2023考研数学李正元最后冲刺135分（数二）【公众号：考研满分君】免费分享.pdf

考 研 孵数学二最后冲刺超越135分主编 北京大学 李正元北京大学尤承业20年经典传承百万考生推荐辅导名师獭火川必考点视频讲解，书课一体，扫码听课，高效学习扫扫码码学学习习双色印刷重点突出中中国政法大学国政法大学出出版社版社【公众号：昌途考研】免费分享2023年李正元-范 培华考 研 数学最后冲HMM 350数学二主编北京大学李正元 北京大学尤承业中中国政法大学国政法大学出出版社版社2022 北京【公众号：昌途考研】免费分享声 明1.版 权所有，侵权必究。2.如有缺 页、倒装 问 题，由 出版 社 负 责 退 换。图图书书在在版编目版编目（C I P）数据数据李正元范 培华考 研 数学数学最后冲刺超 越135分.数学二/李正元，尤承业主编.一北京：中国政法大学出版 社，2022.7ISBN 978-7-5764-0592-7I.李II.李尤IIL高 等 数学一研 究 生 一入学考 试 一自 学参考 资 料IV.013中国版 本图书馆CIP数据核字（2022）第132355号出版 者中国政法大学出版 社地 址北京市海淀区西 土城路25号邮 寄地址北京100088信箱8034分箱 邮 编100088网 址ht t p:/www.c upl press.c om（网 络 实名：中国政法大学出版 社）电 话010-58908285（总编 室）58908433（编 辑 部）58908334（邮 购 部）承 印三河市鹏 远 艺 兴印务有限 公司开 本787mm x 1092mm 1/16印 张9字 数170千字版 次2022年7月第1版印 次2022年7月第1次印刷定 价45.80 元【公众号：昌途考研】免费分享,1刖舌()考 研 数学最后冲刺超 越135分是考 研 数学复习全书、考 研 数学历年试 题 解 析及考 研 数学全真 模拟经 典400题的 姊妹篇。已先期出版 的考 研 数学复习全 书为考 生 第 一阶 段复习用 书，主要 使考 生 全面、系 统 地掌握考 纲 所要 求的 基本概念、基本定理、基本公式和基本方法;考 研 数学全真 模拟经 典400题为考 生 第 二阶 段训 练 用 书，主要 使考 生 更好地提高 数学水平,检查第 一阶 段对数学基本概念、公式、定理 及运 算 法则的 复习效果，查漏补 缺，积 累 临场经 验。而 对2023年考 研 数学的 命题 预 测、常考 题 型的 解 题 思路 与方法的 归纳 总结、网 络 化的 知 识 体系 的 梳理，则是本书即 考 研 数学最后冲刺超 越135分的 宗旨和使命，也是本书的 价值所在。(-)从历年考 研 数学试 题 可以看 出，数学科 考 试 注重 能 力的 考 查,试 题 提高 了对解 决 问 题 的 能 力的 要 求，增加思考 量，控制计 算 量，要 求考 生 抓住问 题 的 实质，对试 题 提供 的 信息进 行 分拣、组 合、加工，寻找解 决问 题 的 方法。因此命题 者 在命制试 题 时，尽 量 避 免刻板、繁 难 和偏怪的 试 题，避 免死记 硬 背 的 内容和繁 琐 的 计 算;设 计 不同解 题 思想层次的 试 题，使善于知 识 迁 移 和运 用 思维 模块简 缩 思维 的 考 生 能 用 敏捷的 思维 赢 得时间，体现 其创造 能 力的 水平。这 样的 试 题，难 有现 成的 方法和套路 可以套用，思维 水平要 求高，不强调 解 题 技巧,思维 容量 大,运 算 量 较 小,完成这 样的 试 题 需 要 有能 力 的 培养，依靠“题 海”战术是难 以奏效的;很重 视 知 识 的 整体性和综 合性，在知 识 网 络 的 交汇点上设 计 试 题，目 的 是倡导考 生 对所学内容能 够融 会贯 通,理 论 联 系 实际，防 止单纯 机械记 忆。值得注意的 是，在强调 选 拔、强调 能 力考 查的 同时，切忌放松基础 知 识 的 复习，要 知 道 考 查考 生 对基础 知 识 的 掌握程 度,是数学考 试 的 重 要 目 标之一。从历年阅 卷情况来看，相 当多的 考 生 主要 存在以下问 题:对考 试 大纲 中规 定的 基础 知 识、基本理 论 的 掌握还 存在某些欠缺，甚 至 有所偏废;对所学知 识 的 掌握缺 乏 整体性、条理 性。编 者 认 为，考 生 在冲刺复习阶 段很有必要 仔细 阅 读 这 本考 研 数学最后冲刺超 越 135分。因为本书中所设 计 的 试 题 和所要 解 决的 问 题 是有针 对性的，它或许 能 给 考 生 带来意外的 惊喜！1【公众号：昌途考研】免费分享（三）本书集 中了北京大学李正元、北京大学刘西 垣、北京大学范 培华、北京大学尤承 业、中国人民大学袁 荫 棠等 老 师的 考 研 辅 导体会,是集 体智慧的 结 晶。编 写本书是一项 新的 尝试，需 要 在认 真 听取同行 和读 者 意见 的 基础 上不断加以改 进 和完善，欢迎 广大同行 和读 者 提出宝贵 的 意见。最后预 祝 考 生 考 研 成功！编 者2022年9月2【公众号：昌途考研】免费分享目 录专题1求极限 及极限 式中的 参数.(1)专题2无穷 小及其阶.(10)专题3函数及其连 续 性.(12)专题4导数的 概念与几何意义.(14)专题5各种 函数的 求导法.(17)专题6用 导数研 究 函数的 性态.(21)专题7不等 式的 证 明.(26)专题8函数与导函数零 点存在性问 题.(31)专题9泰勒公式及其应用.(37)专题10 元积 分学的 基本概念.(44)专题11求积 分的 方法、技巧与积 分不等 式.(46)专题12反常积 分.(55)专题13定积 分的 应用.(60)专题14线 性微分方程 解 的 性质.(64)专题15求解 一阶 微分方程.(65)专题16二阶 线 性常系 数方程.(67)专题17求解 可降 阶 的 方程.(69)专题18求解 含变限 积 分的 方程.(71)专题19微分方程 的 应用.(72)专题20讨 论/(*,)在某点(x0,y0)的 可偏导性与可微性.(74)【公众号：昌途考研】免费分享专题21复合函数求导法及其应用.（77）专题22多元函数的 最值问 题.（81）专题23 二重 积 分.（83）第二部分线性代数专题1抽象 行 列式的 计 算.（89）专题2关于AB=0的 理 解 与应用.（91）专题3求几阶 矩 阵A的 方时.（93）专题4矩 阵 可逆 的 证 明.（96）专题5求解 矩 阵 方程.（97）专题6线 性表 出的 问 题.（101）专题7线 性相 关的 判定与证 明.（104）专题8向量 组、矩 阵 的 秩.（107）专题9基础 解 系.（111）专题10线 性方程 组 的 有关问 题.（114）专题11方程 组 同解 及公共解 的 问 题.（117）专题12抽象 矩 阵 的 特 征值与特 征向量.（120）专题13 关于P1AP=B中的 矩 阵F.（124）专题14由 特 征值、特 征向量 求矩 阵 或其中的 参数.（127）专题15实对称 矩 阵 的 特 征值.（129）专题16 二次型的 标准形.（132）专题17 二次型的 正定性.（135）2【公众号：昌途考研】免费分享第一部分 高等数学专题1 求极限及极限式中的参数【解 题 思路】(1)计 算 极限 一般 按下面 程 序分析：首 先看 是否是未定式？(未定式共有七种：咚，型，竺，型，0.8”型，“8 _ 8”型，“1*”型，“0。，型，“8。”型)若 非 未定式,则先考 虑 极限0 8四则运 算 法则的 条件是否满足?若 满足，则用 极限 四则运 算 法则算 出；若 不满足，则考 虑 有界 量 乘无 穷 小还 是无穷 小，或无穷 小与无穷 大的 关系.若 是未定式，优先考 虑 洛必达 法则，其次是(特 别是洛 必达 法则失效时)恒等 变形消除 未定式.变形方法通 常是：对型,一般 是消去分子与分母中的“零”因子，如分解 因式，分子分母同乘共鲍 数,或利用已知 极限 等.对，竺”型,一般 是用 分子、分母中趋 于无穷 大最快的 项 同除 分子与分母.8对“0 8”型，一般 将其中一个因子取作分子，另一个因子取倒数后作为分母，化成型或“竺”型再处理，并且一般 将复杂的 因子取作分子，特 别地含有对数因子时，将该 因子取作分子，有时 00也利用 某些已知 极限.对“8-8”型，通 常是通 分求和(代数和)，或利用 共辗 关系，化成“芳”型或“亲”型有时也利用 某些已知 极限.对1-,0或8型未定式的 极限l iW(*=l ime岫”总可转 化为求l img(x)l n f(x).对“1-”型，通 常利用 重 要 极限Hm(l+%)*=e消除 未定式.*顶对“0”型，若l im宗=，可借助基本极限l imxx=1消除 未定式.对“8。”型，若l im/(%)g(%)=/,可借助基本极限l irn x =1消除 未定式.%+00(2)洛必达 法则是求型和“竺”型未定式的 重 要 工具.但在用 洛必达 法则解 题 时，为了避0 8免复杂的 计 算，提高 效率，减少错 误，应尽可能 综 合运 用 以下方法：1函数的 连 续 性与极限 四则运 算 法则；2。适 当的 恒等 变形(如:分子或分母的 有理 化，三角 恒等 式，等);3。利用 已知 极限 和等 价无穷 小因子代换；4利用 换元法(即复合函数求极限 法则).(3)考 生 要 熟 悉当X-。时最重 要 的 几个等 价无穷 小量:sin x-x,l n(1+x)-x,ex-1%与2 n1-c o sx 谈.在用 洛必达 法则求“芳”型未定式的 极限 时用 它们来替换分子或分母中相 应的 无穷小量 因子,常可简 化计 算 过 程.数学二-1-【公众号：昌途考研】免费分享【例例1.1】求下列极限:/t、ex-1-sin%(I)l】m-；1-+先【解解】(i)本题 是求“#”型未定式的 极限,可先用 等 价无穷 小因子替换：/n京-1先2,然x sinx(n)l im-e e*-0+1-c o s v%(1 一 c o s%)后利用 洛必达 法则，得1.e 1 一 sin%.ex-1-sin%,ex-co sx z x.、0-X%0(n)本题 也是求“号”型未定式的 极限.从分子和分母的 表 达 式不难 发现，若 直 接利用 洛必达 法则会碰 到复杂的 计 算.为简 化计 算 过 程，应当在分子和分母中分别利用 等 价无穷 小因子代换.当*一0 时，有 e-=e”*(e f g-1).e si-1%-sin%,l imes，nx=1,于是，分子可用 -sin%代换.%-0当久-0时，/%(1-c o sx)是无穷 小量,于是分母可作等 价无穷 小因子代换，即_%21-c o s 1-c o s%)%(1-c o s%)又因x sinx -r-B.e-e.x-sin%.x-sin%十是 l im-zzzzzz：=l im-=4 l im-j-x 1 COS a/%(1 COS%)x*7 XT4 1-c o s%2=l im-7-=.3 xo x 3评 注 在本题 的 求解 中用 到了等 价无穷 小量 的 传递 性质：若 是同一极限 过 程 的 无穷 小量,且 y，则 y.从而 当先一()时1-co s a/%(1-c o s%)1-c o s%)2*二十.【例例1.2】求下列极限:ex，+x 1-x(1+%)x J(I)l im%00(n)l im (%+a)1+，-x+,其中常数 a#0.【解解】(I)所求极限 是“8-8”型未定式，但现 在无法经 过 通 分化为“普”或“兰”型的 未定式,这 时可从括号内提出无穷 大因子先化为“0 8”型的 未定式，最后再通 过 换元-化为型未定式求极限.r exl im x-X+8 L(1+x)x-1=l im xJ%-+：1 l im-+00ex-11+勺x/-先l n(1+l im%l n+00e1+x.l n(1+y)l imy顶+3X8Xx xy yl im +*)y-0+2 y1-1 1+V 1 1l im-J=-l im-2 y-o+y 2 y_o+1+y(n)所求极限 也是“8-8”型未定式,首 先应通 过 变形化为型未定式后，再用 洛必达 法则求T*极限._ 2 _【公众号：昌途考研】免费分享l im (%+a)1+*-xl+=l im+l j-x x=l im x l im(1+1-1m+8%+00 L X/由l im=1及等 价无穷 小因子替换:t l n(l+)。一0)可得%+J%+U%求极限，首 先将幕指函数f(x)eM化为指数型复合函数由 于l iml n f(x)=0,利用 当，一0时的 等 价无穷 小关系l n(l+y)y可得：当式一口时,W3)f(x)-1,于是.r(、加)l img C%)!%)l im g(%)/(%)-1从而，归结 为求极限l img(x)/(%)-1.%-口【例例1.4】求下列极限:(I)l im(ex-1-%)l nx;(n)l im 广广%-o+U+ln(e%1%)j_ l im(I)因 l im(e-1x-0+%)lnx=e-+o+，又ex-1i.l n(ex-1-%)8 ex-1-x l im-hm%-0+In%项项+1l im 住7u+ex-1-xx2 X2x0a 石 命l im-l im-=2,x-0+ex-1-x%-o+ex-1l im(ex-1%-0+(H)本题 也是“0”型未定式.y_ _ a(x*-l)lnxl im(%x-1)In%=l im xl n2x=0(%x-1 l n(1 4-1)=xnx(x 0+)x-0+%-o+故数学二3【公众号：昌途考研】免费分享1 2其中 l im%l n2%=l im:先-=l im(-2xnx)=0,l im xx=1%-0+%项+J_%-0+%-0+x于是所求极限 为e=1.评 注 若l im/(x)(x,是“8”型或“0”型未定式，也可化为指数型复合函数的 极限e理&岫计x-f j算，其中l img(x)l n/-(x)是“0 8”型的 未定式，又需 化为型或“竺”型未定式后再用 洛必达 法则-0 8等 方法求极限._【例例1.5】【分分析析】求数列极限 不可以直 接用 洛必达 法则.为了应用 洛必达 法则求本例中的 极限，可引入函 数极限 姓t a n(孑一攵)，而 所求的 数列极限 是这 个函数极限 中变量 取数列佶的 特 例.7T _ 1了一异=六)且=t a n(*-先)与数列=1,2,3,.),则t a n引入函数/S)l im%=0.由 洛必达 法则可得n8I Intan(jx)tan(-x)-1)l imt a n )=e姓，=厂姓 坤玲=故 l im t a n f-y-=l im/(%n)=l im/(%)=e-2.n*oo L 4 71/nao%0评 注 利用 函数极限 及洛必达 法则求数列极限 的 理 论 根据是：设 l im/(%)=4,则对 V与，且 l imxn=+8，必有 l im/(xn)=A.x+8 n8 n8设l im/(%)=4,则对V先几，且l imxn=x0又存在TV,当n N N时“尹o,必有x*xqn+00在本例中应用 了上述 第2个结 论.也可以考 虑 函数极限l im t a n(耳-J-)且取=疽，并应X-r+00 L 4%/J用 第1个结 论 求本例中的 极限.【例例1.6】求极限l im e 严 方:竺%0 l n(1+sin X)【解解】利用 当先一0时的 等 价无穷 小关系sin%-x与l n(l+4)%可知 当0时l n(1+sin2%)s in 普，再利用 极限 的 四则运 算 法则即知.ex-c o s%Jc o s3%.ex-c o s%c o s3%l im-.2、=n m-2-%0 l n(1+sin x)%-0 xex-1.1-c o s%Jc o s3%i r=l im-2+l im-2-=1+/,%0 X x0 X其中j.1-c o s%Jc o s3%1=l im-2-x0 X用 洛必达 法则可得4【公众号：昌途考研】免费分享3c o s%sin 3%土sin%3-3c o s%sin 3%1,v _、-V c o s3%+-3=-(1+3)=2.3 Jcos23%)2代入即知 所求极限ex-c o s先 Jc o s3x.-=1+Z=3.l im.2、xl n(1+sin x)(3+%2)sin 一 c o s%【例例 L7 l im%+x+X)一 In%J【分分析析】先用 等 价无穷 小因子替换：叩+)l n(1+%)-In%然后用 分项 求极限 法可得.1 sin xTx(后一项 的 分子为有界 变量，分母是无穷 大量，故其极限 为0.)(3+%2)sin 一 c o s先l im 2/-7-r-+8 x l n(1+x)-l n%Jl im+00+l im%一+8o.13sin-c o s%-=1+0=1.2 1X 一X3 4-e l n(1+ax:-、|%存在,则常数a 例例1.8】若l im _3L1+e【分分析析】注意I*是以攵=o为分界 点的 分段函数，且l im e+=+8,l ime*=0,可见 应分别求当%0+%0 _欠T。时的 左、右极限.因为3+e *l n(1+a%)j _l n(1+q先)1+e4-I 先 I J 先l im%-0+.3+e+l im-D+1+e3e+1e-*+=Q,1l imD-_i_3+e l n(1+ax)1-.In(1+ax)+i-=3-hm -I I%o-3所以,题 中极限 存在0 a=3-a=a=.评 注 在本例中用 到了极限 存在的 如下充分必要 条件：l im/(%)=4=l im/(x)和 l im/(%)都 存在且同为 4.1*0 X-Xq x-x【例例1.9】确 定常数a和b的 值，使l im IW 土皿)+球+特x-0=4.【解解法法一一】i.l n(1-2x+3x2)+q先+bx2.hm-了-=4%0 xl n(1-2%+3%)+ax,.hm-+6=4%-0l n(1-2%+3%)4-a%l im-x-0=4-6.由 此可得0,.l n(1-2%+3%2)+ax。o=4-l im 一%-o-l imx-4)-2+6%-r+a1-2x+3x2xq+l im 43+e，1+e=3 Q2 X2X2 X4数学二5【公众号：昌途考研】免费分享=4-l im%-0一2+6x+a(l 2式+3 先之)2%(1-2%+3x2)=l im-2+6%+a(1 一2式+3%2)=-2+a=0(否则 b=0 Xl im(a_2)/+2(b+l)必=耳%0 Xf a-2=0,ra=2,0!/+1=4 16=3.评 注【解 法一】的 基础 是极限 的 四则运 算 法则与洛必达 法则，关键 在于从题 设 得出a和6满足 的 极限 公式.【解 法二】的 基础 是带有皮 亚诺 余项 的 麦 克劳林公式，要 求熟 悉有关的 展开式的 求法.【例例1.10 已知 常数q 0,6c#0,使得l im%al n(1+立)-x l=c,求 a,b,c.【解解】记 I(a,b)=l im xan(1+)-x=l im x xa-1l n(1+)-11由 于b o,计 算 可得8,a 2l im 1+j=l im bxa2=.b,a=2-0,0 a o+tX=l im -=l im =-#0.-0+2 匕顶+1+t 2故符 合题 目 要 求的 常数a,奴c分别是a=2,6=l,c=-y.评 注 这 类 含有待定常数的 极限 问 题 一般 可采 用 本例的 办法:在待定常数的 取值范 围内用 洛必达 法 则(或其他方法)求出相 应的 极限，与题 目 的 要 求对比，选 出符 合要 求的 参数的 取值即可.i6【公众号：昌途考研】免费分享【例例1.11】分析一】设 li msi n 3x+V(x)%0 X.3+f(%)l im-%x-*0 x.3x-sin 3%+l im-3-%-*0 x0,则 l im3x0 XHm 竺 普1=l it nsi n 3x+#(x)x0 X%0 X.3x-sin 3%=t t 一 sintl im-；-2/l im-z-x-0 X 7 t八 1.1-co st 9=9 hm-三-o7 t 2【分析二】人 sin 3%+xf(x)2/sin 3先 x g(%)-X【分析三】l im立 突x-*0 X-=g(%),则l img(先)=0,且_/(%)=%-oo 2/、sin 3%3+先 g(x)-.x./、.3先一 sin 3%l im-2-=iimg(x)+l im-j-%0 x%0%0 x.3%-sin 3%9 l im-j-=Vx-o x 2不妨取满足 题 设 条件的 一个特 例来计 算.最简 单的 人)是满足si n 3x+=0的 函X3 X故数，于是人)迦 兰.进 而 有 Xl im 4%0 Xc sin 3%j-=l im-X0 X,.3x-sin 3%9 l im-j-=V%-0 x 2评 注【分析一】的 基础 是极限 的 四则运 算 法则，在找出要 求的 极限 与题 设 的 极限 之间 的 关系 后，就 化为求不含六%)的 某个极限 了.【分析二】的 基础 是极限 存在的 变量 与无穷 小量 的 关系：l i想/(%)=A+g(x),其中Iimg(x)=0,于是可得到未知 函数/3)的 一个表 达 式(在本例中是/(%)=x2g(x)-如炎)，由 此 即可计 算 包含它的 极限.【分析三】不是一种 正规 的 方法，但可用 于求解 结 论 与/(%)的 表 达 式无关的 选 择题 或填空 题.这 种 方法的 思想很简 单，即选 择一个满足 题 设 全部 条件的 函数/(*)作为代表 来得出适 合于该 类 函 数的 一般 结 论.特 别需 要 注意的 是如下做法是错 误 的：因为当*一0时sin 3x 3%,所以n sin 3丸+(%)r 3先+x f(x)r 3+f(%)鹿 r 3+f(x)n 0=l im-l im-f-=l im 七,即 l im 七=0.%0 X%0 X%0 X%*0 X错 误 的 根源在于带的 等 式不成立.事实上按恒等 变形与极限 的 运 算 法则应有im sin 3%+x.(x)_ sin 3 一 3%十】血 3%+%0 x x0 x x0 xsin 3%-3%9,八其中hm-j-=一尹0.%-o x 2所谓“在求音 型未定式的 极限 时可在分子或分母中作等 价无穷 小代换”，是指把分式的 分子或 分母作为一个整体或其中的 一个因子可以作等 价无穷 小代换.一般 而 言，不能 仅仅把分子或分母中 加、减法中的 某一部 分(如本题 中的sin 3x)换为它的 等 价无穷 小量.【例例1.12】已知 叫1+捋广=2,则姓亨=数学二7【公众号：昌途考研】免费分享工 l n l+【分析】l im 1+=2 o l im-:-=l n 2.此时必有l im/=010 L 4-1-1 D In eo s%D 4-1利用 当为一0时的 等 价无穷 小关系l n(l+X)*和1-COS 号,把分子换为御*，把分母换为2 4-1-即得l im二件上=1应.又4-1 血4,从而Z 4一0(4 1)x临八卓=-峪l n 4=-(ln2)2.x-o x 2评评注注如上例所说,也可取特 例/（，）=（4*-l）（2&g-1）直 接求极限.x0 X【例例L 13【分析】把/1-c o s 看 作函数/（%）=/1-cos2itx在=包处的 函数值，其中电 正好是将区间y n n n 0,1等 分所得的 第 个分点0=1,2,/）,这 时每个小区间 的 长 度为+.于是-c o s*可看 作定积 分（先）d先对应的 积 分和叫，其中&=土，5=（k=1,2,-,n）.又因/（先）=J-c o s2m；在0,1 上连 续，于是在0,1 上可积，故 nl im V 11-c o s,=f/(x)d%=f Jl 一 c o s2g d%i 8 昌句 n n Jo J o18.二 f v2sin2,TT%d%=V5 f simrx d%=J 0 Jo 7T评 注 若 六）在a,6上连 续，则l im /a+也(方-=f(x)dx.n.8 人=l L n 7l J a【例例L 14【分析】令乩叩4)+1Tn=三 l n(1+l n 1+j+.+l n(1+l n(1+)n+1+.+叩+土)1Tl H-2nTl11nnn则不难 发现 冷y S”（n=1,2，），其中槌把。,1也等 分，且岫=知=1,2,f）8【公众号：昌途考研】免费分享时|ol n(l+x)dx对应的 积 分和，因函数l n(l+x)在0,1上连 续，故在0,1上可积，则l im Tn=(l n(1+%)d%=I l n(1+%)d(l+x)100 J 0 J 0=(1+%)l n(1+%)I-f dx=21n 2 一 1.I 0 Jo此外，还 有l im 七7；=l im 7；=21n 2-1,从而 由 极限 存在的 夹逼 准则得n8 M+1 n8l im Sn=21n 2 一 1.n+00Wa【例1.13】与【例1.14】是把所求的 和转 化为某个定积 分对应的 积 分和,从而 通 过 计 算 定积 分得出要 求的 极限.从而 解 题 的 关键 是看 出定积 分中的 被 积 函数人勿以及积 分区间a,6分别是什么.在【例1.14】中，S“不能 直 接看 成某一定积 分对应的 积 分和,从而 还 要 与极限 存在的 夹逼 准则联合起 来，用 积 分和八及一二夹逼S”H+1【例例1.15】求曲线，=i-x+J朱 的 全部 渐近 线.【分分析析与与求求解解】只有间 断点*=-3.l im y=+oo x3-0故=-3为垂直 渐近 线.又=3)32%+32n xt+8时为水平渐近 线.再求=X 8时y=-2x+-为斜渐近 线.因此全部 渐近 线 是：X 二 一 3,y=-(%+8),y=2先+-8).故学二9【公众号：昌途考研】免费分享评 注 上述 计 算 中用 到了等 价无穷 小因子替换：(1+r)a-1 wQ 0)求y=/(x)的 渐近 线 归结 为求极限.10 x=g 是垂直 渐近 线 l im/(%)=8 或 l im/(%)=o o.xa+0 xa-02%+oo(或-8)时 y=b 是水平渐近 线 l im/(%)=b(或 l im/(%)=b).X+8 x 83 x+oo(或-8)时 y=kx+b(k 70)是斜渐近 线 l im=k(或 l im)=A:)且X+8 X X-8 X/l im/(%)-kx=6(或 l im/(%)-kx=b).X-+8*_ 8专题2 无穷小及其阶【解题解题思思路路】I.当先一Q时若 六为)是g(%)的 同阶 无穷 小(或等 价无穷 小),g(%)是H%)的同阶 无穷 小(或等 价无穷 小)，则当一。时A)也是(%)的 同阶 无穷 小(或等 价无穷 小).n.当xa时若/(%)与g(先)分别是-。的m阶 与n阶 无穷 小,JHl J/(%)g(x)是x-a的m+n阶 无穷 小,m n时/(%)g(先)是先-。的 几阶 无穷 小是-。的m-n阶 无穷 小.g(%)DI.设/*(%)连 续，且当x-a时/(%)是式-。的 阶 无穷 小，则J当%时必为-Q的n+1阶 无穷 小.IV.设 当x a时g(%)是先-。的n阶 无穷 小，当u0时/()是的m阶 无穷 小，则/Cg O)当 a时必为 a的 阶 无穷 小._ _.1-cosx【例例2.1】已知/(%)=+先之一-先2,g(%)-I t a n t dt和(先)=t a n先-sin%当 0 时J o都 是无穷 小量，若 按照它们关于先的 阶 数从低到高 的 顺 序排列起 来测是(A)f(x),g(x),h(x).(B)h(x),/(%),g(%).(C)/(%),h(x),g(x).(D)h(x),g(%),/(%).2【分析】利用 当先一0时的 等 价无穷 小关系：t a n%,1-c o s%和l n(1+%)，不难 得出当 0时，f(x)=J1+先之-y/1-x2=2%一=x,Y 1+X+y 1 X-1-cosx I 1-cosxg(%)=t a n di=-In(co st)=-l n c o s(1-c o sx)J o I ohx)-t a n%一 sin先=(1-c o s%)t a n%由 此可知 当t0时，六)是关于先的 二阶 无穷 小,g(%)是关于的 四阶 无穷 小，而/i(%)是关于、的 三阶 无穷 小.故应选(C).【例例2.2】设 加)是满足l im 善=-1的 连 续 函数,且当，-0时f8，7(i)di是与时等 价无%-0 1-COS%J 0穷 小，贝u A=与n=.10【公众号：昌途考研】免费分享【分分析析】首 先，由 题 设 可得1.f(x)1.f(x)1-COSXl imJ 2=hm1-乙 -D x D I-c o s%X2-sin xI/(0现 考 察极限/=l im，选 取4m使得极限/为I.由 洛必达 法则可得Xo Ax0(0 n 0 Anx m4%o s in x x 6 A1 oo(n 6)这 表 明/(Odt当XT。时是与等 价的 无穷 小，即4=-y与=6.-sin切评 注若 只确 定使得J。与/为同阶 无穷 小，我们可用 无穷 小阶 的 运 算 性质 来求加由/(%)与1-c o s%当%0时是同阶 无穷 小，1-c o s%与先2当0时是同阶 无穷 小，从而 当%0时人)也是与蛆 同阶 的 无穷 小，即y(x)是多的 二阶 无穷 小，进 而 由/幻连 续 知g(x)=当，一。时是的3阶 无穷 小；最后由 于当0时sin%是k的 二阶 无穷 小，故复合函数g(sin2x)当/0时是，的2x 3=6阶 无穷 小.由 于本题 是填空 题，且结 论 中的 大小与f S)的 具体形式无关，所以可用 取特 例求解 法.不难发现 满足 题 设=-1的 一个连 续 函数是/(%)=-,对这 个函数可得x-0 1-COS%Z-sin2x 1I d J 0 z,sin2x t2dt=sin6%,o6显然，当xO时这 是关于X的6阶 无穷 小，故n=6且4=-土.O一般 说 来，如果可以断定选 择题 或填空 题 的 正确 结 论 与题 目 中出现 的 函数_/(*)的 具体形式无 关，则可考 虑 用 特 例法求解.【例例2.3】设 人先)连 续，且当4 0时F(先)=(%2+1-c o s O/(0是与式3等 价的 无穷 小测J 0/(0)=.【分分析析】由 等 价无穷 小的 定义及洛必达 法则可得1=l im(?=l im-%2 f (1-co stx 0 X/%0 XJ 0 J 00=l im%-of(f)di (1-c o st)f(t)dt0 2_0_X xf f(t)dt (1-c o st)f(t)出l im-+l im-x0 X x0 X=l im/(x)+1血(1 7 籍)八册=/(0)x0 3 x*0 X1 7+舌!嗯=如),故f W=f.数学二11【公众号：昌途考研】免费分享0f/(02x2*-0土敏=y()=3/()0 t(0)=3.既=故6 Xl im 23 djP(先3)3 13二歹二矿2X评 注尽管 本例中的 极限 是型未定式，但直 接对它用 洛必达 法则却难 以得出结 果，原因是求导一次不能 去掉分母中的 变上限 定积 分.因此，我们采 取首 先求出当X 0时与变限 定积 分|7(j)d 等 价的 无穷 小量，这 样就可无须 用 洛必达 法则而 求出极限，即本例的 解 法本质 上是等 价无穷 小代换 法.本例也可用 特 例法求解，取F3)=6%,于是六)满足 题 设 的 全部 条件，且/O)也l im-r河=l im 3$3 _.X0(3%)91专题3 函数及其连续性【解 题 思路】I.初等 函数在其定义区间 上连 续，从而 若 初等 函数六*)在点%=%0的 某邻 域内有定义，则 l im/(%)=/(x0).XXnII.若 函数/(*)在闭 区间:a,6上连 续，则/(*)在a,b上有界，并取得其最大值与最小值以及介于其最大值与最小值之间 的 任何中间 值.特 别当/(*)在a,6上连 续，且f a)f W 0时必存在 e(a M)使/()=0.in.若 函数y s)在点*=%处的 左、右极限 人气-0)与f(Xo+o)都 存在，但二者 不相 等，或二者 相 等，但不等 于/(%),则称X=XO是/(X)的 第 一类 间 断点;若 函数人疆 在点X=气的 某邻 域内有定义，且/(%-0)与/(%+0)至 少有一个不存在，则称 点攵=气是/(%)的 第 二类 间 断点.【例例 3.1】/(x)=xe(2-c o sx)在(-8,+oo)上是(A)有界 的 偶函数.(B)无界 的 偶函数.(C)有界 的 奇函数.(D)无界 的 奇函数.【分析】在(-8,+8)上/是奇函数,e -00X+8_类 似可判定在(a,+8)或(_ 8,b)上的 连 续 函数是否有界.【例例3.2】确 定常数。和b 0的 值,使函数(2%2+c o s%)*,%0,/(x)=j在(_8,+8)上连 续.Lx 1【解解】当X 0-x0-1.In(2x2+cos2%).2%2+cos2x-l-,.1-cos2%l imx2l im 2 Z l im=ex-*o =ex-*o =e*-o-=e.当攵 o时/(x)等 于初等 函数=+(/-1)，由 初等 函数的 连 续 性知f S)在(0,+8)连 续,xln6 1P I且/(0+0)=l im f(x)=l im-=l nb.D+10+为从而，为使/(%)在(-8,+8)上连 续，必须 且只需/(为)还 在点x=0处连 续，即/(0-0)=a=/(0+0)=e=a=l nb.故当q=e且b=e。时/(%)在(-8,+o o)上连 续.评 注本例是讨 论 分段函数连 续 性的 典型题，在本例中/*(%)在 0或巳v 0均为初等 函数，故由初等 函数的 连 续 性得出7*3)分别在(-o o,0)与(o,+o o)内连 续，在分界 点=0处，则用 连 续 的 充分必要 条件：人0-0)=/(0+0)都 存在且等 于/*()来确 定常数。和A,以达 到使/(%)在(-8,+8)上连 续 的 目 的._【例例3.3】设 函数KQ=l im 2”3血 _,则函数y(x)有几一8 x+1 X(A)两个第 一类 间 断点.(B)三个第 一类 间 断点.(C)两个第 一类 间 断点与一个第 二类 间 断点.(D)一个第 一类 间 断点与一个第 二类 间 断点.【分分析析】利用 当|x|1时,l im xn=+8，不难 得出n8 noo孑13【公众号：昌途考研】免费分享-3s in,0|%|1,D=l,由 此可见,*=-1与，=1都 是/(x)的 第 一类 间 断点，而*=0是六勿的 第 二类 间 断点.故应选(C).评 注在本题 中尽管 六为)在点=0处没有定义，但它在除 该 点外的 实轴 上处处都 有定义，而 且极限 l im/(x)=-3 l im sin 与=-3 l im sin 都 不存在，故点 x=0 是/(%)的 一个第 二x-0-x-X)-x 刀顶+多-o+类 间 断点；此外，/(%)在=-1和=1两点左、右极限 都 存在，但二者 不相 等.故这 两点都 是/*(%)的 第 一类 间 断点.专题4 导数的概念与几何意义【解 题 思路】设 函数六)在=%。处可导，则尸(与)是曲线*=/(%)在点3。，人。)处切线 的 斜率，该 切线 的 方程 是y=/(%0)+尸(%。)(，一先。).特 别地，若 广(久。)=0,则在点(%。,/。)处的切线 方程 为*=y()；若f S)=8，则在点(%0,y0)处的 切线 方程 为X=当尸(0)手0时曲线y=f(x)在点(x0,/(%0)处法线 的 方程