3.18早上招聘笔试数学系统班理论精讲--数与代数8.pdf

第四章 数列 主讲：吴倩 粉笔教师 粉笔教师招考 第三节第三节 综合数列综合数列 二二、求数列前求数列前n项的项的和和 Tn a1 a2 a3 an （一一）公式法公式法 主要用于等差或者等比数列主要用于等差或者等比数列，直接套用公式直接套用公式。（二二）分组化归法分组化归法 主要用于无法整体求和的数列主要用于无法整体求和的数列，可将其通项写成等比可将其通项写成等比、等差等我们熟等差等我们熟悉的数列分别进行求和悉的数列分别进行求和，再综合求出所有项的和再综合求出所有项的和。an 2nn 等差数列求和：等差数列求和：Sn=(+)等比数列求和：Sn=1,=11(1)1=11,1 第三节第三节 综合数列综合数列 二二、求数列前求数列前n项的和项的和（三三）错位相消法错位相消法 用于求用于求an bn 型的数列型的数列，其中其中an为等差数列为等差数列，bn是公比为是公比为q的等比的等比数列数列，只需用只需用Sn-qSn便可转化为等比数列的求和便可转化为等比数列的求和，但要注意讨论但要注意讨论q=1和和q1两种情况两种情况。an n2n Tn1 212 223 23 n 2n an n2n 第一步：展开前第一步：展开前n项和项和 第二步：左右两边同乘公比第二步：左右两边同乘公比 第三步：上述两式作差，以右式为前提第三步：上述两式作差，以右式为前提 第第四部：观察各项，等比数列求和完成四部：观察各项，等比数列求和完成 an n2n 第一步：展开前第一步：展开前n项和项和 Tn1 212 223 23 n 2n 第二步：左右两边同乘公比第二步：左右两边同乘公比 第三步：上述两式作差，以右式为前提第三步：上述两式作差，以右式为前提 第第四部：观察各项，等比数列求和完成四部：观察各项，等比数列求和完成 an n2n 第一步：展开前第一步：展开前n项和项和 Tn1 212 223 23 n 2n 2Tn 1 222 233 24 n 2n1 第三步：上述两式作差，以右式为前提第三步：上述两式作差，以右式为前提 第第四部：观察各项，等比数列求和完成四部：观察各项，等比数列求和完成 an n2n Tn1 212 223 23 n 2n 2Tn 1 222 233 24 n 2n1-Tn 1 21 1 221 231 24 1 2n-n 2n1 第第四部：观察各项，等比数列求和完成四部：观察各项，等比数列求和完成 an n2n 第一步：展开前第一步：展开前n项和项和 Tn1 212 223 23 n 2n 第二步：左右两边同乘公比第二步：左右两边同乘公比 2Tn 1 222 233 24 n 2n1 第三步：上述两式作差，以右式为前提第三步：上述两式作差，以右式为前提 -Tn 1 21 1 221 231 24 1 2n-n 2n1 第第四部：观察各项，等比数列求和完成四部：观察各项，等比数列求和完成 -Tn=（）-n 2n1=2n1-2-n 2n1 Tn（n1）2n12 真真 题题 链链 接接 4.（2016年年福建福建中学中学解答解答）已知数列已知数列an满足满足a1=3，an+1=an+2n，（1）求求an的通项公式的通项公式an；（2）若若bn=nan，求数列求数列bn的前的前n项和项和Sn。an 2n1 bn=nan=（2n1）n n 2n n Pn=123n=()真真 题题 链链 接接 4.（2016年年福建福建中学中学解答解答）已知数列已知数列an满足满足a1=3，an+1=an+2n，（1）求求an的通项公式的通项公式an；（2）若若bn=nan，求数列求数列bn的前的前n项和项和Sn。an 2n1 bn=nan=（2n1）n n 2n n Pn=123n=()Tn1 212 223 23 n 2n 2Tn 1 222 233 24 n 2n1-Tn 1 21 1 221 231 24 1 2n-n 2n1-Tn=（）-n 2n1=2n1-2-n 2n1 Tn（n1）2n12 Sn（n1）2n12()第三节第三节 综合数列综合数列 二二、求数列前求数列前n项的和项的和（四四）裂相消项法裂相消项法 此方法主要针对此方法主要针对+这样的求和这样的求和，其中其中an是等差是等差数列数列。bn=+，求前求前n项和项和 第一步：通项展开第一步：通项展开 第二步：求和公式展开第二步：求和公式展开运算运算 bn=+，求前求前n项和项和 第一步：通项展开第一步：通项展开 bn=+=+第二步：求和公式展开第二步：求和公式展开运算运算 bn=+，求前求前n项和项和 第一步：通项展开第一步：通项展开 bn=+=+第二步：求和公式展开第二步：求和公式展开运算运算 Tn(+)+(+)+=+=1-+bn=+，求前求前n项和项和 bn=+=bn=1()bn=+=13(+)真真 题题 链链 接接 6.（2016年年湖南湖南小学小学解答解答）设数列设数列an为等差数列为等差数列，且且a2=5，a4=9。（1）求数列求数列an的通项公式；的通项公式；（2）设设bn=+，求数列求数列bn的前的前n项和项和。真真 题题 链链 接接 6.（2016年年湖南湖南小学小学解答解答）设数列设数列an为等差数列为等差数列，且且a2=5，a4=9。（1）求数列求数列an的通项公式；的通项公式；（2）设设bn=+，求数列求数列bn的前的前n项和项和。an2n1 bn()()()Tn()()真真 题题 链链 接接 1.（2015年年湖北湖北小学小学单选单选）一组数：一组数：2，-1,5，x，17，y，65，满满足足“从第三个数起从第三个数起，前两个数依次为前两个数依次为A、B，紧随其后的数就是紧随其后的数就是2A-B”。例如这组数中的第三个数例如这组数中的第三个数“5”是由是由“22-（-1）”得到的得到的，那么这组数那么这组数中中y表示的数为表示的数为（）A-31 B.-7 C.7 D.31 真真 题题 链链 接接 2.（2016年年安徽安徽小学小学填空填空）观察下列等式：观察下列等式：1-=12，2-=22，3-=32，用含用含n（nN*）的等式表示观察所发现的规律是的等式表示观察所发现的规律是 。1-=12 2-=22 3-=32 第二章 方程与不等式 主讲：吴倩 粉笔教师 粉笔教师招考 第三节第三节 奥数奥数 一一、循环周期问题循环周期问题 核心提示：若一串事物以核心提示：若一串事物以T为周期为周期，且且AT=Na，那么第那么第A项等同项等同于第于第a项项。ABCDABCD.第第2015个个 503个整周期个整周期+ABC 真真 题题 链链 接接 1.（2016年江西年江西单选单选）联欢会上联欢会上，小刚按照小刚按照2个蓝气球个蓝气球，1个红气球个红气球，3个黄气球个黄气球，1个绿气球的顺序把球串起来装饰教室个绿气球的顺序把球串起来装饰教室，那么第那么第2 016个气球是个气球是（）A蓝气球蓝气球 B.红气球红气球 C.黄气球黄气球 D.绿绿气球气球 第三节第三节 奥数奥数 二二、方程思想方程思想（一一）一般方程一般方程 核心提示：设核心提示：设、列列、解解。（二二）不定方程不定方程 核心提示：代入试值核心提示：代入试值（三）和差倍比问题（三）和差倍比问题 和差倍比问题研究不同量之间的和和差倍比问题研究不同量之间的和、差差、倍倍、比关系比关系。利用关系解题利用关系解题，核心点是：列方程核心点是：列方程、解方程解方程。真真 题题 链链 接接 2.（2016年福建年福建解答解答）有一群鸽子和一些鸽笼有一群鸽子和一些鸽笼，如果每个鸽笼可住如果每个鸽笼可住6只只鸽子鸽子，则剩下则剩下3只鸽子无鸽笼；如果再飞来只鸽子无鸽笼；如果再飞来5只鸽子只鸽子，连同原来的鸽子连同原来的鸽子，每每个鸽笼刚好可住个鸽笼刚好可住8只只，问原来多少鸽子和鸽笼问原来多少鸽子和鸽笼？真真 题题 链链 接接 3.（2016年浙江年浙江填空填空）五年级五年级（一一）班共有班共有36人人，每人参加一个兴趣小每人参加一个兴趣小组组，共有共有A，B，C，D，E五个小组五个小组，若参加若参加A组的有组的有15人人，参加参加B组的仅组的仅次于次于A组组，参加参加C组组、D组的人数相同组的人数相同，参加参加E组的人数最少组的人数最少，只有只有4人人，那么参加那么参加B组的有组的有 人人。真真 题题 链链 接接 4.（2015年湖北年湖北单选单选）某班一次数学考试的平均分是某班一次数学考试的平均分是76分分，男女各自的男女各自的平均分是平均分是71.5分分、79分分，这个班男女生人数的比是这个班男女生人数的比是（）A2：3 B.3：2 C.3：5 D.5：3 真真 题题 链链 接接 5.（2016年江西年江西单选单选）果汁糖每千克果汁糖每千克28.5元元，牛奶糖每千克牛奶糖每千克46.5元元，现现要求混合后糖的单价为每千克要求混合后糖的单价为每千克32元元，则果汁糖和牛奶糖应取的质量比为则果汁糖和牛奶糖应取的质量比为（）。A29：7 B.7：29 C.31：19 D.19：31 第三节第三节 奥数奥数 三三、溶液问题溶液问题 溶液溶液=溶质溶质+溶剂；溶剂；浓度就是溶质质量与溶液质量的比值浓度就是溶质质量与溶液质量的比值，通常用百分数表示：通常用百分数表示：浓度浓度=溶质溶质溶液；溶质溶液；溶质=溶液溶液浓度；溶液浓度；溶液=溶质溶质浓度浓度 真真 题题 链链 接接 6.烧杯中装了烧杯中装了100克浓度为克浓度为10%的盐水的盐水，每次向该烧杯中加入不超过每次向该烧杯中加入不超过14克浓克浓度为度为50%的盐水的盐水，问最少加多少次之后问最少加多少次之后，烧杯中的盐水浓度能达到烧杯中的盐水浓度能达到25%?(假设烧杯中盐水不会溢出假设烧杯中盐水不会溢出)()A.6 B.5 C.4 D.3 浓度浓度=溶质溶液溶质溶液 真真 题题 链链 接接 7.一种溶液一种溶液，蒸发掉一定量的水后蒸发掉一定量的水后，溶液的浓度为溶液的浓度为10；再蒸发掉同样多；再蒸发掉同样多的水后的水后，溶液的浓度变为溶液的浓度变为12；第三次蒸发掉同样多的水后；第三次蒸发掉同样多的水后，溶液的浓度溶液的浓度将变为多少将变为多少?A.14 B.17 C.16 D.15 溶质溶质 =溶液溶液 浓度浓度 真真 题题 链链 接接 8.一瓶浓度为一瓶浓度为80%的酒精溶液倒出的酒精溶液倒出1/4后用水加满后用水加满，再倒出再倒出1/3后仍用水加后仍用水加满满，再倒出再倒出1/5后还用水加满后还用水加满，这时瓶中的酒精溶液浓度为这时瓶中的酒精溶液浓度为（）A.30 B.35 C.32 D.50 第三节第三节 奥数奥数 四四、工程问题工程问题 工程工程总量总量=工程效率工程效率工程工程时间时间 真真 题题 链链 接接 9.单独完成某项工作单独完成某项工作，甲需要甲需要16小时小时，乙需要乙需要12小时小时。如果按照甲如果按照甲、乙乙、甲甲、乙乙、的顺序轮流工作的顺序轮流工作，每次每次1小时小时，那么完成这项工作需要多长时那么完成这项工作需要多长时间间?()A.13小时小时40分钟分钟 B.13小时小时45分钟分钟 C.13小时小时50分钟分钟 D.14小时小时 工程总量工程总量=工程效率工程效率工程时间工程时间 真真 题题 链链 接接 10.一条公路一条公路，甲队单独修建需要甲队单独修建需要24天完成天完成，乙队单独修需要乙队单独修需要30天天，甲乙甲乙两队合作若干天后两队合作若干天后，乙队停工休息乙队停工休息，甲队继续修了甲队继续修了6天完成天完成，乙队修了多乙队修了多少天少天？工程总量工程总量=工程效率工程效率工程时间工程时间 11.（2016年安徽年安徽解答解答）铺设一条铺设一条4 200米长的公路米长的公路，甲甲、乙两工程队单乙两工程队单独完成需要费用相同独完成需要费用相同，已知甲工程队比乙工程队每天多铺设已知甲工程队比乙工程队每天多铺设20米米，甲工程甲工程队每天需要的费用比乙工程队每天需要的费用多队每天需要的费用比乙工程队每天需要的费用多40%。（1）求甲求甲、乙两工程队每天各铺设多少米乙两工程队每天各铺设多少米？（2）若乙工程队每天的费用为若乙工程队每天的费用为10万元万元，两个工程队同时从两个方向施工两个工程队同时从两个方向施工，求两工程队合作完成铺设该公路的总费用求两工程队合作完成铺设该公路的总费用。第三节第三节 奥数奥数 六六、经济利润问题经济利润问题 售价售价=进价进价+利润利润=进价（进价（1+利润率）利润率）利润利润=售价售价-进价进价 利润率利润率=（售价售价-进价进价）/进价进价100%真真 题题 链链 接接 19.（2016年浙江年浙江单选单选）一件商品的售价由原来的一件商品的售价由原来的100元元，降低到降低到90元元，降低了百分之几降低了百分之几？正确列式是正确列式是（）A10090-1 B.（100-90）90 C.1-90100 D.90100-1 真真 题题 链链 接接 20.（2015年湖北年湖北解答解答）某种商品每件的进价为某种商品每件的进价为30元元，在某段时间内若在某段时间内若以每件以每件x元出售元出售，可卖出可卖出（100-x）件件。设该商店这段时间内的利润为设该商店这段时间内的利润为y元元。（1）直接写出利润直接写出利润y与售价与售价x之间的函数关系式之间的函数关系式；（2）当售价为多少元时当售价为多少元时，利润可达到利润可达到1000元元？真真 题题 链链 接接 21.（2016年江西年江西单选单选）某商品某商品3月的价格比月的价格比2月降了月降了20%，4月的价格比月的价格比3月又涨了月又涨了20%，该商品该商品4月的价格是月的价格是2月的月的（）A60%B.80%C.96%D.56%第三节第三节 奥数奥数 七七、年龄问题年龄问题 年龄问题的三个基本特征：年龄问题的三个基本特征：两个人的年龄差是不变的；两个人的年龄差是不变的；两个人的年龄是同时增加或者同时减少的；两个人的年龄是同时增加或者同时减少的；两个人的年龄的倍数是发生变化的两个人的年龄的倍数是发生变化的；第三节第三节 奥数奥数 爸爸爸爸、哥哥哥哥、妹妹妹妹3个人个人，现在年龄和为现在年龄和为64岁岁。当爸爸是哥哥年龄的当爸爸是哥哥年龄的3倍时倍时，妹妹是妹妹是9岁岁，当哥哥是妹妹年龄的当哥哥是妹妹年龄的2倍时倍时，爸爸爸爸34岁岁。现在爸爸的年龄是现在爸爸的年龄是（）岁岁。