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试卷II: 固定收益定价与分析 衍生产品定价与分析 投资组合管理 答案 最后考试 2008年3月 ACIIA® Solutions Examination Final II – March 2008 Page 10 / 10 问题1： 因定收益证券估值和分析 (41 分) 下面的答案并不代表计算方法或者解释的唯一答案。只要定义、计算和相关关系有道理，请视为正确并给分。 a) a1) 一年期现货利率能够由如下的公式推导： Þ R0,1 = 3.00%. (2 分) 类似地，R0,2能由如下公式计算 Þ R0,2 = 4.54%. (2 分) 最后R0,3用下式计算 Þ R0,3 = 6.12%. (2 分) [评阅者注意：上面的结果在计算中中间步骤都是采用准确数值进行计算的，如果在中间步骤采用了四舍五入方法，结果会有轻微不同，比如结果为6.13%而不是6.12%。这些结果也视为正确]. a2) 债券Z在3个给定的债券中有最高的凸性。实际上凸性C如下： 其中wt是在时间t支付的现金流的现值 :占所有时间现金流现值的比例 [因子 ½ 是根据凸性的定义，可以被省略]. 对债券Z来说,，总和由三项构成，最后一项（既然本金通常是现金流中权重最大的支付，所以最后一项通常是最大的）为12·w3.，其中债券Y的最后一项为6·w2，最后一项为2·w1。（债券Z得1.5分，尽管不如标准答案详细，但解释正确给1.5分） b) b1) 持有期收益率为零意味着，今天支付的价格（100.94%）等于债券一年后的价格加上息票收益（5%），因此，债券一年后的价格为95.94%。一年后，债券Y距到期日仍有一年的时间，因此其价格须满足：95.94% = 105 / (1+x) => x = 9.44%，所求的平准折现率为即为9.44%。 (5 分) b2) 可回售债券的期权调整利差（OAS）可表示为： OAS = 可回售债券的静态利差+回售选择权价值（基点） 145 = 95 + x => x = 50 [基点]，即为该嵌入回售选择权的价值。 b3) 可回售债券的投资者实质上是该债券内含回售选择权的多头。其他影响因素保持不变时，当标的资产的波动率越高时，期权的价值越大。因此，可回售债券的价格随着波动率的增加而提高。 (4 分) c) 利率风险（利率变动的幅度取决于距到期日的时间、息票利率、回购权及收益率水平） 再投资风险（债券发行者执行回购权所带来的风险） 波动率风险（波动率越高，可回购债券的价格越低） 投资于次级债所带来的信用风险 流动性风险 外汇风险 通货膨胀风险 事件风险（如新税法规定） 国家风险 （每类风险一分，最高6分） d) d1) · 一年后，美元平价债券的价格为： (106) / (1 + 4.00%)1 = 101.92 [%] (1 分). 一年后该美元债券的持有期回报为(6 + 101.92 – 100) / 100 = 7.92 [%]. (2 分) · 债券Y一年后以 (105) / (1 + 3%)1 = 101.94 [%] 的价格进行交易，因此持有期收益为(5 + 101.94 – 100.94) / 100.94 = 5.94 [%]. (3 分) · Rfx为美元对欧元的一年期回报，有： (1 + 7.92%) ∙ (1 + Rfx) = (1 + 5.94%) Þ Rfx = -1.83%. 汇率的损益平衡点X可从下式中解得： . (3 分) 注意：1.365也可以被解释为在无套利条件下，欧元对美元的一年期远期汇率，无套利条件也就是说等价的美元投资和欧元投资获得的收益相等。 d2) 做一个卖美元卖欧元的远期，将最终导致欧元的收入流。在无套利条件下，较弱的美元远期汇率（与即期汇率1.34相比）正好将美元债券现在的收益优势抵销。因为违约风险相同，这两种债券的持有期收益将恰好相等。 (4 分) 问题2： 衍生品分析及估值 (29 分) 下面的答案中，表示无风险利率，表示当前日经平均指数期货合约的价格：是日经平均指数的现货价格 (= 16,000日元)；表示执行价格为K的日经指数的买入期权的当前价格：而为执行价格为K的日经平均指数的卖出期权的当前价格。 a) 忽略分红和交易成本，因此，在无套利条件下，是经指数的期货价格为： 期货价格 = 现货价格 * ()∙ [1+( ∙ 0.25)] = 16,000*1.005 = 16,080日元。 (4 分) b) Þ = 677.146 – 16,000 + [16,000 / (1 + 0.02 ∙ 0.25)] = 597.544 因此，卖出期货权的当前价格为597.544日元.。 (5 分) c) 买权-卖权平价公式也可写为 (F为期货价格),为了合成投资组合头寸，你应该买入一单位看涨期权，并以无风险利率借入金额为(期货价格-执行价格)/(1 + 0.02 ∙ 0.25) (= (16,080 – 16,000)/1.005)”日元的现金，并卖空一单位的期货。 (5 分) d) 这是一个热抛补买入期权头寸，出售了1,000份执行价格为17,000日元的看涨期权合约。出售看涨期权所获得的期权费为：297.563 · 1,000,000 = 297.563百万日元，将其以2%的利率投资三个月后得到297.563 · 1.005 = 299.051百万日元。因此，Nikkei的损益平衡点约为： 16,000 – 299 = 15,701，最大收益为17,000-16,000+299=1,299百万日元。（6分） (Million JPY) 16,000 15,701 299 Nikkei average at maturity 17,000 1,299 0 e) 在d中, 1,000份执行价格为17,000日元的看涨期权合约被出售，这些看涨期权的delta值为0.306，所以这些看涨期权空头的delta值为-0.306，同时，期货价格与套利价格相等，其delta值为1.005。因此，在卖出一份买入期权合约的动态套期保值部位中，必须持有的期货头寸为“期货 - 0.306/1.005 = -0.3045”(0.3045单位的空头头寸 )，而你实际需要对冲1,000份看涨期权合约，因此你需要持有-0.3045 *1,000=304.5头寸的期货，即卖空304.5单位的期货合约。 (5 分) f) 如果所有的条件相同，标的资产（日经指数）价格的下降将降低买入期权的delta（套期保值比），卖出买入期权的部位的delta值也就相应的提高（负数的绝对值变小）。因为这是一个动态套期保值，期货头寸的delta值必须与期权头寸新的delta值保持一致，因此，必须回购期货以降低空头部位的绝对值。 (5 分) 问题3： 衍生产品分析及估值 (30 分) a) 浮动利率债券的价值等于其名义本金额 million USD. (3 分 固定利率债券的价值为： 百万美元 (3 分 因此互换的价值为V = B1 - B2 = 1.96百万美元 (2 分 b) 互换的价值变为： 因此，互换的价值仍为1.96百万美元 (12 分) c) 我们可以问自己：名义值为1，并以面值交易的4年期固定利率债券的年息票利率为多少？这应该与年互换利率一致。 . 因此，我们得到年化后的互换利率为3.47% (10 分) 问题4：投资组合管理 (32 分) a) 如果印度股票权重表示为w, 那么，我们可以通过公式 得出 w = 0.1 or 10%. (3 分) b) 方差为 标准差为 或15.6%. (3分) c) 夏普比率将改进约 0.04,显示如下: 仅投资在发达国家: 包括印度股票: (4 分) d) 任何有说服力的故事都可以接受。以下是一些例子。 经济基础 印度和发达国家之间的经济和业务联系日益增强，例如，发达国家的公司正对印度进行实际投资（如汽车行业），印度公司正收购发达国家的公司（如钢铁业）。印度提供给发达国家公司技术和软件的IT相关部门的就业在增长。 (5 分) 投资者行为 机构投资者包括发达国家的对冲基金正增加在印度的投资头寸，当发达国家的市场表现良好，他们就会倾向于将利润再进一步投到印度。一旦母国市场表现欠佳，他们就会将资金撤离印度以弥补其损失。这种资金流动可能使印度股票市场与发达国家的市场更同步。 (5 分) e) e1) 预期回报：无变化 标准差：由于相关系数上升，标准差会上升 夏普比率：由于分子不变，分母上升，夏普比率下降。 (每问2分, 共 6 分) e2) 以下是当相关系数由0.30 变为0.50.时，对有效前沿的一个说明。 将ρ = 0.50与ρ = 0.30比较，有效前沿曲线下降，它更接近为一条直线。 包括10％的印度股票后，投资组合的期望回报不会改变，但是分散化投资的效应下降，使标准差提高。 8% 9% 10% 11% 12% 13% 14% 15% 16% 0% 5% 10% 15% 20% 25% 30% 35% Risk (standard deviation) Expected return Indi Developed countries When ρ = 0.5 When ρ = 0.3 0.30 注意: 答题试卷上只标出了XY轴和印度及发达国家的位置。有效前沿由考生自己画出并解释。 (6 分) 问题5：投资组合管理中的衍生产品 (48 分) a) a1) 首先，我们要计算对应于管理的投资组合的资本价值下降7.5%，即rPC = -0.075时，DJ EURO STOXX 50 指数的变化，即rMC,。 从CAPM 模型特征的证券市场线公式，我们有： 其中 投资组合的资本利得回报率 投资组合的红利收益 无风险利率 价格指数回报（此为DJ EURO STOXX 50 指数） 指数的红利收益 相对于指数的投资组合贝塔值 我们特别要计算后12个月的资本指数回报rMC， 因此对应市场指数7％的下降，资本价值下降7.5%。 目标是在目前DJ EURO STOXX 50指数价值为4100，而明年可能下降7%时，管理的投资组合不亏本。因此，. (10 分) a2) 保险组合策略要求一个卖出期权的多头头寸。NPUT是买入执行价格为Φ时的卖出期权的数量，我们有： (5 分) a3) 当运用静态投资组合保险时，主要的实际问题是： · 可得到的期权有时仅为美式期权，由于执行权早于到期日T之前执行，因此更昂贵，而在投资组合保险的情况下，投资者仅对其投资组合到期的价值感兴趣。 · 市场可获得的衍生产品的到期时间与与保护期限之间的差太大，以至不能很好地运作这一策略（理论上）。 · 衍生产品市场对期望的期权可能不能保证充足的流动性。 · 市场上可获得的理论底价和执行价格之间的价差可能太大，以致不能很好地运作这一策略（理论上）。 · 贝塔有可能有估计误差 [总之，我们实行我们的保险策略时，可能不存在符合我们要求的特定股票市场指数，或基准的选项，本题中不存在这种情况，有DJ Euro Stoxx 50指数期权] (每题1分，最多4分) b)按(连续复利)支付红利收益的一个股票的买入卖出期权平价为： 因此，投资组合的保险策略如下[考虑本题中在简化条件下给出的所有收益]： i) 卖出股票组合 欧元; ii) 买入执行价格为K，1年到期的5，122份买入期权; iii) 余下部分进行无风险投资。 注意：把单利改为边续复利也是正确的按[r = ln(1+R)] ，然后采用在连续复利条件下的公式。 (7 分) c) c1) 采用合成卖出期权的主要优势 § 无流动性风险 § 允许有准确的执行日和到期日 § 无基差风险 (2 分) 主要劣势：急剧变动的风险 (1 分) 有两种技术创造一个合成卖出期权：在标的资产中直接获取一个头寸或交易和标的资产相关的指数期货合约。 (4 分：每个技术2分) 注意：以下解释不要求给分，仅为教学目的： 使用期货合约达成组合保险，而不是交易标的资产，合理的原因是相关的交易成本一般更低。 通过交易标的股票来创造一个合成卖出期权，投资者应保证在任何给定时刻，管理组合中比例等于-Δ的股票已经被卖出，投资到无风险资产的头寸上，其Δ是考虑的卖出期权的德尔塔。 . 当初始组合的价值下降，卖出期权的Δ负值更大，卖出的初始投资组合的比例必须增加。当初始投资组合的价值增加，已经卖出的必须再买回来。 当使用期货合约时，初始投资组合被保留，通过卖出名义数量等于应卖出标的资产数量的期货货合约，维持管理组合的德尔塔。 c2) 在我们的情形, 要求的卖出期权的德尔塔为[考虑此处给出的红利收益是在简化的条件下]： 因此，首先应该卖出管理组合的37.47%。 (5 分) 注意：把单利改为连续复利也是正确的[按 r=ln(1+R)]，然后采用在连续复利条件下的公式。 r = ln(1+R) => r = ln(1.02) = 0.019803 = e-0.019803 ∙ (0.6178 - 1) = 0.374706. 评阅人注意：如果答题人采用以上公式，但是按以下给出的单利输入，例如忘记把单利转换为复利，应扣一分： =e-0.02 ∙ (0.6178 - 1)=0.374632. d) d1) 套期保值比率为采取的期货合约的头寸规模与风险暴露的规模的比率。我们的情形是，管理的投资组合对基准并不是中性 ()，套期保值比率为： (5 分) d2) 考虑的期货合约数为： 因此策略要求卖出5,097份期货合约。 (5 分)