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2019.03.02 理论攻坚-数字推理 张小飞(笔记).pdf
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2019.03.02 理论攻坚-数字推理 张小飞笔记 2019.03 02 理论 攻坚 数字 推理 张小飞 笔记
理论攻坚-数字推理 主讲教师:张小飞 授课时间:2019.03.02 粉笔公考官方微信 1 理论攻坚理论攻坚-数字推理数字推理(笔记)(笔记)【知识点】1.考查数推省市区(不完全统计):(1)2016 年:江苏、四川、河北、天津、广东。(2)2017 年:江苏、四川、河南、河北、山西、天津、广东、重庆、安徽、辽宁。(3)2018 年:江苏、四川、河南、天津、广东、上海、新疆。2.与数学运算相比数字推理的难度较低,大部分地区一般考查 5 个数字推理,有些也会考查 10 个。以 5 个为例,基本上有 3 个左右是很简单的(基本上能够做出来,熟练掌握后半分钟可以解一道题),剩下的 2 个建议放弃。因为类似图形推理,能够辨别出来的就很简单,辨别不出来的就需要慢慢找、一遍一遍地试,这样就有点浪费时间,不值得在一个数推题上浪费很多时间。优先做一眼就能够看出题型特征和考查规律的题,看不出来可以先做减法,再算不出来就可以放弃了。基本上 5 个题可以答对 3 个,60%的正确率也不算低,所以数推是值得学习的。3.考查数推省市区(不完全统计,因为拿到的题目不一定是完整的)。以最多的一年为例:如果本省考过,建议一定要学习。江苏、四川、河南、河北、山西、天津、广东、重庆、安徽、辽宁、上海、新疆都考查过数推。在浙江(考查较多)和福建,数推是必考的。4.很难一一列举所有的数推,本节课讲解常考的数推,掌握常考的即可。2 【知识点】1.基础数列:是做其他数列的基础,也会单独考查。2.特征数列:分数数列、多重数列、幂次数列。特征明显,如:黑头发、黄皮肤黑眼睛是亚洲人。高鼻梁、蓝眼睛、黄头发是欧美人。特征明显能够立刻认出。3.非特征数列:多级数列、递推数列。第一节 基础数列【知识点】基础数列:1.等差数列:相邻两项的差相等。如:3,5,7,9,11,13,每个数都比其前一个数大 2。每个数比都其前一个数大几,这就是等差。2.等比数列:每一个数除以其前一个数的商相等,或者比例是相等的。如:1,2,4,8,16,32,。每一项除以其前一项的商都是相等的(2/1=2,4/2=2,8/4=2),就是等比数列。3.质数数列:除了 1 和它本身之外,就没有其他约数的自然数。如:2,3,3 5,7,11,13,17,19,。2 的约数只有 1 和 2,3 的约数只有 1 和 3,5的约数只有 1 和 5,即:只有 1 和它本身。建议记住 20 以内的质数。对于偶数而言,其他偶数都可以分解为“2*几”,在偶数中,只有 2 为质数,其他的偶数都不是质数。但是,奇数也不全是质数,如:9、15,要排除。4.合数数列:和质数相对的叫做合数。除了 1 和它本身之外,还有其他约数的自然数。4(除了 1 和 4,还有约数 2,可以分解为 2*2),6(可以分解为2*3),8,9,10,12,14,15,16,18,20。可见:除了 2 之外,其他的偶数都是合数,因为都可以分解为“2*几”。特殊的:9 和 15,它们虽然是奇数,但也是合数,因为可以分解为 3*3,3*5。所以,当看到一堆偶数中出现 9或者 15,基本上可以判断为合数数列。注意:从数学上规定,1 既不是质数,也不是合数。如果出现 1,可知其既不是质数数列,也不是合数数列。等差数列和等比数列较为简单,质数数列和合数数列经常会忽略,但是其考查频率较高。5.周期数列:呈现周期性规律,循环出现。如:5,2,0,5,2,0,为“5,2,0”每三个数字出现一次。这是数字呈周期性,还有可能是符号存在周期性。如:1、-2、3、-4、5、-6。本身为自然数列 1,2,3,4,5,6,符号:+、-、+、-,可知符号也呈周期性出现,所以下一个数应该是 7 且符号为+,即:+7。6.简单递推数列:前面的项推出后面的项。如:(1)递推和:前面的项加和推出后面的项。如:1,2,3,5,8,13。1+2=3,2+3=5,3+5=8,5+8=13。简单递推和:前面的项相加得出第三项。(2)递推差:前面两项做差得出第三项。如:12,7,5,2,3,-1。12-7=5,7-5=2,5-2=3,则下一项为 3-(-1)=4。(3)递推积:前两项相乘得到第三项。如:1,3,3,9,27,243。1*3=3,4 3*3=9,3*9=27,9*27=243。(4)递推商:前面两项做商得到第三项。如:54,18,3,6,12,12。54/18=3,18/3=6,3/6=1/2,6/(1/2)=12。(5)通过前两项简单的加减乘除运算得出第三项,简单递推数列没有以上几个数列容易看出,通常是习惯于找等差、等比、质数数列,可能合数数列还不太习惯,还有简单递推数列也要注意,如果发现既不是等差、等比、也不是质数、合数数列,要思考是否非简单递推数列。【知识点】区分:1.1,3,5,7,():为等差数列,1 既不是质数,也不是合数,即:每项都相差 2。1,3,5,7,(9)。2.2,3,5,7,():为质数数列,它们的差不相等,差为:1,2,2,差不相等,且无规律,未知项为 11,注意不能写 9。要记住 20 以内的质数。5 本题为:2,3,5,7,(11)。3.2,3,5,8,():不是质数、合数、等差(做差为 1,2,3,为后面要讲解的多级数列),为递推和数列,因为 2+3=5,3+5=8,下一项为 5+8=13。2,3,5,7,或者 1,3,5,7,或者 2,3,5,8 的时候,出现较为接近的数要注意,大意就会出错。这些数列会经常出现。本题为 2,3,5,8,(13)。4.4,6,8,10,():为等差数列,每项相差 2,本题为 4,6,8,10,(12)。5.4,6,8,9,():为合数数列。如果在很多偶数中出现 9 或者 15(奇数),要考虑合数。本题为 4,6,8,9,(10)。合数数列考查较少。6.注意:等差、质数、递推和经常出现。【例 1】(2017 年铁岭)24,31,38,(),52 A.45 B.47 C.49 D.51【解析】1.看不出规律做减法,31-24=7,38-31=7,可以推测是公差为 7的等差数列,验证:38+7=45,52-45=7,对应 A 项。【选 A】【注意】题型特征和方法要一一对应。6 【例 2】(2015 年丽江)2,6,18,54,()A.162 B.172 C.152 D.164【解析】2 方法一:6/(-2)=-3,-18/6=-3,54/(-18)=-3,则 54*(-3)=-162,对应 A 项。看到倍数,其实为等比数列。方法二:周期数列。符号“-、+”出现,即:-、+、-、+,则下一项为“-”,对应 A 项。【选 A】【例 3】(2017 临汾)6,8,14,22,36,()A.58 B.64 C.72 D.46【解析】3.既不是质数/合数数列,也不是等比数列。观察是否为等差数列,相邻两项做差为:2,6,8,可知不是等差数列。也不是周期数列,考虑递推和数列。即:6+8=14,8+14=22,14+22=36,下一项为 22+36=58。【选 A】【注意】排除其他数列之后,可以确定是递推数列。7 【答案汇总】13:AAA 【知识点】基础数列:1.等差数列:相邻数字之差相等。2.等比数列:相邻数字之比相等。3.质数数列:只有 1 和它本身两个约数的自然数。2,3,5,7,11,13,17,19。4.合数数列:除了 1 和它本身还有其他约数的自然数。4,6,8,9,10,12,14,15,16,18,20。5.周期数列:数字或符号之间存在周期循环。6.简单递推数列:递推和、递推差、递推积、递推商。第二节 分数数列 8 【知识点】分数数列:1.题型特征和解题思路要一一对应。2.题型识别:数列中全部或大部分数字是分数。如:1/2,2/3,3/5,4/7,();1/3,4/3,7/12,()。这两个数列中的所有数都是分数,所以是分数数列。3.解题思路:分子、分母递增或递减。(1)分子、分母分别找规律。如:1/2,2/3,3/5,4/7。其分子分母均依次递增,先分子、分母分别找规律,因为这种题考查的多。分子为:1、2、3、4,可知下一项为 5,分母为:2、3、5、7,可知为质数列(1、3、5、7 才是等差,后面跟 9),则下一项为 11,未知项为 5/11。(2)分子、分母一起找规律。如:1/3,4/3,7/12,(),分子、分母分别找不到规律(分子:1、4、7,均相差 3。分母:3、3、12,无规律且不是等差),则分子、分母一起找规律。分子:第二项的分子和第一项的关系可能是 1+3=4(第二项的分子),验证:第二项 4/3,4+3=7(第三项的分子),则下一项分子为 7+12=19。分母:第二项的 3 与第一项的规律,可能是 13=3,验证:第三项的 12 与第二项的关系为 43=12,可知规律为:前一项的分子*前一项的分母=后一项的分母,则下一项为 712=84,未知项为 19/84。9 4.注意:1/3,4/3,7/12,(),分子相差 3,分母无规律。很少考查分子与分子之间有规律,前一项分母与前一项的分子和分母都有关系。分数数列绝大部分都是分子、分母分别找规律或者分子、分母一起找规律。注意:分母不能看成 3/3=1,12/3=3,下一项无法判断商是几,可以是 5,也可以是 4(1+3=4)。除非前两个数做差相等,才能判断后一个数做差相等。或者前两个数做商都是 1 倍或者 3 倍,也可以判断后一项做商为 1 倍或者 3 倍。两个不同的数推第三个数,这样的规律不严谨,不能用。5.小结:分子、分母递增或递减。(1)分子、分母分别找规律,就是自己看自己的。(2)分子、分母一起找规律,后一项的分子与前一项的分子、分母有关联。【例 1】(2017 年开封)1/2,3/5,5/8,7/11,()A.3/4 B.3/16 C.9/14 D.9/16【解析 1】1.题干和未知数都是分数,为分数数列。观察可知:分子和分母都为递增,则分子、分母分别找规律。分子:1、3、5、7,均相差 2,下一项为9。分母:2、5、8、11,没有规律做减法,5-2=3,8-5=3,11-8=3,下一项为14-3=11,对应 C 项。【选 C】【注意】全部或者大部分都是分数,为分数数列。如果分子、分母均递增或递减,那么先分子、分母分别找规律,如果没规律,就分子分母一起找规律。10 【例 2】(2017 年临汾)1/2,3/5,8/13,21/14,()A.55/88 B.43/89 C.55/89 D.3/4【解析】2.本题为分数数列且分子、分母均递增,先分子、分母分别找规律,分子为 1,3,8,21,如果无法看出规律就先做差,即:3-1=2,8-3=5,21-8=13。2,5,13 无规律,也可以看出差为每项的分母,可知下一项分子与前一项的分子、分母都有关系。分子单独无法找到规律,可以分子、分母一起找规律。观察:前一项的分子+分母=后一项的分子,1+2=3,3+5=8,8+13=21,则后一项分子为21+34=55,55 较大(不便于约分),排除 B 项,因为 55 不可能约分为 43。D 项也错误。观察分母,看第二项的分母为 5,2+3=5,规律为:前一项的分母+自己的分子=分母,验证:5+8=13,13+21=34,则未知项的分母为 34+55=89,对应 C项。【选 C】11 【注意】1.分子分母均递增/递减,先分子、分母分别找规律,找不到,再分子分母一起找规律。例 1 的考查频率较高,例 2 的形式考查得较少,所以先分子、分母分别找规律,找不到规律,再分子、分母一起找规律。【知识点】1.以上考查方式不是考试的主流,大部分分数数列,分子分母不递增也不递减,忽大忽小。可以反约分。2.题型识别:数列中全部或大部分数字是分数。3.解题思路:(1)分子、分母递增或递减:分子、分母分别找规律。分子、分母一起找规律。(2)分子、分母不递增递减:反约分(考的多)。改变打破递增/递减的分数形式,让其符合递增/递减的规律即可。如:1/4,2/5,1/2,4/7,分子、分母既不递增也不递减。观察可知是 1/2 违反了递增的趋势,进行其反约分,分子、分母同时扩大相同倍数,分子 2 要大于且 5 小于 7,可以变成 3/6,分子、分母就变成均递增。则分母:4、5、6、7、8,分子:1、2、3、4、5。所以未知项为 5/8。找到打破递增/递减的分数,对其进行反约分,分子、分母同时扩大相同倍数,让分子、分母变成均递增/递减,之后再分子、分母分别找规律。这是分数数列中考查最多的一种形式。12 广义通分,考查较少,即:分子/分母好找公倍数。如:一看这些分数的分母 2、4、1、2、4,其公倍数为 4,但是大部分不会这样。先考虑反约分,做不出来再考虑广义通分。【例 3】(2015 年许昌)0,1/3,1/2,3/5,()A.2/3 B.3/4 C.5/7 D.1【解析】3.题干中 4 个数有 3 个是分数,选项也是分数。数列中的全部或者大部分书都是分数,则为分数数列。分母不递增,忽大忽小,就反约分。分母5 为变大,要递增则 1/2 的分母要介于 3 和 5 之间,分子、分母同时扩大 2 倍为2/4,分子为:1、2、3、(4),分母为:3、4、5、(6),则未知项为 4/6=2/3,如果时间不充裕就直接选,如果有时间要看一下 0,要力求严谨。让 0 符合趋势,则为 0/2,注意:0/n=0,对应 A 项。【选 A】【注意】1.分子分母均不递增/递减,找到违反规律的分数,进行反约分,让其分子、分母同时扩大相同倍数,符合规律即可。2.本题较为简单,因为只变化了一个,其他题可能不只变化一个,或者不止有一个违反了变化趋势。【例 4】(2015 年上海)1/3,1/3,4/9,2/3,16/15,()A.13/12 B.16/9 13 C.19/18 D.31/18【解析】4.为分数数了,且分子分母既不递增也不递减。观察:分母 315为整体递增的趋势,违反递增是第二个 1/3(分母要介于 3 和 9 之间)和 2/3(分母要介于 9 和 15 之间),选择方便变化的。1/3 的分母要大于 3 小于 9 且为 3 的倍数,可知只有 6,即:扩大 2 倍为 2/6。2/3 的分母要介于 9 和 15 之间且为 3的倍数,只有 8/12(分子、分母同时扩大 4 倍),则分母为:3、6、9、12、15,差为 3,可知下一项为 18,分子:1、2、4、8、16,为 2 倍关系,16 的 2 倍为32,则未知项 32/18=16/9,对应 B 项。【选 B】【注意】1.本题难度正常,需要对两个分数进行反约分。这两个分数的分子和分母均打破了递增的趋势,要把分子和分母扩大相同的倍数,且要介于其前后两个分数之间,即可解题。2.解题步骤:(1)全是分数为分数数列。(2)分子、分母不递增也不递减,对打破递增/递减的分数(1/3、2/3)反约分,(3)再分子分母找规律。14 【例 5】(2017 年河北)2/3,1/2,6/13,4/9,10/23,3/7,()A.4/11 B.13/33 C.14/33 D.5/11【解析】5.题干中一共 7 个分数,为分数数列。323 变大,分母应该变大才对,违反趋势的有 1/2、4/9、3/7,要进行变化,重点在于先变化哪个分数。3/7:7 的倍数比 23 大太多(4*7=28、5*7=35、6*7=42)。1/2:2 的倍数介于 3-12之间的数字太多(2*2=4、2*4=8、2*8=26),不能逐一地尝试。4/9:分母是 9的倍数,且要介于 13 和 23 之间,即分子、分母同时扩大 2 倍为 8/18。分母:13 和 18,18 和 23 均相差 5,分母规律可能为均相差 5。13-8=5,则 1/2 变化为4/8,分母要相差为 5,则把 3/7 分母变成 28,分子、分母同时扩大 4 倍,即 12/28,分母相差 5,未知项的分母为 28+5=33。分子:2、4、6、8、10、12,为相差 2的等差数列,未知项的分子为 14,未知项为 14/33,对应 C 项。【选 C】【注意】1.有难度的分数数列的考查方式:不仅要对多个分数进行反约分,且无法确定把该分数变成多少。可以从最容易变的分数入手,本题之所以从 4/9入手,原因在于其分母要在 9 和 23 之间,且为 9 的倍数,只有唯一变化。剩下的 1/2 和 3/7 不知道如何变化,可以先猜测出一个规律,再对其进行变化。2.有多个数需要进行反约分,优先变化有唯一变化的分数,剩下的根据猜测的规律进行变化即可。15 【答案汇总】1-5:CCABC 【例 6】(2016 年唐山)1/2,5/2,8/9,3/8,4/25,1/18,()A.-1/14 B.1/32 C.0 D.1【解析】6.为分数数列,分子、分母忽大忽小则反约分。分母 218 为变大的趋势,违反规律的是 3/8 和 1/18。1/18 没有约数,不方便变化。看 3/8,分母要介于 9 和 25 之间,且为 8 的倍数。注意:不能是 24,因为与 25 太接近,做差不易得出规律。所以,分子、分母同时扩大 2 倍变为 6/16(16 和 9、25 均有一定的差距),如果分母(2、9、16、25)做差没发现规律,可以先看分子 8、6、4,均相差 2,则 1/18 的分子要与 4 相差 2,可以变为 2/36。前面也要差 2,10 比 8 大 2,则 5/2 要变成 10/4。12 变为 12/1,12 和 10 也相差 2。分子为相差 2,因为 2-2=0,可知未知项的分子为 0(12-10=2、10-8=2、8-6=2、6-4=2、4-2=2、2-2=0),注意:0/n=0,对应 C 项。分母:1、4、9、16、25、36,分别是 1、2、3、4、5、6,下一项为 7,即分母为平方数。【选 C】【注意】反约分在实际考试中考查较多,需要掌握。当分子、分母不递增,也不递减,可以考虑广义通分。分子或者分母比较号召公倍数的时候,可以把分子或者分母化成一样的数。16 【拓展】(2015 年福建)2/3,1/2,1/6,1/3,-(1/6),(),-2/3,-7/6 A.1/2 B.-(1/2)C.-(1/3)D.1/3【解析】拓展.分子、分母不递增也不递减,且反约分会发现不便于变化:2/3,1/6,3/9,-(2/12),且变化分母之后,分子、分母均无规律。当无法反约分时,考虑广义通分。本题分母好找公倍数。分母:2、3、6,公倍数为 6,则为 4/6、3/6、1/6、2/6、-(1/6)、()-(4/6)、14/6、7/6,分母全是 6,分子不是等差、等比、质数、合数。考虑递推:4-3=1,3-1=2,1-2=-1,则未知项为 2-(-1)=3。验证:-1-3=-4,3-(-4)=7,则 3/6=1/2。【选 A】【注意】广义通分考查较少,只要记住无法反约分解题时,观察分子分母哪个好找公倍数,找公倍数再找规律解题。17 【知识点】分数数列:1.识别:数列中全部或大部分数字是分数。2.思路:(1)分子、分母递增或递减:分子、分母分别找规律(考查多)。分子、分母一起找规律。(2)分子、分母不递增或递减:反约分:对打破趋势的分数进行反约分,把其分子、分母扩大相同的分数,再分子、分母分别找规律。如果有多个分数都需要反约分,则优先找好反约分的分数进行反约分,不好反约分的分数,可以先猜一个规律,再观察如何变化即可。广义通分:分子/分母好找公倍数。了解即可,实际考查得很少仅作为补充,可能 56 套试卷中才有 1 道题。【答案汇总】:1-5:CCABC;6:D 第三节 多重数列【知识点】多重数列 1.题型识别:项数多(7 项);俩括号(如:例 1 有俩括号)。2.解题思路:先交叉(奇数项和偶数项分别看),再分组(二二分、三三分)。18 3.例子:(1)【引例 1】1,4,3,9,5,16,7,(),有 8 项,考虑多重。先交叉再分组。看奇数项:1、3、5、7,则下一项的下一项为 9,偶数项:4、9、16 是平方数,分别是 2、3、4,则未知项为 5=25。可知:奇数项为等差数列,偶数项为平方数列。若交叉无规律,可以分组。(2)【引例 2】11,5,8,8,4,12,7,()。先交叉:11、8、4、7,做差:3、4、-3 无规律,奇数项无规律,偶数项就不看了,即使偶数项有规律也不成立(不严谨)。8 项一般二二分组(因为无法三三分组),圈完之后组内进行加减乘除,再看规律,除法(11/5 除不开)和乘法(数字太大)不太可能,所以优先加法和减法,减法也不太可能(因为 8-8=0。)所以做加法,组内相加均为 16(11+5=16、8=8=16、4+12=16),可知 7+9=16,则未知项为 9。(3)【引例 3】2,4,8,5,6,30,6,7,()。有 9 个数,不要二二分组,因为未知数无法分组,所以三三分组,然后组内加减乘除找规律。第二 19 组 5、6、30,可知 5,86=30,第一组 2*4=8,则未知项 6*7=42。4.若交叉无规律,8、10 项采用二二分组,9、12 项采用三三分组,12 不二二分的原因在于基本上不会考查需要分六组才能找出规律的题。【例 1】(2017 年临汾)13,4,11,8,9,16,7,32,(),()A.5,64 B.3,64 C.5,40 D.3,40【解析】1.项数很多,有两个括号,为多重数列,则先交叉再分组。奇数项13,11,9,7,分别差 2,奇数项的未知数为 5。偶数项 4,8,16,32,为 2 倍,则偶数项的未知数为 32*2=64,对应 A 项。【选 A】【注意】本题较为简单,特征明显:项数多且出现两个括号,为多重数列。【例 2】(2017 年重庆)5,3,7,6,11,10,13,15,()A.16 B.17 C.19 D.20【解析】2.本题项数多,先交叉再分组。先交叉:5、7,11、13 不是等差,因为没有 9,少个 9 为质数,(2、3、5、7,9、11 为质数,没有 2、3 也是质数),5,7,11,13 之后不应该写 15,应该写 17。若时间紧张可以直接选 B 项。时间不是那么紧张可以观察偶数项是否有规律。偶数项 3、6、10、15 直接观察无规律,做差为 3、4、5 的等差,奇数项和偶数项均有规律,则规律正确,正确答案为 17。【选 B】【注意】可以交叉找规律,就不需要再分组。20 【例 3】(2017 年砀山)100,42,80,22,66,8,58,()A.0 B.2 C.12 D.8【解析】3.8 项较长,7 项为可以考虑多重数列,先交叉再分组。第 8 项为偶数项,优先看偶数项的规律。偶数项:42、22、8 直接观察无规律,做差为20、14 也无规律。交叉无规律,就分组,8 项二二分组,再组内加减乘除,优先看加法和减法。组内加法为:142、102、74 无明显规律。组内减法:58、58、58 可知规律为:组内差=58,则未知项为 58-0=58,对应 A 项。【选 A】【注意】交叉无规律,然后分组,再组内加减乘除,优先加法和减法。【例 4】(2017 年河南)9,1,8,3,5,2,3,5,8,9,(),11 A.2 B.2 C.1 D.1【解析】4.项数很多,为多重数列,先交叉再分组。奇数项:9、-8、5、-3、8、()没有明显规律,做差为:-17、13、-8、11 依然没有规律,当交叉无规律就分组,一共有 12 项,8 和 10 项优先二二分,9 和 12 项优先三三分(因为没 21 有考查二二分 6 组的情况)。12 项三三分组为 4 组,组内加减乘除,因为数字很大,优先加法或者减法。加法:9+(-1)=8,-8 和 8 互为相反数,即:前两个数相加,与后一个数数值相等符号相反,验证:-3+5=2,2 和-2 数值相等符号相反,13+(-5)=-8,-8 和 8 数值相等符号相反。也可以考虑:9+(-1)+(-8)=0,即:组内加和等于 0。验证:-3+5+(-2)=0,-3+(-5)+8=0,则最后一组:-9+()+11=0,可知未知项为-2,对应 A 项【选 A】【注意】先交叉,再分组。8 项和 10 项二二分组,9 项和 12 项三三分组,然后组内加减乘除找规律。【例 5】(2018 年深圳)1.02,3.04,7.08,15.16,31.32,()A.61.62 B.62.63 C.63.64 D.64.65【解析】5.有小数的数列:把整数和小数分开成单独的数据,再当成多重数列:先交叉再分组来做。把数据而分开为:1、02、3、04、7、08、15、16、31、22 32,。然后先交叉再分组,奇数项:1,3,7,15,31 无规律,做差为:3-1=2、7-3=4、15-7=8,31-15=16,为等差数列(为 2 倍关系),则未知项的整数部分为:62-31=32,对应 C 项。考场上时间不充裕,可以直接选 C 项。偶数项:02,04,08,16,32 可知为 2 倍关系,则未知项为 64,对应 C 项。【注意】出现小数(特征明显),从小数点的位置拆开成独立的数,数列就变得很长,再当成多重数列,先交叉,再分组来解题。【答案汇总】1-5:ABAAC 【例 6】(2016 年宁波)2.12,5.30,3.18,9.54,()A.4.27 B.7.42 C.1.38 D.5.33【解析】6.从小数点的位置拆开,当成多重数列,先交叉再分组。奇数项:2、5、3、9 无规律,做差:5-2=3、3-5=-2、9-3=6,无规律。交叉无规律,则分组。本题为 8 项,加上未知项为 10 项,8 或者 10 项优先二二分组。组内加减乘除找规律,分组:2 和 12,5 和 30,3 和 18,9 和 54,前一个数6=后一个数,也可理解为:组内后除前商 6,只有 B 项正确。考虑组内做除法,是因为组内有倍数关系,如果给的数是 5.33,则不会考虑做除法,优先考虑加法和减法,乘法的可能性微乎其微。【选 B】23 【答案汇总】1-5:ABAAC;6:B 【知识点】多重数列:(1)识别:项数多(7 项考虑多重),俩括号(较少,因为目标太明显)。有小数的数列可以当成多重数列来做。(2)思路:先交叉(奇数项和偶数项分别看),再分组(8 和 10 项优先二二分、9和 12 项优先三三分,再组内加减乘除运算找规律,数据不会太大,一般不需要动笔,口算即可,如:5.33 不考虑乘法和除法,所以组内优先加法和减法,不要想复杂)。把整数部分和小数部分拆开,当成独立的数,先交叉再分组。第四节 幂次数列【知识点】1.幂次数列不仅仅是平方数和立方数,四次方也是幂次数。2.题型识别:数据本身是幂次数或该数的附近有幂次数。如:16,25,36,49,64,(),分别是 4、5、6、7、8,指数都是 2,底数为 4、5、6、24 7、8,则下一项为 9,则未知项为 9=81。3.解题思路:(1)普通幂次指数与底数的变化规律。把数转化为幂次数,再分别看指数(上面的时候数)和底数(下面的数)的规律。附近有幂次数和修正幂次,后文再讲解。【知识点】1.补充记忆:常见的幂次数要记住,1119,2373,2454。(1)11=121,12=144,13=169;14=196,15=225,16=256;17=289,18=324,19=361。13和 14=为最后两个数倒过来。(2)23=8,33=27,43=64。;53=25*5=125,63=36*6=216,73=49*7=343。(3)24=(2)=16,34=(3)=81,44=(4)=256,54=(5)=625。(4)2510:32、64、128、256、512、1024 可以联想手机内存,32(刚开始)、64、128(大部分为 64 和 86G)、256(土豪)、512(最土豪)、1024。2.73很少考查,三次方一般考到 63。54很少考查,四次方考到 44。需要记忆,记不住无法识别题型。【例 1】(2016 年广东)64,49,36,25,16,()A.9 B.10 C.14 D.15【解析】1.64=8,49=7,36=6,25=5 平方,16=4,指数都是平方,底数为 8、7、6、5、4,可知未知项为 3=9,对应 A 项。【选 A】【例 2】(2017 年砀山)1,4,27,(),3125 A.70 B.351 25 C.371 D.256【解析】2.27=33,4=2。两个数只能猜规律,不一定严谨。先猜,再依次验证。猜规律:底数(23 越来越大)依次增加 1,指数(23 越来越大)也依次增加 1,猜:1=11,4=22,27=33,()=44,55,验证:未知项为 44=(4)=256,5*5=25*25=54=625,625*5 确实为 3000+且尾数为 5,因此,规律验证正确。【选 D】【注意】1.本题项数较少,加上未知项才有 5 个,且已知数只有 4 个,所以先猜一个规律,再验证。2.两个数找规律只能叫做猜,经得住验证才正确,否则是错误的。因为两个数字太少了,基本上要三个数才能找规律。26 【知识点】1.附近有幂次数:(1)如:15,24,35,48,63,()。数字均不是幂次数,但是其附近有幂次数,15=16-1=4-1,24=25-1=5-1,35=36-1=6-1,48=49-1=7-1,63=64-1=8-1,则未知项为 9-1=80。如:63 不是幂次数,但是其附近幂次数,可以先转化为普通幂次修正项(较小的),再找规律即可。注意:修正项一般为 1、2,一般情况不会超过 5,不可能是加 10 或者减 9。修正项考到 5 的都很少,常考的是1/2/3。(2)把附近幂次数先转化为普通幂次修正项,再通过该幂次数的底数和指数找规律即可。如:15,24,35,48,63,()转化为 15=16-1=4-1,24=25-1=5-1,35=36-1=6-1,48=49-1=7-1,63=64-1=8-1,指数均为 2,底数为 4、5、6、7、8、9,为自然数列,修正项都是“-1”,就能找到规律。2.常考的:(1)10+16,不到 10 的,考查 8、9 的比较多,分别是 23和 3。(2)20+25,25=5、27=33。(3)30+32、36,考查 36 较多,36=6。32=25(手机内存),考查较少。(4)60+64,64 的考查频率高,看到 60+,甚至 5570 的范围都可以考虑 64,55 往下为 7=49,考查得不太多。70 往上只有 9*9=81,5570 的区间很大,最可能考查的谁 64。3.找修正项,优先从 64 入手;转化幂次数,先变唯一的幂次数(先避开16、64、81 及小数字)。(1)看到 64 附近的数,优先考虑是否可以表示为“64几”。64 考查频 27 率高的原因在于其变化情况多样,64=8=43=26,26考查较少。=8=43考查较多。如果已经确定该数为“64几”,要把幂次数转化谁的几次方时,先别变化 64,因为 64 的变化太多样。先变有唯一变化幂次数。如:25+3、64-3,要先变化25+3,因为只能写成 5+3(唯一变化),然后再变化 64-3。(2)避开 16、64、81,因为 16=4=24、64=8=43=26、81=9=34。0、1 也要避开。因为变化太多样,如:1=1n=(-1)2n,0=0n。数字太小,最后再变化,做验证即可。3.小结:讲解了常考的幂次数。找该用谁去加减的时候,先从 64 左右的数入手。见到 64、27、25 的时候,先变化有唯一变化的数,先不变 16、64、81 及小数字,这些数字到最后再考虑变成谁的几次方。【例 3】(2018 年深圳)0,7,26,63,()A.80 B.96 C.124 D.168 28 【解析】3.有 64 附近的 63,63=64-1,不确定 26,因为 26=25+1=27-1,前年都有 1,因为 6 不是幂次数,所以 7=8-1。把幂次数变成谁的几次方,8=23,27=33,25=5,观察可知 27=33更好找规律,即:指数都是三次方,底数为 2、3,变大了 1,。所以优先 27=33,64=43,验证:0=13-1,规律为:底数分别为 1、2、3、4、5,指数都是三次方,修正项都是-1,则未知项为 53-1=125-1=124。【选 C】【注意】优先从 64 附近的数入手找修正项(1 或者4),变化幂次数的时候避开 64,先变化有唯一变化的数,如 8、27,最后看 64 如何变化好找规律。【例 4】(2015 年贵州)65,35,17,(),1 A.9 B.8 C.0 D.3【解析】4.有 64 附近的数 65,65=64+1,35=36-1=32+3,17=16+1,1 最后验证即可。36=6,则 16=4便于找规律,64=8。可以发现 36=6较容易找规律,因为 35=32+3=25+3,五次方太大,不便于找规律,排除。规律为:底数分别是 8、6、4、2、0,分别差 2,;指数均为平方,修正项为:+1、-1、+1、-1、+1。1=0+1,则未知项为 2-1=3。【选 D】【注意】例 3 和例 4 都是先从 64 附近的数字入手,变成“幂次数几”,尽量让修正项有更大的关联性,之后先避开 64(变化多样),常考的是 8,43。尽量减少猜的次数。29 【例 5】(2015 年南平)9,10,65,26,217,()A.289 B.89 C.64 D.50【解析】5.有 64 附近的 65,65=64+1,10=9+1,9=8+1,217=216+1,所有的修正项都是+1,则 26=25+1。幂次数变化,从有唯一变化的入手,8=2,9=3,64=4,25=5,216=63,底数为 2、3、4、5、6、(7),指数为 3、2、3(64=43)、2、3、(2)。修正项都是+1,则为未知项为 7+1=50。【选 D】【注意】先找 64 附近的数,确定修订项之后,再变化其他的数。【例 6】(2017 铁岭)0,6,24,60,120,()A.18 B.210 C.22 D.240【解析】6.出现 64 附近的数 60。60=64-4,120=125-5=121-1,121=11,30 125=53,可知 125 的可能性较大,因为修正项有规律(-4、-5),猜测前面是-3。24=27-3=25-1,6=8-2,0=1-1,则修正项规律为:-1、-1、-3、-4、-5、(-6),转化幂次数,从有唯一变化的入手(避开 64)。本题除了 64 都有唯一变化,125=53、27=33、8=23、1=13,底数为1、2、3、4、5、6,指数均为3,则未知项为 63-6=216-6=210,对应 B 项。【选 B】【注意】常考的数非常固定:20 多、60 多、8、9,120 多(偶尔考查)。看到 20 多、60 多、8、9 优先考虑幂次。【答案汇总】1-5:ADCDD,6:B 【知识点】幂次数列:1.本身是幂次数:直接变成谁的几次方即可,再分别观察底数和指数的规律,最后得出答案。2.附近有幂次数:如 63、65 附近有 64,则有可能是修正幂次,先转化为 31 普通幂次数修正项表示出数列中的数,先让修正项呈现规律,再把幂次数变成谁的几次方,变化时优先从有唯一变化的入手,16、64、81、0、1 最后再变化,因为变化太多不好猜。因式分解也可以,但是幂次数列的规律更容易找、更常规。第五节 多级数列 【知识点】1.题型识别:无明显特征(不是分数、不是多重、不是幂次)。2.解题思路:分两步:(1)优先做差(1 次、2 次),相邻两项相减,大部分数列减完一次就能找到规律,也有的减两次,还是找不到规律,一般很少做三次差,因此大部分数列减完三次剩余的项数很少;(2)次选做和、做商。3.多级数列是除了简单数列外,最简单的数列。很多地方,例如考 5 个递推,一般多级考 2 个。【例 1】(2017 年山西)3,5,9,17,33,()A.40 B.45 C.56 D.65【解析】例 1.数列无特征,项数不多,不是分数,虽然 9 为幂次数,但是其他数字

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