2023李林数学考前冲刺6套卷（数二）【微信公众号：考研满分君】.pdf

2 0 2z李林考研数学系列考前冲刺6 套卷（数学二）高度适配李林8 8 0 题和1 0 8 题编著 李林不靠押题靠实力考研数学 就选李林如果你还有时间，一定做一下1 0 8 题和8 8 0 题，它们是真题伴侣。恒李林老师新浪微博扫码领取视频课程江西科学技术出版社疆“2 0 2 8业李林考研数学系列考前预测4 套卷（数学二）高度适配李林8 8 0 题、1 0 8 题和6 套卷蜂装 李林不靠押题靠买力考研数学 就选李林!如果你还有时间，一定做一下1 0 8 题和8 8 0 题，它们是真题伴侣。9 9车p司E a 0 3 为是饼用驾领的菌体上i 5 3 p e 期源售2 6 t o)江西科学技术出版社4 0 2解没要装预测蓝宝书做透一道精题 比做1 0 0 道题更重要李 林 老 师 年 度 大 作高频考点怕日题，带 你 穿 越 数 学 时空3 份试卷分析 4 5 类高频考点4 5 份考点知识清单2 0 0 余道仿真题集训4 5 个考点深度边析转拌旁通以一抵十考情揭有的胶矢重点要点 它问击波2 0 2 3之李林考研数学系列考前冲刺6 套卷（数学二）高度适配李林8 8 0 题和1 0 8 题编著 李林不靠押题靠实力考研数学 就选李林!如果你还有时间，一定做一下1 0 8 题和8 8 0 题，它们是真题伴侣。江西科学技术出版社前 言本书是为参加全国硕士研究生招生考试且考数学二的考生编写而成。本书可以用来检查考生基础和强化阶段的复习效果.帮助考生查漏补缺，积累临场经验，切实提高考生的应试水平。本书包含六套试卷，每套试卷的题型与题量和考研试题一致，涵盖考研大纲所要求的全部知识点。在题目命制上，选择题、填空题着重考查考生对基础知识的理解和运用，其中有少量综合性较强的题目。解答题体现了考试的重点与难点。选择题、填空题与解答题均配有详细的解析。全国硕士研究生招生考试是配有考试大纲的选拔性考试，命题强调知识的整体性和综合性，题目在设计上体现了不同层次，不同要求.具有一定的区分度，这就要求考生能够对知识的迁移和运用灵活自如，具有一定的数学综合运用能力。考生切忌放松对基础知识的复习，对基础知识掌握程度的考查是考试的重要目的。请考生独立完成6 套卷。对尚未熟练掌握的内容与方法，考生可参照已出版的李林考研数学系列高等数学辅导讲义李林考研数学系列线性代数辅导讲义李林考研数学系列精讲精练 8 8 0 题（数学二）李林考研数学系列高频考点 1 0 8 题加以强化提高。6 套卷所设计的试题具有很强的针对性，相信能给考生带来巨大的收获。最后，祝广大考生考出优良的成绩!目 录李林考研数学考前冲刺6 套卷（一）1李林考研数学考前冲刺6 套卷（二）.5李林考研数学考前冲刺6 套卷 三）9李林考研数学考前冲刺6 套卷（四）1 3李林考研数学考前冲刺6 套卷（五）1 8李林考研数学考前冲刺6 套卷（六）-2 3李林考研数学考前冲刺6 套卷 一）答案及解析 2 8李林考研数学考前冲刺6 套卷（二）答案及解析 3 7李林考研数学考前冲刺6 套卷（三）答案及解析.4 7李林考研数学考前冲刺6 套卷（四）答案及解析 5 7李林考研数学考前冲刺6 套卷（五）答案及解析.6 7李林考研数学考前冲刺6 套卷（六）答案及解析.7 7公众号 陈叨叨杂货铺李林考研数学考前冲刺6 套卷（一）李林考研数学考前冲刺6 套卷（一）一、选择题（本题共1 0 小题，每小题5 分，满分5 0 分.每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选选项前的字母填在题后括号内.）8=（1）当z+o 时，无穷小量a =一，7=e （a，c 全大于零），从低阶到=I n?高阶正确的排序为D.7 a BC.a.7,.A.a,8-7B.2,a.7(（2）设常数a 0，若当x（1，+0）时，l n 工x，则1.B a A.a 8.eD.0 a +.C.0 a I 1.A.I I I.D.1 I.C.1 1 .（5）设/（z）在（-1.1 上二阶可导，且广（x）0，/（x）d r=1，则()B.f(0)0.A.(0)0.C.0)号.2（6）设f（x，y）在点P。（x。，y）处有二阶连续偏导数，且 f（x，y）在P。处取得极大值，则(B.J （P。）0，厂$（P）-2 且n-m 1.B.m 0 且n-m 1.C.m 0 且n-m -2 且n-m 。.S A.=-,D.。0（9）设3 阶实矩阵A 的特征向量为;=（-1，1，0），。=（1，1.1）T，a。=（-1，-1，2），则A 必为，B.正交矩阵.A.可逆矩阵.D.正定矩阵.C.对称矩阵.上。，（1 0）设点p（x，y，）（i=1.2，3）为x O y 平面上的三个不同的点，A=.t 3则三点 p 1，p 2，p、在同一直线上的充分必要条件是A.|A =0.B.1 A|0.C.r(A)=1.D.r(A)=2.二、填空题（本题共6 小题，每小题5 分，满分3 0 分.把答案填在题中横线上.）s i n .十y：电x 2+y 0，（1 1）设 f（x，p）=D:+yyx+y=0.还。:7 z.a y-.则 i m-一，（1 2）设J（r）=l i m，则 f（x 一1）的间断点为_ _ _ e,（1 3）设曲线的极坐标方程为r=，则该曲线的斜渐近线方程为_ _ _ _ _ _3 0 一x=(1+1)c o s z,确定，=r（x，y），则（1 4）设z=x（x，y）由方程组y=t s i n z（1 5）设曲线y=（n 为正整数）与x=1 及z 轴所围区域绕x 轴旋转一周1 十n r所得体积为V。，则l i m n V。=_ _ _ _，则行列式|（2 A）-1（2 A）|（1 6）设3 阶矩阵A 满足|A=_ _ _=:.心李林考研数学考前冲刺6 套卷（一）三、解答题（1 7 2 2 小题，满分7 0 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）（1 7）（本题满分 1 0 分）；乙十当-c o s t d求极限 l i m1-e（1 8）（本题满分1 2 分）设D=x，y）|0 y 1-z 0 x 1，计算I-】e r d y.1 9）（本题满分1 2 分）设函数f（x，y）的全微分为d f（x，y）=（2 a r+b y）d r+（2 b y+a r）d y（a，b 为常数），且f（0.0）=-3，f （1，1）=3.一一一将“之”（）求点（一1.1）到曲线/（x，y）=0 上的点的距离的最大值.m李林考研数学系列考前冲刺6 套卷（数学二）（2 0）（本题满分1 2 分）设y=f（x）在【0，四）上可导，/（x）0（z 0），f（0）=k 0，若在区间【0，z】上以y=f（x）为曲边的曲边梯形的面积为A（x），y=/（x）在【0.，x】上的弧长为s（x）.且A（x）=k s（x），求（x）.（2 1）本题满分1 2 分）设 f z）在【0 1】上二阶可导./（0）=0 且1 i m 二）=1.?1（）证明存在专（0，1），使得/（s）=0（）证明存在n（0，1），使得广 收敛，则 a r c s i n x，收敛.若x。【-1，1】且x。单调，则（a r c s i n x。收敛.D.A.C.B.（3）设f（x）在【0.1】上有二阶连续导数，f（1）=1，且满足【2 f（x）一x（x-1）f （r）】d x=1，则 f（O）=C.2.D.-1.B.1.A.0.文！一=1，且f（x）/（x）【户（z）】，则下（4）设f（x）二阶可导，f（x）0，l i m:”者0列选项中必成立的是()A.e f(x)1.B.e f(x)1.夕曰六比？,I n /(z).C.0，9 0）收敛，则I n?VB.p 1 且q 1 且g 1.D.p 1.C.p 1 且g 0 时/（.y）-.J I.B 当x 1）与z 轴所围面积为_ _一之门一-d zc s c 2 y d y =_ _ _ _ _ _-s一己当。（1 5）双纽线产=a c o s 2 0（a 0）绕极轴旋转所成旋转曲面的面积为_ _ _ _ _ _.（1 6）设矩阵A 的秩为3，a;，a，a;是非齐次线性方程组A x=b 的三个不同的解，且a 2 2 g=（4.0.0，0）T，3 a;=（4，4，6，8）1，则A r=b 的通解为_ _ _6李林考研数学考前冲刺6 套卷（二）三、解答题（1 7 2 2 小题，满分7 0 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）（1 7）（本题满分 1 0 分）一l置”-1（0 t 1）确定，证明设函数y =f（x）由参数方程、.-I n 2y=I n(1+7)/（A）号（1 8】（本题满分1 2 分）设函数广（x）满足（1-x）f，（x）n f。（）=0，n 为正整数.f，（0）=1.记a。=二厂.（r）d z.求l i m（1 9）（本题满分 1 2 分）,=（u 十v）e ，且f（0，v）=0，若u=x，v=x+y.设可微函数 f（x，v）满足他晋D u怪飞中十总。（I）求a r（）求 f（u，o）的极值.了李林考研数学系列考前冲刺6 套卷（数学二）（2 0】（本题满分1 2 分）()1=1.D,=(x y)|0 y 设f（x）在【0，1】上有二阶连续导数，且l i m“0(x+p)d r d y-x，0 x t （0 t 1）.求l i m厂（x+y）d-r d y。，R（2 1）（本题满分1 2 分）设一单位质量的质点沿x 轴正向运动，所受力为 F（a）=2 s i n 2 x，质点的初始位置为原点，初速度为z=2.求位移函数工=x（t）（1 表示时间），并求质点运动的最远距离.（2 2）（本题满分1 2 分）设A（1 J）.2-（8 1）.e-（）证明。（）三个矩阵A，B，C 均不相似于对角矩阵;()A B C.8李林考研数学考前冲刺6 套卷（三）李林考研数学考前冲刺6 套卷（三）一、选择题（本题共1 0 小题，每小题5 分，满分5 0 分.每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选选项前的字母填在题后括号内.）,/(:a)-e+1=1.若当z 0 时，F（z）=|0（x-1）d（1）设/（x）是连续函数，l i m,T是关于x 的n 阶无穷小量，则 n=(C.3.A.1.D.4.B.2.z l需王匹之之；皆的无穷间断点的个数为-D.3.C.2.B.1.A.0.（3）设方程x=a e s 有两个不同的实根，则(四己四C.a .A.0 a （4）设y（x）与y-（x）是微分方程y 十p（x）y=0 的两个不同的解，则该方程的通解可以表示为，(过之十仅字十A.C;y 1+C,y.夕区！之夕号十空：（二）-，r m=1 2./（x）（5）设 f（x）在R 上有二阶连续导数，且满足在 工=0 处的二次泰勒多项式为(D.1+z-x 2.C.1-2.B.x-2.t 2.A.1-2 x .（6）设八（x）在【0，1】上可导，且广（x）0，则下列结论正确的是七.r(r)a r j.r(0)d.当0 1 1 时.艺产？文艺产当0 0）有极大值8，则a=_ _ _ _ _（1 4）曲线y=【x 3 一T d r（x 0）的全长为_ _ _ _ _.（1 5）已知半圆形闸门的半径为2 m.将其垂直放入水中。且直径与水面相齐.设水的密度为 p（k g/m 2），重力加速度为g（m/s），则闸门的一侧所受的压力为_ _ _ _ _ N.三比广；一”二：体中；工子了不？己中工还浴莉马字涵k=_1 0李林考研数学考前冲刺6 套卷（三）三、解答题（1 7 2 2 小题，满分7 0 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）（1 7）（本题满分1 0 分）1(m+2)。冯音章【1 8）（本题满分1 2 分）设f（z）的定义域为（0.+）且满足x/（x）=1+【证f（w）d u，求 f（x）及f（r）的最小值.（1 9）（本题满分1 2 分）设f（x）在（0，+o）内有一阶连续导数，且满足/()+1/(x)=0,l i m f(x)=1.心长若曲线y=/（）与直线工=1.x=n+1（n 为正整数）及工轴所围图形绕直线x=1旋转所得的体积为V。，求l i m V。1 1公众号 陈叨叨杂货铺李林考研数学系列考前冲刺6 套卷（数学二）（2 0）（本题满分 1 2 分）-y t 设D=（x y）|x+y 1.0 y x，计算1=一一（2 1）（本题满分1 2 分）设f（2）在【0.1】上有二阶连续导数，且f 1）=1.5 （x p）d z-.了书国。（）方程f（x）=x 在（0，1）内至少有一个实根z。;（）若/（0）0，则至少存在一点n 0，1），便了 n=0（2 2）（本题满分 1 2 分）一心3有三个线性无关的特征向量.一3（I）求a 的值，并求可逆矩阵P.使P-A P=A;（）求可逆的实对称矩阵Q.使Q A Q =A T.1 2李林考研数学考前冲刺6 套卷（四）李林考研数学考前冲刺6 套卷（四）一、选择题（本题共1 0 小题，每小题5 分，满分5 0 分.每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选选项前的字母填在题后括号内.）（1）设f（z）=a r c t a n x 在z=0 处的三次泰勒多项式为a z b x 2，则 （）B a=0 0-3A.a=0.5=-3-C.a=1.b=-5D.a=1.6-3（2）设l i m/（r）=0，且l i m（半）-b x-1）=l i m【f（x+1）-f（x）】，则曲线y=a x 2 _ 的斜渐近线方程为 )C1+xB.y=x+1.A.y=-x+1.D.y=x-1.C.y=-x-1.平婴J-中品J-个品-V 群位A.I I I S.B.I IC.I I I.D.I E I I I.（4）设I=e c o s q r d r，则A.p 0.I=q l.B.p 0，I=p 2+q.C.1 0.1-1 9D.p 0.I=/P+G(5)I-f a o s o r d r e r-V1 0 0B.f a r f r a v z +y d y.A.f d a f f o v i+y d y.c.f o f s o n d o+f f y o uf o r o r d e.D.f a f a f a J i m a d.（6）设y=e，y=2 x 是常系数齐次线性微分方程y”+a y”+b y+c y=0 的两个解，则该方程的通解可为()1 3李林考研数学系列考前冲刺6 套卷（数学二）A.c e+c:+c y x.B.c e+c z e +E、主.C.c q e-+c z e +c.D.c;e+c:.x e+c.（7）已知平面上的点 A（0，1）和抛物线工=2，动点P 从坐标原点O 出发，沿抛物线移动，若直线段O A.A P 和抛物线所围成的面积对时间的增大速率为1，则当P 移到点(（6，9）处时，P 的横坐标的变动速率为！一-D.心心心砂A 4（8）设A 是m n 矩阵，则非齐次线性方程组A r =b 有解的充分必要条件是B.r(A)=r(A)=n.A.r(A)=r(A)=m.乏C.k a 5)=()=m.）*=0 同解.D.4 x=0 与（9）设=2 是方阵A 的特征值，对应的特征向量为，=1 是A 的特征值，对应的特征向量为，则必有一B.=2 A.=2 a.D.与正交.C.，B 线性无关.E-3-目?-o0 4 1 4 0(4驱20.则以下选【1 0）设A=O项正确的是：B.A 与C 合同.A 与D 相似.A.A 与B 合同，A 与C 相似.C.A 与D 合同，A 与B 相似.D.A 与C 合同，A 与B 相似.二、填空题（本题共6 小题，每小题5 分，满分3 0 分.把答案填在题中横线上.）三宫矽宁常蚪二望导（1 2）设 f（x）为连续函数，且 f（x）=|e d，则f （0）=_ _ _（1 3）函数 f（x）=e l n 工在（0，+8）内的最小值为_ _ _ _ 工x=“中（1 4）设函数y =y（x）由参数方程确定，则曲线 y=y（x）的斜渐近线(0，历 0）下于点om3处取得最小值，求 a，b 的值.（2 0）（本题满分1 2 分）设D=（r.y）|0 x 2.0 y 2 r-F），计算1=x+y-2 l d y.1 6李林考研数学考前冲刺6 套卷（四）（2 1）（本题满分1 2 分）一I）上任一点M（x，y）处的切线与士轴交于点设在上半平面的曲线y=y（x）（厅N.，且满足 O M|=|O N|,y(0)=1,y (z)0.求 y=y（x）（2 2）（本题满分1 2 分）设3 阶实对称矩阵A=（1，a，）有二重特征值=1，且;2 a-a;=0，A 是A 的伴随矩阵.（I）求一个正交变换x=Q y 将二次型f（i，2;x g）=r A r 化为标准形;（）求方程组A x=0 的通解.1 7李林考研数学系列考前冲刺6 套卷（数学二）李林考研数学考前冲刺6 套卷（五）一、选择题（本题共1 0 小题，每小题5 分，满分5 0 分.每小题给出的四个选项中.只有一项符合题目要求，把所选选项前的字母填在题后括号内.）（1）曲线y=1 土工、的渐近线的条数为(_D.4.C.3.B.2.A.1.（2）设 f）=|l n 十F d，则/（2）在=0 处一A.极限不存在.B.极限存在，但不连续.D.可导.C.连续但不可导.匹鸡宁；一义台号六口S s i n(c o s D d r,I =s i n（s i n 2）d r，则、制警B.1=I I.A.1 I:=I.D.I:I;=3.C.I 1 时，I=l n 2.D.当a 0，b 0.0，求a，b.的值.设l i m（1 8）（本题满分 1 2 分）设f a）可导，且满足/t r）=x/（一）+。/r 由+号一一端飞。（）求 f（x）的单调区间与极值.2 0李林考研数学考前冲刺6 套卷（五）（1 9）（本题满分1 2 分）不二s i，4 0）确定，其中y（z）有二阶导数且u d设y=y（x）由参数方程;d ry=y(1)d y.2 1-F)-6 y=e.若l i m y（2）=0，l i m y（x）=0，求y=y（z）.d，（2 0）（本题满分1 2 分）设x;（0，1），数列（x。满足e-（x。一x）=e-1（n=1，2，）.证明l i m x，存在，并求其值.2 1李林考研数学系列考前冲刺6 套卷（数学二）（2 1）（本题满分 1 2 分）设D=（r.y）1 0 x 1，0 y），计算1=|a r c e s i n 2 r-二）d r d y.（2 2）（本题满分1 2 分）设二次型广=x A r=a z i 十a r 蛋十（a 1）z j 2 x 1 z 3-2 u a x 3，秩r（f）与/的正惯性指数均为2，A T =A，A 为A 的伴随矩阵.（I）求a 的值（）求正交变换x=O y 将g（x 1，二3）=x （A A）x 化为标准形.2 2李林考研数学考前冲刺6 套卷（六）李林考研数学考前冲刺6 套卷（六）一、选择题（本题共1 0 小题，每小题5 分，满分5 0 分.每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选选项前的字母填在题后括号内.）（1）设f（x）在（一o，）内有定义，且对任意的x，y;有f（x y）-f（x）=(y)()【/（x）-1】y+a（y），其中l i m=0，且f（0）=2，则f（x）=yD.e+1.A.2 e .C,e+1.B.2 e .仁，则F（-2）=J，r（t）d r 是一n 十x e：（2）设 f（x）=l i m-1+eB.可导的奇函数.A.可导的偶函数D.连续但不可导的奇函数.C.连续但不可导的偶函数.（3）设f（z）在【0.1】上可导，且（x）0.F（x）=f（x）-f（2）|d，则在【0，1】上有()1.F 4 O)F().A.F（A）r（号）.D.F(D b 0），且y（0）=1，y/（0）=1，则y(r)d r =()D 2A.十1!盈万,2 a+1。B.平6（5）设广（x）在【0，4】上连续，曲线y=厂（x）与x=0.y=0，x=4 围成如图6-1(所示的三个区域，其面积S，S 2，S，满足 S 2 S 1 S 3，则下列选项正确的是义A.f(1)f(3)f(4).六乏B.八（4）f（3）/（1）.心C.f(3)f(4)f(1).l oc iD.f(4)(1)f(3).图6-12 3李林考研数学系列考前冲刺6 套卷（数学二）（6）积分r c o s D d r=,d o l、1B.之A.-D.-C.1.o切/（7）微分方程y -2 y 一3 y =e x 的特解可设为A.a e+b r +C.B.a r e +b r +C.C.a z r e-+十x（b r +C）.D.a e+r(b r+C .（8）设向量组=（1，1，a）T，=（1，2，b），a=（-2，1，c）T 的秩为a，若=（1，2，0）T 可由1，a。，、线性表示，且表示法不唯一，则，A.a=2,b=8,c=-1 0.B.a=2,b=8,c=1 0.C.a=1,b=-8,c=1 0.D.a=1,=-8,c =-1 0.站（9）设A=，其中a，b，c，d 互不相等，则A.A r =0 只有零解.B.A x=0 有非零解.C.A A x=0 有非零解.D.A A T x=0 有非零解.（1 0）设八（x，1）=（a x;+2 x 2-3 x（x-2 x 3）十（x a r-x）是正定二次型，则，。B.a-1 且a+.一lA.a 1 且a 一2c.立己心且a 1.二、填空题（本题共6 小题，每小题5 分，满分3 0 分.把答案填在题中横线上.）一（1 1）设 f（x）=l i m r（1+，则曲线y=f（x）的拐点为_ _ _ _ _ _（1 2）设x=八（y）是单调可导函数y=g（r）的反函数，且g（1）=2，g （1）=-冷/(y)-f(2)则I i m（y-2）(I n y-I n 2)（1 3 设x=号+e +八u），（x y 满足e -八（m）=，其中x（x y）和/（u）办次均可微，且星文“己“,a t0 y（1 4）设/a）非负连续，且满足/）/z-2 出-s i m x，则尺z）在p.芬上的平均值为_ _ _ _ _.2 4李林考研数学考前冲刺6 套卷（六）=0 确定，则曲线y=y（x）在y（1 5）设函数y=y（x）由方程 I n y 2./4【1，e】上的弧长为_ _ _ _ _（1 6）设a-（1，2），-（a.1）x=（），若二次型/x）-见（a 2经可逆线性变换化为 g（y，y）=y y 2 2 y 1 y，则a=_ _三、解答题（1 7 2 2 小题，满分7 0 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）（1 7）（本题满分1 0 分）一端设/（r）=x r s i n 工 c o s r，x F（工）f（x）d r.,（1 8】（本题满分 1 2 分）设f（x，y）=x y-a r i b y（a 0.b 0）有极小值-8，求a 的值，使得二2=1 所围面积最大.初72 5李林考研数学系列考前冲刺6 套卷（数学二）（1 9】（本题满分1 2 分）设容器的内表面是由曲线工=y+s i n y（0 y 琴）绕y 轴旋转一周所得的旋转曲面，以（m 3/s）的速率向容器内注人液体.（）当液面高度为芬（m）时，求液面上升的速率;（）将容器注满液体需要多少时间.（2 0）（本题满分 1 2 分）（r 2-y 2+r y）d z d y.设D 为（x y 2）=2 x y 所围区域，计算I=2 6公众号 陈叨叨杂货铺李林考研数学考前冲刺6 套卷（六）（2 1）（本题满分1 2 分）飞-/(x)=0设八（x）在（一.9）内有连续导数，f（工）0，且满足/（x）1+r（n 为正整数），f（0）=1.（I）求f（x）8（）记 S。为曲线y=/（x）与x 轴之间的无界区域的面积，求l i m（2 2）（本题满分1 2 分）设A 是3 阶矩阵，方程组A x=b 的通解为k（-1.1.0）+k，（2.0，1）T+（1.1.-2）7，其中k，k。为任意常数，b=（6.6.-1 2）.（I）求A（）若x=（x 1.x。，x s）T，求x A r =0 的全部解.2 7公众号 陈叨叨杂货铺李林考研数学系列考前冲刺6 套卷（数学二）李林考研数学考前冲刺6 套卷（一）答案及解析一、选择题(1)B.,解 i m，因为二=l i m 子=l i m听汽o e洛必达1l i m,()-0,l i m许图Ca f oa=0，即e 是比;所以，i m3目（l i m 工）高阶的无穷小（x 9）.仍它1)-o 8一l s，一科u t =效高唱是比叉l i m雪悟“l i m“Kl i meC.，。，。过调阶的无穷小（x 十c）.综上所述，B 正确.(2)B.n l n z，记f（x）=l nI n l n?，解 当x 1 时，原不等式等价于I n l n x a l n x，即a I n xI n x则原不等式等价于求 f（x）的最大值.5一l_ l n I n x二过一:工由（x）=0，得x=e 为唯一驻点.I n z为 f（x）的极当1 x 0;当x e 时，f（x）c o s 工0，则 s i n x c o s x/y2 8李林考研数学考前冲刺6 套卷（一）答案及解析故当0 玉号时有(e o s x)(s i n x+c o s r)(2 c o s r)1.由夹逼准则有l i m V s i n .+c o s a =c o s x.同理，当开 工时，l i m V s i n 十c o s T=s i n x.看/y式c o s x.0 子故得0-骨 司s i n a.内可导.）内连续，所以原函数F（x）在（0，由于f（x）在（0.临2s i n 工一c o S.工命三下e lg l又八号）-，故f（x）气区l i ml i m咨咨多王一2。e-在工=牙处不可导.D 正确.(4)A.解 当三咽时，（1+x=1+示+2 x 1+士，敌“谱宁义i a r=41为比较I 与I 的大小，可作差.c o s r-s i n Z d r1-1:=1+c o s z s i n Z a r 十c o s z s i n d x.=。一十它”一十飞堂清=c o s z-s i ns i n t-c o s t因为s i n t-c o s 1我-d 山r，故(-d)=。-1+x料一工下问1+!-r)-t/s v（少V；-l1-4=j（e o s-s i 动+产洞1+(叫正-z)一一动(c o s a-s i n x)(，F d,五六(1+2)一十色当0 0.时，c o s x s i n x，0 工 1。1，A 正确.2 9公众号 陈叨叨杂货铺李林考研数学系列考前冲刺6 套卷（数学二）(5)C.解 应用泰勒公式，f（x）在 x =0 处展开为了（专f（x）=f（0）+子（0）（x-0）+(x-0)?f(0)+f(0)x,2!其中专介于0 与主之间，故飞/(x p)d-L/(0)+(0)z d r =2/(O./(r d r=1.C 正确.所以f（0）(6 C.解 将二元函数的极值转化为一元函数的极值，再利用一元函数取得极大值的必要条件求解即可.令F（x）=f（x，y。），由已知得，z=z。是F（x）的极大值点，故 2/()部之0.F (x)=d a图d a。（若F （z o）0，则x=工。是/（x y）的极小值点，与已知矛盾，故F （x a）0）同理，令G（y）=/（x。，y），则y=y 是G（y）的极大值点，故陀飞。/(x:3)；邯0.y。子且。C 正确.(7)A.工 a r c t a n 工d r 十r a r c t a n 工d x=记x a r c t a n 工4解=I 1+.2 十x 心十岂2 十x n利用比较审敛法，因为.a r c t a n 王）一a r e t a n zl i m己一节：“二少0心十唱呼中故当一m 1 -2 时，1 收敛.又l i m（.广2 r s t a 二）-，l i m工 a r c t a n 工其，故当n 一m 1 时，I 收敛.H s=心中飞综上所述，当m -2 且n 一m 1 时，原积分收敛.A 正确.(8)B.解 由A 是正交矩阵知，A A =A T A=E，故|A|=1.又由A 的特征值全大于零知，|A|0，故|A|=1.从而A =|A|A-=A-1=A即A=a，故，B 正确.A,=(9)C.解 A 的三个特征向量a a。a。是两两正交的向量，设其对应的特征值分别为入;入。，.将1 a。单位化后，记为Y，Y，Y，令Q=（Y，Y，Y），则Q 为正交矩阵，且3 0李林考研数学考前冲刺6 套卷（一）答案及解析Q A Q =A=d i a g（，入，），故A=Q A-,从而A T=（Q l）A Q=O A Q =A（因为Q=Q ）.故A 为对称矩阵.C 正确.由于不能确定特征值，入，。中是否有0 特征值，故A 不一定可逆，也不一定是正交矩阵（正交矩阵必可逆）.又正定矩阵是可逆矩阵，故排除 A、B、D.【注】设A 是n 阶实矩阵，则A 有n 个彼此正交的实特征向量=A 是实对称矩阵.(1 0)D.M解 由p 1，p e，p 在x O y 面上，得M（x 1 0.y 0，M.立。1-0),M(z-0,y。-0,1-0),M 3(x z-0,y-0.1-0)为在同一空间直线上的三个不同的点.因此，三个向量O M，O M.，O M 3 共面但不共线，故背。r（A）=2.D 正确.二、填空题图1-1(1 1)1.r 十y=s i n a解 由 l i m（x，y）=l i m e s i n s。l i m e(0,0)警。-31,1=f（0，0），知f（x y）在点（0，0）处连续，所以f（x，y）在D 上连续.由二重积分的中值定理知，存在（7）D，使得F（x.y）d r d y=x f f（，p），当t 0 时，专n）（0.0）.散i m;(x:y d r d y =l i m f(,)=/(0,0)=1.。”引保(1 2):z=1.十一常解 当x 0 时，f（x）=l i ml i m :+1，一当x=0 时，f（x）=l i m=：污。当x 1,-l故f（x-1）=工=1，2z-1,r )s i n-一c o s 工【注】求 l i m时，不能用洛必达法则.2 x【a+y i n 号-o s l】-2 r s m n 号+s i n .-1+二c o s因为分子工科（2 r s i n-l 牛产c o s ）=2-1 0.l m s i x 不存在.l i m(2分母（-2 x）=-2，l i m（-2）=-2 0.1+x+s i n x图项一2 z s i n，车.中文不存在，且不是无穷大量，洛必达法则失效，故 l i m啦r-（1 8）解 区域D 如图1-2 所示，本题采用极坐标法.1将工y=1 化为r=多叶到台飞霍3 3李林考研数学系列考前冲刺6 套卷（数学二）I=|e d a r d y-7。d o r d r=e=y=1d oo。oH一一d 0可（c o s 0+s i n 亦。图1-2_ c o s 0一d i_s ie o s 0+s i n ；一号e-1）.心=二一一伊i s（1 9）解（I）由已知得，f!=2 a x+b y f =2 b y a，则厂=b=/=a，即a=0.由子（1，1）=3，得2 a b=3，故a=b=1.从而d f(x,y)=(2 x y)d r+(2 y+x)d y=2.r d x+y d x +2 y d y+x d y=d（.2+y）+d（r y）=d（r+y 十x y+e），故f（r，y）=x y 十x y c，由 f（0，0）=-3，得c=-3，即(x y)=r i y 3 y-3.（）设（x.y）为/（x，y）=产y r y 3 上任意一点，则所求距离d=（.+1 十（y+1，本题要求（x+1）+（y+1）在条件x y x y-3=0 下的最大值，用拉格朗日乘数法.令L=（1+x）2+（1 y）3（x 2 y x y-3），则L =2(1+x)+2(2 x+y)=0,初L =2（1+y）+a（2 y 十x）=0，雪L =x 2+y 十z y-3=0.由与消去，得（x y）（x+y-1）=0，从而x=y 或x 十y=1.当x=y 时，代人式，解得工=y=士1;当x 十y=1 时，代入式，解得工=2，y=-1 或x=-1，y=2.比较大小，因为d(1,1)=8,d(-1,-1)=0,d(2,-1)=d(-1,2)=9,故所求最大值为9=3.（2 0）解由f（0）=k 0./（x）0，知在【0，十8）上有f(z)f(0)=k 0.3 4李林考研数学考前冲刺6 套卷（一）答案及解析因为A（x）=k s（x），所以己名”还飞十记任：两边同时对工求导，得f（x）=太1+L/（a），即式两边同时再对工求导.得广（x）=（n）一“十调k/a)=I+7(a).由，得J/t x)=0.胥（）一解此微分方程，得f(x)=c;e+c e t.由式知，f （0）=0 及已知f（0）=k，可得”。”呐故/（x）=号(e +e f).体。一宁/(a)（2 1）证 收敛，正确.综上所述，B 正确.3)A.j x(z-1)(r)d r-(r-1)d/(x)解=r(-1/)(2.x-1)f(x)d r-(2.-1)d f/(r)=一飞！之之些己立=-“工之十己十些子己子由已知等式得(1)+f(0)=1.因为/1）=1.所以f（0）=0.A 正确.()A.f(a)-1解 由l i m=1，知l i m/（x）=f（0）=1.广（0）=1.中，3 7李林考研数学系列考前冲刺6 套卷（数学二）令g（x）=I n f（x），则g（0）=0，且/(x)g (o)=1.心工己“()（z）广（a）-L/（z）】g )=L0.()由泰勒公式，有陀创。陀创。g(r)=g(O)+g (0)x+4=x 十t,e2!其中专介于x 与0 之间，所以I n f（x）工，故（x）e.A 正确.(5)B.解 1 一J，品z际！一夕d xd*l n V x 由于I n x=I n【1+（x-1）】x-1（x 1），所以一立P l n=1.l i m1（一1）v今.光品数敛.d x由此可知.d r敛散性相同，故当q 1 时，.与（大一1）盖亡）|一.一出。发散.当q 1，p=1 时，当q 1，p 1 时，对任意的p a 1，有一I nl i m；4 P高d z且J 二d r 发散，故F i n发散.d r 收敛.d r工，故当q 1 时，z?I n 综上所述，当p 1 且q 0 y R),这之十心（x，y）D.=（x，y）工 0.y R 时，了吗f(x,y)=,(一。同理，当x 1）与x 轴的交点.令y=0.得工=1 或z=0.故所求面积为S=|(x+1)(e -1)|d x(x+1)(1-e)d z(x+1)d r-(x+1)e d r下十它一！世(z+D d(e)了二引2小 z+D e l-飞比,o马身4 0李林考研数学考前冲刺6 套卷（二）答案及解析它了言，=2中一-l(1-e-).-(1-,e 1=+J可、2须 2吃用(1 4)-泥,解 交换积分顺序，积分区域如图2-1 所示.一门多义兰P.I f d.xH区y=a r c t a n x树=f e s e z y A ad yt a n 主L d y一s i n 2 yo t”-。t a n i一-d y2 t a n y c o s y图2-1st a n-y d(t a n y)，高吵=3 t a n y(（1 5）2 a 2（2-2.了叫国解 双纽线如图2-2 所示，由对称性，考虑0 引S?2 n r（0）s i n 0 F（0）+r 气（d 0.由r=a c o s 2 0，得_ a d s i n 2 0.置2 r r =-2 a s i n 2 0 r =-a“入O)a c o s 3 2 0陀+r-a s i n 2 0，易图2-2加故 S-4/t n i n o.如=4 r a (-c o