秩的方法求矩阵的秩的方法：初等变换法初等变换法第一节第一节 行列式与矩阵行列式与矩阵第一节第一节 行列式与矩阵行列式与矩阵（五）特征值与特征向量（五）特征值与特征向量设设A是是n阶矩阵，如果存在阶矩阵，如果存在一个数一个数及非零的及非零的n维列向量维列向量，使得，使得A成成立，则称立，则称是矩阵是矩阵A的一个特征值，称非零向量的一个特征值，称非零向量是矩阵是矩阵A属于特征值属于特征值的一个的一个特征向量。特征向量。求求特征值，特征向量的方法：特征值，特征向量的方法：（1）先由）先由|EA|0求出矩阵求出矩阵A的的特征值特征值i（共几个）。（共几个）。（2）再由求）再由求（iEA）x0基础解系，即矩阵基础解系，即矩阵A属于特征值属于特征值i的线性无关的的线性无关的特征向量特征向量。结论：结论：n阶矩阵的特征值个数为阶矩阵的特征值个数为n个（包括重根）个（包括重根）真真 题题 链链 接接第第二二节节 线性线性向量空间与向量空间与线性方程组线性方程组第第二二节节 线性线性向量空间与向量空间与线性方程组线性方程组第第二二节节 线性线性向量空间与向量空间与线性方程组线性方程组一、极大线性无关组一、极大线性无关组（二）极大无关组（二）极大无关组向量组向量组：，的一个部分组的一个部分组，r本身本身是线性无关的，其次再任意添进去一个都线性相关，则是线性无关的，其次再任意添进去一个都线性相关，则称称，是向量组是向量组，的一个极大线性无关组。的一个极大线性无关组。（三）向量组的秩（三）向量组的秩向量组向量组，的极大线性无关组所含有的向量的个数称的极大线性无关组所含有的向量的个数称为向量组的秩为向量组的秩；