2019.02.28 理论攻坚-数学运算2 张小飞 （笔记）.pdf

理论攻坚-数学运算 2 主讲教师：张小飞 授课时间：2019.02.28 粉笔公考官方微信 1 理论攻坚理论攻坚-数学运算数学运算 2 2（笔记）（笔记）第四节 工程问题 【注意】课前答疑：答疑方式：哪一节的例几，在哪里有疑问。1.梳理上节课内容：（1）代入排除法：直接将选项代入验证，可能出现只用到题干一部分条件。（2）适用范围：特定题型：多位数问题、年龄问题、余数问题、不定方程、和差倍比问题。选项充分：选项本身是一组数，或选项可以转化为一组数。题干复杂，难以理解，优先代入。（3）代入小技巧：先排再代：利用奇偶、倍数特性、选项设置等先排除一些选项。如甲乙之和为 108，如果选项有两个选项之和是 108 的话，优先代入这两个选项。最值代入（问最多的，优先代入大的）或优先代入好算的数。2.数字特性：（1）奇偶特性：应用范围：求和求差，不定方程，出现“平分成两份”，“谁是谁的 2、4、6 倍”口诀：加减法：同奇同偶则为偶，一奇一偶则为奇；乘法：一数为偶则为偶。（2）倍数特性：整除型：有口诀根据口诀，没有口诀考虑因式分解（分解为两个互质的数）、拆分法。平均分组型：有剩余或缺少，“多退少补”，剩余要减掉，不够要加上。比例型：分数、百分数、比例、倍数，转化为 A/B=m/n 的形式。3.代入排除和数字特性要结合使用。【知识点】工程问题：修路、架桥、纺织毛毯等。2 1.基础知识：工作效率*工作时间=工作量。如一小时能做 30 道题，做 2 小时，则做了 30*2=60 道题。时间=工作量/效率；效率=工作量/时间，三者可以互推。2.题型分类：（1）给完工时间型，考的最多。（2）给效率比例型。（3）给具体数值型，考查较少。【知识点】给完工时间型：1.特征：给多个完成时间。一定要是完成时间，如甲用 3 天完成一部分工作，就不是完工时间。至少要两个完工时间，方便赋总量为公倍数。2.方法：（1）赋工作量（时间的公倍数：好算）。（2）计算效率（效率=工作量/时间）。（3）列方程求解。3.引例：一项工程，甲单独做 3 小时可以完成，乙单独做 5 小时可以完成。如果甲乙合作，多长时间可以完成？答：工程问题，题干给了甲乙单独完成工作的时间，为给完工时间型。（1）赋总量：3 和 5 的公倍数为 15。（2）算效率：甲=15/3=5，乙=15/5=3。（3）列式求解：t=工作量/甲乙效率和=15/（5+3）=15/8。4.找公倍数方法：找 20、25、30 的最小公倍数，用短除法。三者先除 5，剩下 4、5、6，三者没有公约数，两两约，4 和 6 可以约 2，5 直接保留，2、5、3，外面的数值相乘即是所求公倍数：5*2*2*5*3=300。3 例 1（2017 年呼伦贝尔）某项工作甲单独完成需要 20 天，乙单独完成需要25 天，现需要甲、乙合作完成此项工作，但甲中间休息了 3 天，乙休息了若干天，最后完成此项工作用了 15 天。问乙休息了（）天？A.8 B.7 C.6 D.5【解析】例 1.题干给了两个完工时间，给完工时间型工程问题。三步走：（1）赋总量：赋值总量为 20 和 25 的公倍数 100。（2）算效率：甲=100/20=5，乙=100/25=4。（3）列方程求解：甲乙都休息了，根据甲乙合作完成工作，得到等式：甲的工作量+乙的工作量=总量。甲休息了 3 天，故甲的工作量为 5*（15-3）；设乙休息了 x 天，则乙的工作量为 4*（15-x），代入等式：5*（15-3）+4*（15-x）=100，解得 x=5，对应 D 项。【选 D】例 2（2017 年辽宁）有甲、乙两项工作需要完成，若小王单独完成甲工作需要 12 天，单独完成乙工作需要 20 天，小孙单独完成甲工作需要 10 天，单独完成乙工作需要 30 天，如果每项工作都可以由两人合作，那么这两项工作都完成最少需要（）天。A.12 B.14 C.16 D.18【解析】例 2.出现两项工作，甲、乙两份工作没有联系，分开考虑。要合作时间最少，则要求两人效率最大化。甲乙两份工作都给了两个完工时间，给定完工时间型，（1）赋总量：甲工作：小王 12 天，小孙 10 天，赋甲工作总量为10 和 12 的公倍数 60 份。已工作：小王 20 天，小孙 30 天，赋甲工作总量为 20和 30 的公倍数 60 份。（2）求效率：甲工作：小王=60/12=5 份，小孙=60/10=6份；乙工作：小王=60/20=3 份，小孙=60/30=2 份。（3）列方程求解：甲乙工作量一定，要想时间最少，则要求工作效率最高，即让每个人去做他擅长的工作。对于甲工作，小孙干的快，对于乙工作，小王干的快。确定原则：谁做的快谁先做，先做完的去帮没做完的。则让小孙先做甲工作，需要 10 天；小王做乙工作，需要 20 天，10 天时，小王完成乙 30 份，则乙还剩 30 份，此时小孙已经完成甲了，此时两人合作完成乙剩下的 30 份，耗时=30/（3+2）=6 天。则最少的总耗 4 时=10+6=16 天，对于 C 项。【选 C】【注意】1.要让用时最短，则让合作的效率最大。甲工作：小孙的效率更大；乙工作：小王的效率更大。因此先让小孙做甲工作、小王做乙工作，完成的早的再去帮对方。小孙做甲工作，10 天完成。此时小王做乙工作 3*10=30。两人合作完成剩余的乙工作，用时（6030）/（3+2）=6 天。两项工作都完成，用时 10+6=16天。2.如果出现一个人特别能干，甲乙工作都是小王干的快。例甲乙工作都是60 份，甲工作：小王效率 8，小孙效率 6；乙工作：小王效率 3，小孙效率是 2。两项工作都是小王的效率快，此时，用小王的效率/小孙的效率，比值大的优先做。甲工作：小王/小孙=8/61.3 倍；乙工作：小王/小孙=3/2=1.5 倍，则对于乙工作，小王做更有优势，则小王先做乙工作。【知识点】给效率比例型：1.特征：给多个效率的比例关系。2.方法：（1）赋效率（为了好算，尽量赋为整数）。（2）计算工作量（工作量=效率*时间）。（3）列方程求解。3.常见的比列形式：（1）甲、乙的效率比为 3：4。直接得到甲：乙=3：4。（2）甲的效率是乙的 3/4（75%）。甲=乙*3/4，甲：乙=3：4。（3）甲 4 天的工作量等于乙 3 天的工作量。看似给的是时间，但是不是完工时间，根据工作量相等：甲*4=乙*3，甲：乙=3：4。（4）给多个人或多台机器，默认每人/每台机器效率相同，一般赋每人/每台机器的效率=1。5 例 3（2017 年临汾）甲、乙、丙三个施工队共同完成一项工程需要 6 天时间，如果甲与乙的效率之比为 4：3，乙与丙的效率之比为 2：1，则乙单独完成这项工程需要（）天。A.12 B.17 C.24 D.32【解析】例 3.工程问题，“甲与乙的效率之比为 4：3，乙与丙的效率之比为 2：1”，给出了效率比例，判断为给效率比例型。三步走：（1）赋效率：题干中给出的条件中乙出现了 2 次，一次是 3，一次是 2，则将乙的效率统一，即将乙的效率变成 2、3 的公倍数 6，则甲乙效率比为 8：6，乙丙效率比为 6：3，即甲：乙：丙=8：6：3，赋值甲的效率为 8，乙的效率为 6，丙的效率为 3。（2）求工作量：已知三队一起做用 6 天，总量=（8+6+3）*6=17*6。（3）列式求解：乙的时间=总量/乙的效率=17*6/6=17，对应 B 项。【选 B】例 4（2017 年辛集）某中学要修缮操场，工程队 8 个人用 30 天完成了工作量的 1/3，接着又增加了 4 个人一起完成剩余的工作量，那么完成操场修缮共用了多少天？（）A.70 B.72 C.78 D.90【解析】例 4.出现工程量，工程问题。8 个人工作，即给效率比例型，多个人一起工作。（1）赋每人效率为 1 份/天。（2）求工作量：8*30=总量*1/3，则总量=8*30*3=720。（3）列方程求解：“又增加 4 人”，t剩余=剩余的工作量/总效率=（720-720*1/3）（8+4）=480/12=40 天，则一共耗时=30+40=70 天，对应A 项。【选 A】【知识点】给具体数值型：要么是效率，如织地毯每天织 4 米。要么给工作量数值。此时不用赋效率或者赋总量，直接列方程求解即可，考查的较少。例 5（2017 年本溪、2018 年沈阳）甲、乙两个工程队共同修建一段长为 2100千米的公路，甲队每天比乙队少修 50 千米，甲队先单独修 3 天，余下的路程与 6 乙队合修 6 天完成，则乙队每天所修公路的长度是（）。A.130 千米 B.170 千米 C.140 千米 D.160 千米【解析】例 5.工程队修路，工程问题，给出了公路长度 2100 千米，即已给出了工作量，即给具体数值型，方程法求解。求谁设谁，设乙队每天修 x 千米，根据“甲队每天比乙对少修 50 千米”，则甲队每天修 x-50 千米。根据甲乙合作完成工作，列方程：甲*3 天+（甲+乙）*6 天=总量，即（x-50）*3+（x-50+x）*6=2100，解得 x=170，对应 B 项。【选 B】【答案汇总】1-5：DCBAB 【小结】工程问题：考查频率很高。1.给完工时间型：（1）特征：给多个完成时间。（2）方法：赋总量，多个完工时间的公倍数，赋公倍数或者直接赋完工时间乘积。计算效率。列方程求解。（3）技巧：工作量一般赋公倍数，公倍数难算用乘积。2.给效率比例型：（1）特征：给多个效率的比例关系。（2）方法：7 赋效率。计算工作量。列方程求解。（3）技巧：按比例赋效率，尽量赋整数。3.给具体数值型：方法：方程法。第五节 行程问题 【知识点】行程问题：难度较大，考场上要优先做简单题（工程、经济、容斥原理等），我们要掌握行程问题中，难度中下的题型。1.公式：路程=速度*时间，三个量之间可以互推。2.题型分类：（1）基础行程。（2）相对行程。（3）比例行程。一、基础行程【知识点】基础行程：1.直接用公式：S=V*T；T=S/V；V=S/T。2.火车过桥：路程特殊，画图理解，火车头上桥时开始，火车车尾离桥时，火车通过桥，则火车过桥路程=桥长+火车长，其他物体过桥时则不考虑自身长度，如人过桥，小车过桥等。3.等距离平均速度公式：要记住什么时候用公式。例 1（2018 年马鞍山）飞行员前 4 分钟用半速飞行，后 4 分钟用全速飞行，8 在 8 分钟内一共飞行了 72 千米，则飞机全速飞行的时速是（）。A.360 千米 B.540 千米 C.720 千米 D.840 千米【解析】例 1.求速度，需要找路程和时间，题干中给出了路程和时间，注意题干中给出的是分钟，求的是时速，要统一单位，设速度为 V 千米/分钟，则前 4 分钟速度为 1/2V。列式：1/2V*4+V*4=72，解得 V=12 千米/分钟，60 分钟走720 千米，对应 C 项。【选 C】例 2（2017 年襄阳）李伟从家里骑摩托车到火车站，如果每小时行 30 千米，那么比火车开车时间早到 15 分钟，如果每小时行 18 千米，则比火车开车时间迟到 15 分钟，现在李伟打算在火车开车前 10 分钟到达火车站，则李伟骑摩托车的速度应是（）千米每小时。A.24 B.27 C.30 D.32【解析】例 2.根据条件，如果李伟 9 点出发，火车 10 点开车，“早到 15 分钟”，则李伟走了 1h-15min=45min，“迟到 15 分钟”，则走了 1h+15min=75min，则要想知道李伟走的时间，需要知道李伟从家出发到火车开车的时间。“李伟打算在火车开车前 10 分钟到达火车站”，如果从家出发到火车出发是 1h，则李伟走的时间是 1h-10min=50min。求速度必须要知道路程和时间，设为从李伟家到火车站的路程为 S，不管李伟每次走的时间是多久，都和李伟出发到火车开车的时间有关，则李伟出发到火车开车的时间为中间量，设从李伟出发到火车开车的时间是 t 小时。注意单位统一，分钟换为小时，15 分钟=1/4 小时，10 分钟=1/6小时，第一种情况：早到 1/4 小时，30*（t-1/4）=S；第二种情况：迟到 1/4小时，18*（t+1/4）=S；第三种情况：提前 1/6 小时，v*（t-1/6）=S，联立，30t-30/4=18t+18/4，解得 t=1 小时，则 S=30+（1-1/4）=22.5 千米，代入中，V*（1-1/6）=22.5，解得 V=27，对应 B 项。【选 B】【注意】猜题方法：速度是 30 时，早到 15 分钟，现在要求早到 10 分钟，则速度肯定不能是 30，如果速度大于 30，则早到的时间更多，排除 C、D 项，可以在 A、B 项中蒙。9 例 3（2017 年开封）某隧道长 1500 米，有一列长 150 米的火车通过这条隧道，从车头进入隧道到完全通过隧道花费的时间为 50 秒，则整列火车完全在隧道中的时间是（）秒。A.43.2 B.40.9 C.38.3 D.37.5【解析】例 3.火车过隧道，即火车过桥问题。从车头进入到完全通过用时50 秒，此时是普通的火车过桥问题，路程=桥长+火车长。“火车完全在隧道中”，画图理解，火车完全在桥上：开始是火车完全上了桥，到火车头开始下桥，即路程=桥长-火车长。路程=速度*时间，设火车速度为 V，第一个过程：1500+150=V*50，V=（1500+150）/50=33，设第二次通过的时间为 t，则 1500-150=V*t，t=1350/3340.9，对应 B 项。【选 B】【知识点】火车过桥：1.火车过桥：路程=桥长+火车长。2.火车完全在桥上：路程=桥长-火车长。3.火车过电线杆/灯（默认为“点”，没有长度）：路程=火车长。10 【知识点】等距离平均速度：（1）公式：=2v1v2/（v1+v2）。（2）应用：等距离往返、上下山往返。（3）引例：一辆汽车以 60 千米/时的速度从 A 地开往 B 地，它又以 40 千米/时的速度从 B 地返回 A 地，则汽车行驶的平均速度为（）千米/小时。A.50 B.48 C.30 D.20 答：等距离往返求平均速度，考虑等距离平均速度公式，平均速度=（2*60*40）/（60+40）=4800/100，对应 B 项。（4）一般是不会通过计算两个速度的平均数来计算平均速度的，因此上述例子中可以先排除平均数的 A 项。（5）公式推导：假设去的速度为 V1，回来的速度为 V2，路程为 S，往返总路程为 S+S。根据平均速度=总路程/总时间可得：V=（S+S）/（S/V1+S/V2）=2S/（S*V2+S*V1）/V1*V2=2S*V1*V2/S（V1+V2）=2V1V2/（V1+V2）。（6）注意：只有 V1、V2走过的路程相等时才可以用等距离平均速度公式，若 V1、V2走过的路程不相等时是不可以用等距离平均速度公式的。为什么上下山可以用等距离平均速度公式？a.如图所示，若上山的速度为 V1，下山速度为 V2，AB 之间往返一次，求上下山平均速度可以用等距离平均速度公式。说明：根据题意，从 A 到 B 上山路程为 S1，下山路程为 S2；返回时，上山路程为 S2，下山路程为 S1，上山路程和=下山路程和=S1+S2。所以此时的上下山往返可以用等距离平均速度公式。b.如图所示，上山的速度为 V1，下山速度为 V2，上下山走过的路程相等都是 11 S，所以可以用等距离平均速度公式。例 4（2016 年云南）李大夫去山里给一位病人出诊，他下午 1 点离开诊所，先走了一段平路，然后爬上了半山腰，给那里的病人看病。半小时后，他沿原路下山回诊所，下午 3 点半回到诊所。已知他在平路步行的速度是每小时 4 千米，上山每小时 3 千米，下山每小时 6 千米。请问李大夫出诊时共走了多少路？（）A.5 千米 B.8 千米 C.10 千米 D.16 千米【解析】4.行程问题，画图分析运动过程，根据题意，李大夫 1 点出发、3点半回来，中间给病人看病半小时，全程走路往返用了 2.5-0.5=2 小时；发现李大夫运动过程为上下山往返，上下山距离相等，所以可以使用等距离平均速度公式，根据“上山每小时 3 千米，下山每小时 6 千米”，则上下坡平均速度=2V1V2/（V1+V2）=2*3*6/（3+6）=4km/h；根据“已知他在平路步行的速度是每小时 4千米”，说明李大夫平路速度也是 4km/h，所以全程的平均速度是 4km/h。结合前文所求的往返时间是 2 小时，根据 S=V*t，则往返路程=4*2=8 千米，对应 B项。【选 B】【注意】1.如果上下山的平均速度不等于平路速度，而已知条件又没有说明平路的距离与上下山的距离相等，则本题无法计算，所以上下山的平均速度和平路的速度必然相等，说明本题可以用平路上的速度直接当作全程的平均速度来求 12 解，这样就可以快速解题。2.梳理：（1）上山和下山的平均速度：v=2*3*6/（3+6）=4km/h。（2）平路速度也是 4km/h，即全程的平均速度为 4km/h。（3）下午 1 点出发、3 点半回到诊所，其中半小时在看病，则走路 2 小时。（4）全程走路：4km/h*2h=8km。【知识点】基础行程：1.基本公式：S=v*t。2.等距离平均速度：（1）公式：v=2*v1*v2/（v1+v2）。（2）应用：上下山、往返。3.火车过桥：（1）过桥：路程=桥长+火车长。（2）完全在桥上：路程=桥长-火车长。（3）过杆/灯：路程=火车长。二、相对行程【知识点】相对行程：1.流水行船：（1）V顺=V船+V水，V逆=V船-V水；13 （2）+可以推出：V船=（V顺+V逆）/2；-可以推出：V水=（V顺-V逆）/2。2.如何判断顺水：（1）顺流而下、上游到下游。（2）用时短：甲港口到乙港口 5 小时、乙港口到甲港口 8 小时，说明甲港口到乙港口为顺水。3.船在静水中的速度就是船速；漂流瓶的速度就是水速。例 5（2018 年雅安）甲、乙两港口相距 360 千米，某船只从甲港口顺流而下至乙港口需要 4.5 小时，从乙港口返回至甲港口所花的时间为顺流的 2 倍。假设该船只的静水速度一定，则该河的水流速度为（）千米/小时。A.12 B.15 C.18 D.20【解析】例 5.流水行船问题。根据题意：甲乙用时 4.5 小时，乙甲用时4.5*2=9 小时，则 V顺=360/4.5=80 千米/小时，V逆=360/9=40 千米/小时；根据 V水=（V顺-V逆）/2，则 V水=（80-40）/2=20 千米/小时，对应 D 项。【选 D】【答案汇总】1-5：CBBBD 【知识点】相遇追及：这是行程问题中的重点和难点，需掌握公式，还需掌握如何确定 S和、S差；还要掌握出现多个主体的相遇追及问题的正确处理方法。1.相遇问题：两人两地同时出发，相向而行。（1）路程和（相遇距离）=（大速度+小速度）*相遇时间。（2）小新和小丸子从直线的两端出发相向而行去约会，小新速度大，速度是 V大，小丸子速度慢，速度是 V小，两人同时从两端往中间走，一定会相遇，假设经过 t1相遇，此时小丸子运动的路程 S小=V小*t1；小新运动的路程 S大=V大*t1，则 S和=S大+S小=（V大+V小）*t1。14 2.追及问题：两人两地同时出发，同向而行。（1）路程差（追及距离）=（大速度-小速度）*追及时间。（2）小新有事情先走了，花轮从家出发去追小丸子，花轮速度快，速度为 V大，小丸子速度慢，速度为 V小。假设经过 t2花轮追上小丸子，此时花轮的路程 S大=V大*t2，小丸子的路程 S小=V小*t2，追及问题中，路程差比较容易确定，同时出发同时追上，时间相同，S差=（V大-V小）*t2。追及问题实际上是一个人比另一个人多走了一段路。3.一般情况下，相遇、追及问题中的路程和、路程差是可以通过画图来确定。4.特殊情况：环形相遇、追及问题中的路程和、路程差有固定结论。（1）环形相遇。公式：S和=（V大+V小）*t遇，相遇 N 次，S和为 N 圈。第一次相遇，路程和是 1 圈（红色），第二次相遇，路程和是 2 圈（红色+蓝色），则相遇 N 次，S和为 N 圈。15 （2）环形追及。公式：S差=（V大-V小）*t追，追及 N 次，S差为 N 圈。可以想象运动会上的“套圈”，当第一次追上时，多走 1 圈；追上 2 次，多走 2 圈；追上 N 次，多走 N 圈。【例 6】（2015 年新乡）甲、乙两地相距 480 千米，客车和货车同时从两地相向而行，5 小时后在途中相遇，已知客车每小时行驶 50 千米，问货车每小时行驶多少千米？（）A.36 B.46 C.38 D.48【解析】例 6.画图理解题意，“相向”就是相对而行，本题为最简单的相遇问题。根据公式：S和=（V大+V小）*t；代数据、列方程：480=（50+V）*5，整 16 理得：96=50+V，解得 V=46 千米/小时，对应 B 项。【选 B】【例 7】（2016 年随州）环形跑道长 400 米，老张、小王、小刘从同一地点同向出发。围绕跑道分别慢走、跑步和骑自行车。已知三人的速度分别是 1 米/秒、3 米/秒和 6 米/秒，问小王第 3 次超越老张时，小刘已经超越了小王多少次？（）A.3 B.4 C.5 D.6【解析】例 7.“超越”就是追上，即追及问题；环形追及问题可以直接用结论：公式 S差=（V大-V小）*t追；追及 N 次，S差为 N 圈。本题出现老张、小王、小刘三个主体，不能将三个主体共同分析，应每次分析两个主体：（1）小王追老张：设小王第 3 次超越老张时经过了时间 t，第三次追上的路程差为三圈，根据公式 S差=（V大-V小）*t追，则 3*400=（3-1）*t，解得 t=1200/2=600 秒，说明小王第 3 次超越老张用时 600 秒；（2）小刘追小王：设小刘追上了小王 n 次，根据公式 S差=（V大-V小）*t追，则 n*400=（6-3）*600，解得：n=4.5 次，不能四舍五入，4.5 说明小刘追上小王 4 次、不到 5 次，对应 B 项。【选 B】【注意】1.环形追及结论：追上 N 次，S差为 N 圈。2.多个主体，每次只分析两个人。3.算出次数是小数，不能四舍五入，本题计算结果为 4.5，即使计算结果为4.99，也是说明追及次数不到 5 次，应为 4 次。【例 8】（2018 年内蒙古）在 400 米环形跑道上，甲、乙两人同时从起点背向练习跑步。已知甲每秒跑 5 米，乙每秒跑 3 米。当他们第 4 次相遇时，甲还需要跑多少秒才返回起点？（）17 A.40 B.45 C.50 D.55【解析】例 8.根据题意，确定题目为环形相遇问题；公式：S和=（V大+V小）*t遇，相遇 N 次，S和为 N 圈。本题相遇 4 次，则路程和为 4 圈，代公式：4*400=（5+3）*t，解得 t=1600/8=200s 秒，说明两人第 4 次相遇用了 200 秒；运动“整圈”才能返回起点，甲走 1 圈需要的时间=400/5=80 秒，此时甲已运动了 200 秒，200+40=240 才为 80 的整数倍，说明甲还要跑 40 秒才可以返回起点，对应 A 项。【选 A】【知识点】1.线形多次相遇：从两端出发（同端出发很少考），相遇 n 次，路程和为（2n-1）*S。2.推导：甲、乙分别从 A、B 两地出发，第一次相遇的路程和是 1*AB，第二次相遇是红色（AB）+蓝色（2*AB）=3*AB，依次类推，第三次相遇是 5*AB。即相遇 n 次，路程和为（2n-1）*S，S 为路程长度；3.公式：（2n-1）*S=（V大+V小）*t，公式中共有 5 个未知数，这类题目都会已知 4 个求另外 1 个，所以只需记住公式即可。【例 9】（2016 年锦州）甲、乙两人在一条长 100 米的直路上来回跑步，甲的速度是 3m/s，乙的速度是 2m/s，如果他们同时分别从路的两端出发，当他们跑了 10 分钟后，共相遇多少次？（）A.14 B.15 C.16 D.17【解析】例 9.直线两端出发多次相遇问题，公式：（2n-1）*S=（V大+V小）18 *t。代入数据，注意时间单位的分钟需化为秒，即（2n-1）*100=（3+2）*10*60，整理得：2n-1=30，解得 n=15.5 次，说明相遇 15 次、不到 16 次，对应 B 项。【选B】【注意】1.将题目改为“相遇 10 次时，用了多少秒”。即（2n-1）*100=（3+2）*t，相遇 10 次即 n=10，代入 n=10，可以解得 t=1900/5=380 秒。2.将已知条件中的“100 米”去掉，添加条件“5 分钟恰好相遇 8 次”，求路的长度。即（2n-1）*S=（3+2）*t，将 n=8、t=300 秒代入，解得 S=5*5*60/15=100米。【小结】相对行程：1.流水行船：（1）顺水速度=船速+水速。（2）逆水速度=船速-水速。2.相遇追及：（1）公式：相遇：路程和=（大速度+小速度）*时间。追及：路程差=（大速度-小速度）*时间。（2）路程和路程差：画图确定。环形：第 n 次相遇，路程和为 n 圈；第 n 次追及，路程差为 n 圈。线形两端出发：第 n 次相遇，路程和为（2n-1）*S。（3）注意：如果题目涉及多个主体，每次只分析 2 个的相遇或追及。19 三、比例行程【知识点】比例行程：这种方法比方程法计算简便、做题速度较快，但缺点是思维上不太好想，所以仅作为一个补充方法，实在掌握不了这种方法的同学依然可以采用方程法求解。1.什么时候用？（1）已知条件少，不好列方程。（2）能直接看出 S、v、t 中的不变量。2.比例关系：V*t=S。（1）S 相等（不变），v、t 成反比。例：S 相等，V甲t甲=V乙t乙，V甲/V乙=t乙/t甲。（2）t 相等（不变），S、v 成正比。例：t 相等，S甲/v甲=S乙/v乙，S甲/S乙=v甲/v乙。（3）v 相等（不变），S、t 成正比（这种题目特别少）。【例 10】（2018 年黄委会）一辆客车与一辆货车从东、西两个车站同时出发匀速相向而行，客车和货车的行驶速度之比为 4：3。两车相遇后，客车的行驶速度减少 10%，货车的行驶速度增加 20%，当客车到达西车站时，货车距离东车站还有 17 公里。东、西两个车站的距离是（）公里。A.14 B.15 C.16 D.17【解析】例 10.画图理解题意，假设两车各自从 A、B 出发，在 C 点相遇，客车继续行驶至 B 点，此时货车差 17 公里至 A 点，发现两车行驶的时间是相等的，可以考虑比例行程；但两车的速度出现过变化，所以需将行驶过程分为两段：（1）两车同时出发两车相遇，t 相等，S、v 成正比，S客/S货=V客/V货=4/3，设AC=4S，BC=3S；（2）两车相遇客车到达 B 点：V客=4*（1-10%）=3.6，V货=3*（1+20%）=3.6，说明在这段时间内，客车、货车速度是相等的，所以在这段时间内，两车行驶的路程也相等；根据客车行驶了 3S，所以货车也行驶了 3S；再根据车站之间距离不变可列方程：4S+3S=3S+3S+17，解得 S=17 公里，所以东、20 西两个车站的距离=7S=7*17=119 公里，对应 C 项。【选 C】【注意】1.出发相遇：两车的 t 相等，S 和 v 成正比，因此路程比也为 4：3，用 4S、3S 表示。2.相遇客车到达：两车的 t 相等；v客=4*（1-10%）=3.6，v货=3*（1+20%）=3.6，即 v 相等；因此两车的路程也相等。根据画图可知，均为 3S。3.车站距离=S客=4S+3S=7S，车站距离=S货+17=3S+3S+17=6S+17，因此S=17km，两个车站之间的距离=7S=7*17=119km。【答案汇总】6-10：BBABC 【小结】行程问题：1.基础行程。（1）基本公式：S=v*t。（2）等距离平均速度：公式：v=2*v1*v2/（v1+v2）。21 应用：上下山、往返。（3）火车过桥：过桥：路程=桥长+火车长。完全在桥上：路程=桥长-火车长。过杆/灯：路程=火车长。2.相对行程：（1）流水行船：顺水速度=船速+水速；逆水速度=船速-水速。（2）相遇追及：公式：相遇：路程和=（大速度+小速度）*时间；追及：路程差=（大速度-小速度）*时间。路程和路程差：画图确定；环形：第 n 次相遇，路程和为 n 圈；第 n 次追及，路程差为 n 圈；线形两端出发：第 n 次相遇，路程和为（2n-1）*S。注意：如果题目涉及多个主体，每次只分析 2 个的相遇或追及。3.比例行程：s 一定，v、t 成反比；t 一定，s、v 成正比；v 一定，s、t成正比。【注意】1.下节课 18：45 开始答疑。2.作业：（1）把例题梳理一遍，不理解的听一下回放。（2）预习经济利润问题、排列组合与概率（至少每节做一半例题）。3.坚持是一个艰难的过程，正是因为艰难，所以不是每个人都能做到；谁做到了，谁才有可能是那个成功的人。【答案汇总】工程问题 1-5：DCBAB 行程问题：1-5：CBBBD；6-10：BBABC 22 遇见不一样的自己 Be your better self