2018共创考研数学一（试卷）.pdf

2018 数学考研模拟试卷 合肥工业大学（共创）考研辅导中心合肥工业大学（共创）考研辅导中心：第 1 页 共 9 页 绝密绝密启用前启用前 2018 年全国硕士研究生入学统一考试年全国硕士研究生入学统一考试 数数 学（学（一一）（科目代码（科目代码:304）（模拟试卷（模拟试卷 1）考生注意事项考生注意事项 1.答题前，考生须在答题纸指定位置上填写答题前，考生须在答题纸指定位置上填写考生姓名、报考单位和考生编号。考生姓名、报考单位和考生编号。2.答案必须书写在答题纸指定的位置上，写在其他地方无效。答案必须书写在答题纸指定的位置上，写在其他地方无效。3.填（书）写必须使用蓝（黑）色字迹钢笔、圆珠笔或签字笔。填（书）写必须使用蓝（黑）色字迹钢笔、圆珠笔或签字笔。4.考试结束，将答题纸和试题一并装入试题袋中交回。考试结束，将答题纸和试题一并装入试题袋中交回。2018 数学考研模拟试卷 合肥工业大学（共创）考研辅导中心合肥工业大学（共创）考研辅导中心：第 2 页 共 9 页 2018 年全国硕士研究生入学统一考试年全国硕士研究生入学统一考试 数学数学一（一（模拟模拟 1）考生注意考生注意:本试卷共二十三题本试卷共二十三题,满分满分 150 分分,考试时间为考试时间为 3 小时小时.一一、选择题：（选择题：（1）（）（8）小题）小题,每小题每小题 4 分分,共共 32 分分.在每小题给出的四个选项中在每小题给出的四个选项中,只有一个选项符合要求只有一个选项符合要求,将所选项前的字母填在题后的括号里将所选项前的字母填在题后的括号里.(1)下列命题中不正确的是()(A)若()f x在0 xx处左、右导数均存在但不相等，则()f x在0 xx连续(B)若lim(),lim()0nxf nAfx，则lim()xf xA(C)0lim()xxf x不存在，且0lim()xxg x不存在，则0lim()()xxf x g x不存在(D)0lim()()xxf xg x不存在，但0lim()xxg x存在，则0lim()xxf x不存在(2)设()f x()g x在区间0,2上二阶可导，且(0)(0)0,(2)(2)1fgfg，且()0fx，()0g x，记221200()d,()dSf xx Sg xx，则()(A)121SS (B)211SS (C)121SS (D)211SS(3)函数22uxyz在点(1,2,2)处的方向导数最大值为()()2 ()4 ()6 ()8(4)已知空间区域是由曲面22zxy，平面0z 及4z 确定的，函数()f z连续，则()f z dz()(A)40()dzf zz (B)420()dz f zz (C)402()df zz (D)402()dzf zz(5)设123,是非齐次线性方程组AXb的三个解向量，且()3A R，1(1,2,3,4)T，23(0,1,2,3)T，C表示任意常数，则线性方程组AXb的通解X()。(A)(1,2,3,4)(1,1,1,1)TTC (B)(1,2,3,4)(0,1,2,3)TTC(C)(1,2,3,4)(2,3,4,5)TTC (D)(1,2,3,4)(3,4,5,6)TTC 2018 数学考研模拟试卷 合肥工业大学（共创）考研辅导中心合肥工业大学（共创）考研辅导中心：第 3 页 共 9 页(6)设,A B为 3 阶非 0 矩阵，满足0AB，其中21112122Baaaaaa，则(A)1a 时，必有()1A R (B)1 a时，必有()2A R (C)2a时，必有()1A R (D)2a时，必有()2A R(7)设随机变量X服从标准正态(0,1)N，且2YX，则X与Y()(A)相互独立且相关 (B)相互独立且不相关(C)不独立且相关 (D)不独立且不相关 (8)设12,nX XX是()XP(Poisson 分布)的简单随机样本，2XS与分别是样本1,nXX的样本均值与样本方差，方差2()()D XE S与分别是()。(A)、(B)n、(C)n、(D)n、二、填空题填空题:(:(9)9)(14)(14)小题小题,每小题每小题 4 4 分分,共共 2424 分分.把答案填在题中的横线上把答案填在题中的横线上.(9)设()yy x由20cossin10,dxtuettxyeu 确定，则曲线()yy x在0t 处法线方程为 (10)3221d(1)2xxxx 。(11)过点0(1,1,2)P且与曲线cos,:sin,2cossinxtytztt在点111(,2)22P的切线平行，又与曲面3:2ln(1)zxyez在点2(1,2,0)P的法线平行的平面方程为 。(12)设级数1(1)nnnax在0 x 处条件收敛，则级数1(1)nnnax的收敛区间是 。(13)已知2300110000200001A,A是A的伴随矩阵，则1214A A=.(14)设随机变量(,)X Y的联合概率密度函数为(2),0,0(,)0,x yAexyf x y其他，则方差()D XY .2018 数学考研模拟试卷 合肥工业大学（共创）考研辅导中心合肥工业大学（共创）考研辅导中心：第 4 页 共 9 页 三、解答题：三、解答题：1523 小题，共小题，共 94 分分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.(15)(本小题满分本小题满分 10 分分)已知函数()x是以(0)T T 为周期的连续函数，且(0)1，20()()dxf xxttt，求()f T的值。(16)(本小题满分本小题满分 10 分分)设(,)zz x y是由方程22()xyzxyz所确定的函数，其中具有二阶导数，且1()求dz；()记1(,)zzu x yxyxy，求ux (17)(本小题满分本小题满分 10 分分)证明：0 x，时225ln()32xexxx。(18)(本小题满分本小题满分 10 分分)设两曲线积分 231(3)d(,)dLIxyxxP x yy及232(,)d(3)dLIP x yxxyxy在平面内与积分路径无关，且(0,1)1P(I)求(,)P x y的表达式；(II)求曲线积分23(,)d(3)dLIP x yxxyxy的值，此处L为曲线21yx上，从(0,1)到(1,2)的路径。(19)(本小题满分本小题满分 10 分分)求2()arctanln2f xxxx的麦克劳林级数,并求级数11112)12(122)1(nnnnnnnn的和.(20)(本小题满分本小题满分 11 分分)(I)设12312111110,1,2,20121ab ，问,a b为何值时12,不能同时由123,线性表示？(II)设11111012,20121abAB，问,a b为何值时矩阵方程AxB有解，有解时求出其全部解.(21)(本小题满分本小题满分 11 分分)设A是n阶矩阵，A的第i行，j列元素 ijai j(1)求()AR;(2)求A的特征值，特征向量，并问A能否相似于对角阵，若能，求出相似对角阵，若不能，则说明理由.2018 数学考研模拟试卷 合肥工业大学（共创）考研辅导中心合肥工业大学（共创）考研辅导中心：(22)(本小题满分本小题满分 11 分分)设随机变量(0,1),XN1112P YP Y，且X与Y相互独立，令XYZ,求证(I)1,0(NZ；(II)ZX与不相关也不独立.(23)(本小题满分本小题满分 11 分分)设1,nXX为总体X的简单随机样本，总体X的密度函数为 222,0()0,0 xexf xx 试求：(I)参数的最大似然估计；(II)考察2是否为2的无偏估计。2018 数学考研模拟试卷 合肥工业大学（共创）考研辅导中心合肥工业大学（共创）考研辅导中心：第 1 页 共 11 页 绝密绝密启用前启用前 2018 年全国硕士研究生入学统一考试年全国硕士研究生入学统一考试 数数 学（学（一一）（科目代码（科目代码:304）（模拟试卷（模拟试卷 2）考生注意事项考生注意事项 1.答题前，考生须在答题纸指定位置上填写答题前，考生须在答题纸指定位置上填写考生姓名、报考单位和考生编号。考生姓名、报考单位和考生编号。2.答案必须书写在答题纸指定的位置上，写在其他地方无效。答案必须书写在答题纸指定的位置上，写在其他地方无效。3.填（书）写必须使用蓝（黑）色字迹钢笔、圆珠笔或签字笔。填（书）写必须使用蓝（黑）色字迹钢笔、圆珠笔或签字笔。4.考试结束，将答题纸和试题一并装入试题袋中交回。考试结束，将答题纸和试题一并装入试题袋中交回。2018 数学考研模拟试卷 合肥工业大学（共创）考研辅导中心合肥工业大学（共创）考研辅导中心：第 2 页 共 11 页 2018 年全国硕士研究生入学统一考试年全国硕士研究生入学统一考试 数学数学一（一（模拟模拟 2）考生注意考生注意:本试卷共二十三题本试卷共二十三题,满分满分 150 分分,考试时间为考试时间为 3 小时小时.一一、选择题：（选择题：（1）（）（8）小题）小题,每小题每小题 4 分分,共共 32 分分.在每小题给出的四个选项中在每小题给出的四个选项中,只有一个选项符合要求只有一个选项符合要求,将所选项前的字母填在题后的括号里将所选项前的字母填在题后的括号里.（1）.设2121()limcos1(1)nnnxxf xxx x，则（）（A）0 x是()f x的可去间断点，1x是()f x的第二类间断点（B）0 x是()f x的第二类间断点，1x是()f x的可去间断点（C）0 x 与1x 均为()f x的可去间断点（D）0 x 与1x 均为()f x的第二类间断点（2）设234123sinsinsin,xxxIdx Idx Idxxxx，则有（）（）123III（）132III （）321III（）213III（3）函数222222221sin,0(,)0,0 xyxyxyf x yxyxy在(0,0)处（）.（A）连续但偏导数不存在 （B）偏导数存在但不连续 （C）连续且偏导数存在但不可微 （D）可微（4）设在极坐标系下二次积分2sin400(cos,sin)Idf rrrdr，那么在直角坐标系下有I（）（A）21011(,)xxdxf x y dy （B）21110(,)xxdxf x y dy（C）21220010(,)(,)yy ydyf x y dydxf x y dy（D）2102(,)yy ydxf x y dy（5）设向量组1，2，3 线性无关，则下列向量组中线性无关向量组是（）。(A)12，23，31 (B)12，23，1232(C)122，2323，313 (D)123，1232322，123355（6）设设A A 是是5 45 4 矩阵，矩阵，B B是四阶矩阵，满足是四阶矩阵，满足2 2 ABAABA,*B B是是B B的伴随矩阵。若的伴随矩阵。若A A的列向量线性无的列向量线性无关，则秩关，则秩*()()r r B B()()(A)0 (A)0 (B)1(B)1 (C)3 (C)3 (D)4(D)4 （7）设随机变量XY与相互独立，且X的分布为1,(0,1)2XP Xii；X服从参数1的指数分布，则概率1P XY（）2018 数学考研模拟试卷 合肥工业大学（共创）考研辅导中心合肥工业大学（共创）考研辅导中心：第 3 页 共 11 页 （A）11(1)2e （B）1112e （C）111()2ee （D）11 e（8）设12,nX XX为总体2(,)XN 的简单随机样本，若在方差21的条件下，样本容量16n，样本均值50,X 且的10.95，（(1.9 6)0.9 7 5）的置信下限为()。（A）49.51 （B）50 （C）50.49 （D）49.88 二、填空题二、填空题：914 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 24 分。把答案填在题中横线上。分。把答案填在题中横线上。（9）设曲线()yf x过点(0,0)，且当x在0 x 处取得增量x是相应的函数值增量 2()(0)yxoxx ，则1lim 1()_.nnfn（10）微分方程xyyxtancos2的通解为 。（11）.积分22201222ln_2xxxxxdx （12）设L是由221,0 xyyx所确定区域的边界，22cosdLxys .（13）设设A A是三阶可逆矩阵。如果是三阶可逆矩阵。如果1 1 A A的特征值为的特征值为1,2,31,2,3，则，则A A的代数余子式的代数余子式中中112233112233_AAAAAA （14）设12,nX XX是来自总体2(,)XN 的样本，为使1211()niiiYkXX成为总体方差的无偏估计，则应选k k=.三、解答题三、解答题：1523 小题，共小题，共 94 分。分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（15）（本题总分（本题总分 10 分）分）确定常数,a b c的值，使得当0 x 时函数 23cos(11)ln(1)bxaexcxx是4x的高阶无穷小（16）（本题总分（本题总分 10 分）分）设函数2()(,),xzxfg xy xyy且函数()f u具有二阶连续导数，(,)g v w具有二阶连续导数，试求2zx y。（17）.（本题总分（本题总分 10 分）分）设函数()f x在,a b上连续，在(,)a b内可导，且()()0,f a f b ()()d0baf af xx 证明：(0,1)，使得2()()ff 2018 数学考研模拟试卷 合肥工业大学（共创）考研辅导中心合肥工业大学（共创）考研辅导中心：第 4 页 共 11 页（18）（本题总分（本题总分 10 分）分）计算曲面积分32222()xdydzydzdxzdxdyIxyz，是由旋转抛物面：22(01)zaxya与平面1z 围成的闭曲面的外侧.（19）（本题总分（本题总分 10 分）分）设有幂级数20(1)1nnnxn（）求该级数的和函数；（）求级数22(1)(1)2nnnn的和 （20）（本题总分（本题总分 11 分）分）T Tx Axx Ax的平方项系数均为的平方项系数均为 0，设，设(1,2,1)(1,2,1)T T 且满足且满足2.2.A A（I）求该二次型表达式；求该二次型表达式；（II）求正交变换求正交变换 xQyxQy化二次形为标准型，并写出所用正交变换；化二次形为标准型，并写出所用正交变换；（III）若若A A+kAE正定正定，求，求k k的取值范围的取值范围 （21）（本题总分（本题总分 11 分）分）已知四元齐次线性方程组已知四元齐次线性方程组（）1241242 213132 224240 00 00 0 xxxxxxaxa xaxa xaxa xaxa x 的解全是四元方程（）的解全是四元方程（）1231230 0 xxxxxx的解。的解。(I)求求a a的值；的值；(II)求齐次方程组（求齐次方程组（）的通解；）的通解；(III)求齐次方程（求齐次方程（）的通解。）的通解。（22）（本（本题满分题满分 11 分）分）设二维随机变量(,)X Y在区(,)12,01Gx yxyy上服从均 匀分布.(I)求X的边缘密度函数()Xfx；(II)条件概率密度函数|(|)Y Xfy x（III）若2ZXY，求概率密度函数()Zfz。（23）（本题总分（本题总分 11 分）分）设随机变量2(0,)XN，对X的一组简单随机样本1,nXX，试求：（I）方差2的极大似然估计；（II）对参数1bP X的极大似然估计 2018 数学考研模拟试卷 合肥工业大学（共创）考研辅导中心合肥工业大学（共创）考研辅导中心：第 1 页 共 9 页 绝密绝密启用前启用前 2018 年全国硕士研究生入学统一考试年全国硕士研究生入学统一考试 数数 学（学（一一）（科目代码（科目代码:304）（模拟试卷（模拟试卷 3）考生注意事项考生注意事项 1.答题前，考生须在答题纸指定位置上填写答题前，考生须在答题纸指定位置上填写考生姓名、报考单位和考生编号。考生姓名、报考单位和考生编号。2.答案必须书写在答题纸指定的位置上，写在其他地方无效。答案必须书写在答题纸指定的位置上，写在其他地方无效。3.填（书）写必须使用蓝（黑）色字迹钢笔、圆珠笔或签字笔。填（书）写必须使用蓝（黑）色字迹钢笔、圆珠笔或签字笔。4.考试结束，将答题纸和试题一并装入试题袋中交回。考试结束，将答题纸和试题一并装入试题袋中交回。2018 数学考研模拟试卷 合肥工业大学（共创）考研辅导中心合肥工业大学（共创）考研辅导中心：第 2 页 共 9 页 2018 年全国硕士研究生入学统一考试年全国硕士研究生入学统一考试 数学数学一（一（模拟模拟 3）考生注意考生注意:本试卷共二十三题本试卷共二十三题,满分满分 150 分分,考试时间为考试时间为 3 小时小时.一一、选择题：（选择题：（1）（）（8）小题）小题,每小题每小题 4 分分,共共 32 分分.在每小题给出的四个选项中在每小题给出的四个选项中,只有一个选项符合要求只有一个选项符合要求,将所选项前的字母填在题后的括号里将所选项前的字母填在题后的括号里.（1）.设limnnx与limnny均不存在，那么下列命题正确的是（）（A）若lim()nnnxy不存在，则lim()nnnxy必也不存在（B）若lim()nnnxy存在，则lim()nnnxy必也存在（C）若lim()nnnxy与lim()nnnxy均不存在（D）若lim()nnnxy与lim()nnnxy中只要有一个存在，另一个必定不存在 （2）下列广义积分收敛的是（）（）+111 lndxxx （）01xdxxe （）01(1)dxxx （）201sindxx（3）方程xyy2cos214 的特解形式为 (D)(A)xa2cos ;(B)xax2cos;(C)xbxa2cos2sin;(D)xbxxax2sin2cos （4）设L为 曲 线221xy，D为L所 围 成 的 区 域，()f u和()g u是 连 续 函 数，22()()DSx y g xy dxdy，2222()()()LIf xyg xydxdy，其中L沿顺时针方向，则I（）。（A）2S （B）12S （C）2S （D）S（5）设A是一个n阶矩阵，先交换A的第i列与第j列，然后再交换第+1i行与第1j 行得到的矩阵记为B，现有下列五个关系：(1)AB；(2)()()r Ar B；(3)A与B合同；(4)A与B相似；(5)A与B等价。则其中正确的有（）。（A）(1),(2)（B）(1),(2),(3)（C）(1),(2),(5)（D）(1),(2),(3),(4),(5)(6)设向量组（）：54321,均为 4 维列向量，54321,A，若T11,1,0,0,0，T20,1,3,1,0，T31,1,5,0,1是齐次方程组0AX的一个基础解系，则向量组（）的一个极大无关组是（）。(A)21,(B)41,(C)53,(D)431,（7）设随机变量(1)XE,记max,1YX，则()E Y（）.2018 数学考研模拟试卷 合肥工业大学（共创）考研辅导中心合肥工业大学（共创）考研辅导中心：第 3 页 共 9 页(A)1 (B)11 e (C)11 e (D)1e（8）设两总体X与Y相互独立，均服从正态分布2(,)N，而12,nX XX与12,nY YY为X与Y的简单随机样本，若样本均值与样本方差分别为11niiXXn，2211()1nXiiSXXn（Y与2YS对应12,nY YY的样本均值与样本方差），则统计量222()XYXYQCSS服从的分布与系数C分别为（）(A)1(22),2(1)tnn （B）1(1),1t nn（C）1(1,2(1),Fnn （D）(1,2(1),Fnn.二、填空题填空题:(:(9)9)(14)(14)小题小题,每小题每小题 4 4 分分,共共 2424 分分.把答案填在题中的横线上把答案填在题中的横线上.（9）设()yy x由方程tan()2sinln(1)0 xyxxy确定，且(,)2 2y 则0d_.xy （10）设(,)zz x y是由方程2sin(23)23xyzxyz确定的二元隐函数，则 xyzz （11）设函数()f u为连续函数，曲面222:(0)zRxyz，则曲面积分 442221(1)_.Ixy xyzf xyzdS （12）求曲线lncos,0,3yx x的弧长。（13）4R中基1231210,11 1,12 1 1,TTT 41 10 1T 到基122 10 1,0 122,TT 342 1 12,1 3 12TT 的过渡矩阵为_.（14）随机变量XY与相互独立且同分布1(,)2N，则方差()D XY=.三、解答题三、解答题：1523 小题，共小题，共 94 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（15）(本小题满分本小题满分 10 分分)设2,0()1,0 xxexf xex，求极限221(sin)0lim()dxxxxf tt。（16）(本小题满分本小题满分 10 分分)求函数(,)xyf x ye在区域22(,)|41Dx yxy上的最大值和最小值 （17）(本小题满分本小题满分 10 分分)设()f x在0,2上连续，在(0,2)内可导，且(0)0,(2)4ff证明：存在点(0,1)、(1,2)，是得33()()ff （18）(本小题满分本小题满分 10 分分)计算22Dxyxdxdy，其中D为区域221,0 xyx。【解】：设221:0Dxyx，则有 2018 数学考研模拟试卷 合肥工业大学（共创）考研辅导中心合肥工业大学（共创）考研辅导中心：第 4 页 共 9 页 （19）(本小题满分本小题满分 10 分分)设曲线31xy 与直线4nxy，4)1(nxy在第一象限围成的图形面积为()A n，n为正整数.（I）求()A n；（II）令()naA n，求数项级数1nna的和。（20）(本小题满分本小题满分 11 分分)设A是 3 阶实对称矩阵 1r A，12是A的一个特征值，对应的一个特征向量11 1 1T .（）求0Ax通解；（）求矩阵A.（21）(本小题满分本小题满分 11 分分)已知三元二次型123(,)Tf x x xx Ax经过正交变换xPy化为标准形 2221232.yyy （）求行列式*12;AA（）求3224AAAE。（22）(本小题满分本小题满分 11 分分)设(,)X Y在22(,)|1,0Gx yxyy上服从均匀分布，且 1,0,0,0XUX 222211,410,4XYVXY （I）求(,)U V联合分布律；（II）讨论U与V的独立性求相关系数UV；(III)求min(,)EU V。（2323）(本小题满分本小题满分 11 分分)设总体X的密度函数为233,0,(,)0,xxf x其他.其中0为未知参数，12,nX XX是来自总体X的样本，1maxnii nYX.()证明：43X和313nnYn都是的无偏估计量；（）比较这两个估计量，哪一个更有效？